当前位置:首页 >> 数学 >>

2014届高三数学(理)一轮专题复习课件 变化率与导数、导数的计算


§3.1

变化率与导数、导数的计算

[高考调研

明确考向]

考纲解读 ?了解导数概念的实际背景. ?理解导数的几何意义. 1 ?能根据导数的定义求函数y=c,y=x,y=x ,y= 的导数. x
2

?能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法 则求简单的函数的导数. ?能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的复合函数)的导数.

考情分析 ?导数的运算是导数的基本内容,在高考中每年必 考,一般不单独命题,而在考查导数应用的同时进 行考查. ?导数的几何意义是高考重点考查的内容,常与解 析几何知识交汇命题. ?多以选择题和填空题的形式出现,有时也出现在 解答题中关键的一步.

知识梳理 1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 1 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为 □ __________,若 2 Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为□___.

2.函数y=f(x)在x=x0处的导数 (1)定义: 3 称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 □ __________= 4 □ ________为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或

Δy 5 y′|x=x0,即f′(x0)=lim =□__________. Δx→0 Δx

(2)几何意义: 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y= 6 7 f(x)上点 □ ____________处的 □ ________.相应地,切线方 8 程为□____________________.

3.函数f(x)的导函数 9 称函数f′(x)=□________为f(x)的导函数,导函数有时 也记作y′.

4.基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)=c f(x)=xn(n∈Q*) f(x)=sinx 导函数 10 f′(x)=□__________ 11 f′(x)=□__________ 12 f′(x)=□__________

原函数 f(x)=cosx f(x)=ax(a>0,且a≠1) f(x)=ex f(x)=logax(a>0,且a≠1) f(x)=lnx

导函数 13 f′(x)=□__________ 14 f′(x)=□__________ 15 f′(x)=□__________ 16 f′(x)=□__________ 17 f′(x)=□__________

5.导数运算法则 18 (1)[f(x)]± g(x)]′=□__________________; 19 (2)[f(x)g(x)]′=□____________________;
? f?x? ? ? (3)? ?g?x??′= ? ?

20 □____________________(g(x)≠0).

6.复合函数的导数 设u=v(x)在点x处可导,y=f(u)在点u处可导,则复合函 21 数f[v(x)]在点x处可导,且f′(x)= □ _____________,即y′x 22 =□____________________.

f?x2?-f?x1? 1 答案:□ x2-x1 Δy 4 lim □ → Δx Δx 0

Δy 2 □Δx

f?x0+Δx?-f?x0? 3 □ lim Δx Δx→0 6 □(x0,f(x0))

f?x0+Δx?-f?x0? 5 □ lim Δx Δx→0

7 8 □切线的斜率 □y-y0=f′(x0)(x-x0) f?x+Δx?-f?x? 9 □ lim Δx Δx→0 10 11 □0 □nxn
-1

12 □cosx

13 □-sinx 1 17 □x

14 □axlna(a>0)

15 □e

x

1 16 □xlna(a>0,且a≠1)

18 19 20 □ f′(x)±g′(x) □ f′(x)g(x)+f(x)g′(x) □ 21 22 □f′[v(x)]v′(x) □y′u· x u′

f′?x?g?x?-f?x?g′?x? [g?x?]2

名师微博 ●一个区别 曲线y=f(x)“在”点P(x0,y0)处的切线与“过”点 P(x0,y0)的切线的区别:曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线 是指P为切点,若切线斜率存在时,切线斜率为k=f′(x0), 是唯一的一条切线;曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,是指 切线经过P点,点P可以是切点,也可以不是切点,而且这样 的直线可能有多条.

●三个防范 1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符 号,防止与乘法公式混淆. 2.要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个 交点的区别. 3.正确分解复合函数的结构,由外向内逐层求导,做 到不重不漏.

基础自测
?1? 1 1.下列求导过程中① ? x? ′=- 2 ;②( x ? ?

x )′=

1 2 x

;③

(logax)′=

? lnx ? ? ? ?lna?

1 ′= ;④(ax)′=(elnax)′=(exlna)′= xlna ) C.3 D.4

exlnalna=axlna,其中正确的个数是( A.1
答案:D

B.2

2.函数f(x)=(x+2a)(x-a)2的导数为( A.2(x2-a2) C.3(x2-a2) B.2(x2+a2) D.3(x2+a2)

)

解析:f′(x)=(x-a)2+(x+2a)[2(x-a)]=3(x2-a2).

答案:C

?π ? sinx 1 3.曲线y= -2在点M?4,0?处的切线的斜率为 sinx+cosx ? ?

(

) 1 A.-2 2 C.- 2 1 B.2 2 D. 2

cosx?sinx+cosx?-sinx?cosx-sinx? 解析:y′= = ?sinx+cosx?2 1 π 1 ,把x=4代入得导数值为2. 1+sin2x

答案:B

4.若f(x)=x2-2x-4lnx,则f′(x)>0的解集为( A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞) C.(2,+∞) D.(-1,0)

)

4 2?x-2??x+1? 解析:令f′(x)=2x-2- x = >0,利用数 x 轴标根法可解得-1<x<0或x>2,又x>0,所以x>2.故选 C.

答案:C

5.曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐 标是( ) B.-3 D.15

A.-9 C.9

解析:y′=3x2,所以在P(1,12)处的切线的斜率k=3, 切线方程为3x-y+9=0,故其与y轴交点为(0,9),故选C.

答案:B

考点一

导数的运算

[例1]

求下列各函数的导数:

x+x5+sinx x (1)y= ;(2)y=(x+1)(x+2)(x+3);(3)y=sin 2 x2
? ? 1 2x ?1-2cos ?;(4)y= 4? ? 1-

1 + . x 1+ x

解析:

(2)方法一:∵y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6, ∴y′=3x2+12x+11. 方法二:y′=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+ 3)′ =[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)· (x+2) =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) =(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2) =3x2+12x+11.

x? x? 1 ?-cos ?=- sinx, (3)∵y=sin2 2? 2 ?
? 1 ? 1 1 ?- sinx?′=- (sinx)′=- cosx. ∴y′= 2 2 2 ? ?

1+ x+1- x 1 1 2 (4)y= + = = , 1- x 1+ x ?1- x??1+ x? 1-x
? 2 ? -2?1-x?′ 2 ? ? ∴y′=?1-x?′= = . ?1-x?2 ?1-x?2 ? ?

方法点睛

①熟记基本初等函数的导数公式及四则运算

法则是正确求导的基础;②必要时对于某些求导问题可先化 简函数解析式再求导.

变式训练1
n x

求下列函数的导数:

cosx (1)y=x e ;(2)y= ;(3)y=exlnx;(4)y=(x+1)2(x- sinx 1).

解析:(1)y′=nxn 1ex+xnex=xn 1ex(n+x). -sin2x-cos2x 1 (2)y′= =- 2 . sin2x sin x
? 1 x? 1 (3)y′=e lnx+e ·=e ?x+lnx?. x ? ?
x x





(4)∵y=(x+1)2(x-1)=(x+1)(x2-1)=x3+x2-x-1, ∴y′=3x2+2x-1.

考点二

求复合函数的导数

[例2]

求下列复合函数的导数.
5 2

(1)y=(2x-3) ;(2)y= 3-x;(3)y=sin (4)y=ln(2x+5).

? π? ?2x+ ?; 3? ?

解析:(1)设u=2x-3,则y=(2x-3)5由y=u5与u=2x-3 复合而成,∴y′=f′(u)· u′(x)=(u5)′(2x-3)′=5u4· 2= 10u4=10(2x-3)4.

方法点睛

由复合函数的定义可知,中间变量的选择应

是基本函数的结构,解这类问题的关键是正确分析函数的复 合层次,一般是从最外层开始,由外向内,一层一层地分 析,把复合函数分解成若干个常见的基本函数,逐步确定复 合过程.

变式训练2

求下列函数的导数:

(1)y= x2+1;(2)y=sin22x;(3)y=e-xsin2x; (4)y=ln 1+x2.

1 x 解析:(1)y′= · 2x= 2 . 2 x2+1 x +1 (2)y′=(2sin2x)(cos2x)×2=2sin4x. (3)y′=(-e-x)sin2x+e-x(cos2x)×2=e-x(2cos2x- sin2x). 1 1 x (4)y′= 2x= 2. 2· 2· 1+x 1+x 2 1+x

考点三

导数的几何意义

[例3]

已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.

(1)求曲线f(x)在x=2处的切线方程; (2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.

解析:(1)f′(x)=3x2-8x+5,f′(2)=1,又f(2)=-2. ∴曲线f(x)在x=2处的切线方程为y-(-2)=x-2,即x -y-4=0.
2 (2)设切点坐标为(x0,x 3 -4x 2 +5x0-4),f′(x0)=3x 0 - 0 0 2 8x0+5,则切线方程为y-(-2)=(3x 0 -8x0+5)(x-2),又切 3 2 线过(x0,x0 -4x 2 +5x0-4)点,则x 3 -4x0 +5x0-2=(3x 2 -8x0 0 0 0

+5)(x0-2),整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得x0=2或x0=1, 因此经过A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程为x-y-4=0 或y+2=0.

方法点睛

首先要分清是求曲线y=f(x)在某处的切线还

是求过某点曲线的切线.①求曲线y=f(x)在x=x0处的切线方 程可先求f′(x0),利用点斜式写出所求切线方程;②求过某 点的曲线的切线方程要先设切点坐标,求出切点坐标后再写 切线方程.

变式训练3 求k的值.

若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切,试

解析:设y=kx与y=x3-3x2+2x相切于P(x0,y0),则y0 =kx0,① y0=x3-3x2+2x0.② 0 0 又y′=3x2-6x+2,∴k=y′|x=x0=3x2-6x0+2.③ 0 由①②③得:(3x2-6x0+2)x0=x3-3x2+2x0, 0 0 0 即(2x0-3)x2=0. 0 3 1 ∴x0=0或x0= ,∴k=2或k=- . 2 4

易错矫正(十) [试题] 方程.

审题不认真致误

? 8? 1 3 已知曲线y= x 上一点P?2,3? ,求过点P的切线 3 ? ?

?1 ? 错解:由y′=?3x3?′=x2,得y′|x=2=4, ? ?

即过点P的切线方程的斜率为4. 8 则所求的切线方程是y-3=4(x-2), 即12x-3y-16=0.

错因:在导数几何意义的应用问题中,往往只考虑导数 本身的应用问题,而没有充分考虑导数与实际问题的结合, 导致错误.虽然点P
? 8? ?2, ? 3? ?

在曲线上,但过点P的切线不一定

以P为切点.本题中所求的是“过P点的切线”,而不只是求 “切点为P”的切线,所以过点P但不以P为切点的切线方程 也是符合题意的.

正解:(1)当P为切点时,同上解; (2)当P点不是切点时,设切点为Q(x0,y0), 1 3 2 则切线方程为y- x0=x0(x-x0), 3 因为切线过点P
? 8? ?2, ? 3? ?

,把P点的坐标代入以上切线方

程,求得x0=-1或x0=2(即点P,舍去),
? 1? 所以切点为Q?-1,-3?, ? ?

即所求切线方程为3x-3y+2=0; 综上所述,过点P的切线方程为12x-3y-16=0或3x- 3y+2=0.

点评:对于点不在曲线上的切线问题,要先确定所给点 的坐标不满足曲线方程,此时要先设出相应的切点坐标,利 用导数的几何意义求出相应的切线的斜率,再结合直线的点 斜式方程求出含参数的切线方程,再把已知点代入,求出对 应的参数,进而解得切线方程.


相关文章:
高考数学(理)(全国通用版)一轮复习课件:变化率与导数、....ppt
高考数学(理)(全国通用版)一轮复习课件:变化率与导数导数的计算 - 第十节 变化率与导数导数的计算 【教材基础回顾】 1.导数的概念 (1)函数y=f(x)在x...
高三新课标理科数学一轮复习课件 2.11 变化率与导数、....ppt
高三新课标理科数学一轮复习课件 2.11 变化率与导数导数的计算_数学_高中教育_教育专区。高三新课标理科数学一轮复习课件 2.11 变化率与导数导数的计算 ...
高三数学,理科一轮复习,人教A版 2-10,变化率与导数、,....ppt
高三数学,理科一轮复习,人教A版 2-10,变化率与导数,导数的计算 ,课件 第二章 函数、导数及其应用 第十节 变化率与导数、导数的计算 微知识 小题练 微...
【创新方案】2015高考数学(理)一轮复习精选课件第9章 ....ppt
【创新方案】2015高考数学(理)一轮复习精选课件第9章 第1节 变化率与导数导数的计算 - 第一节 变化率与导数导数的计算 1.了解导数概念的实际背景. 考纲...
高三一轮复习变化率与导数、导数的计算_图文.ppt
高三一轮复习变化率与导数导数的计算_数学_高中教育_教育专区。第二章 基本初等函数、导数及其应用 第11课时 变化率与导数导数的 计算 第二章 基本初等函数...
(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《变化率与导数、导....doc
(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习变化率与导数导数的运算》理 新人教B版 - [第 13 讲 变化率与导数导数的运算] (时间:45 分钟 分值:100 分) 基础...
2018届高三理科数学一轮复习 变化率与导数、导数的计算....ppt
2018届高三理科数学一轮复习 变化率与导数、导数的计算_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第一节 变化率与导数,导数的计算 本节主要包括 2 个知识点: 1.导数...
(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《变化率与导数、导....doc
(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习变化率与导数导数的运算》理 新人教B版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。[第 13 讲 变化率与导数导数的运算] (时间...
【人教版】2014届高三数学(理)第一轮夯实基础《变化率....ppt
【人教版】2014届高三数学(理)一轮夯实基础《变化率与导数导数的计算》(知识梳理+典例讲解+习题) - 2.1 变化率与导数导数的计算 考纲点击 1.了解导数...
2014届高考数学一轮复习教学案变化率与导数、导数的计算.doc
2014届高考数学一轮复习教学案变化率与导数导数的计算 - 第十一节 变化率与导数导数的计算 [知识能否忆起] 一、导数的概念 1.函数 y=f(x)在 x=x0 ...
2019版高考数学(理)一轮复习课件:2.10变化率与导数、导....ppt
2019版高考数学(理)一轮复习课件:2.10变化率与导数导数的计算 - 第十节 变化率与导数导数的计算 【教材基础回顾】 1.导数的概念 (1)函数y=f(x)在x=...
...一轮复习第三章导数及其应用第1节变化率与导数导数....ppt
(课标通用)高考数学一轮复习第三章导数及其应用第1节变化率与导数导数的计算课件理 - 第三章 导数及其应用 变化率与导数导数的计算 第一节 1.了解导数概念的...
【名校】湖南省长沙市长郡中学高考数学(理)一轮复习课....ppt
【名校】湖南省长沙市长郡中学高考数学(理)一轮复习课件《第二章 第十节变化率与导数导数的计算》( - 变化率与导数导数的计算 考点一:导数的运算 题组练透...
高三数学(文)一轮复习讲解与练习2.11变化率与导数、导....doc
高三数学()一轮复习讲解与练习2.11变化率与导数导数的计算(含答案解析) - 第十一节 变化率与导数导数的计算 [备考方向要明了] 考什么 1.了解导数概念...
变化率与导数、导数的计算高考数学第一轮考点复习课件1....ppt
变化率与导数导数的计算高考数学第一轮考点复习课件12_高三数学_数学_高中教育_教育专区。变化率与导数导数的计算高考数学第一轮考点复习课件 ...
...A版理)一轮复习课件:第2章 第10节 变化率与导数、导....ppt
2018版高考数学(人教A版理)一轮复习课件:第2章 第10节 变化率与导数导数的计算_数学_高中教育_教育专区。高三一轮总复习抓 基础自主学习 第十节 [考纲...
...导数及其应用2.10变化率与导数、导数的计算课件理_....ppt
高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用2.10变化率与导数导数的计算课件理 - 第二章 函数、导数及其应用 第十节 变化率与导数导数的计算 微知识 小题...
...高三数学(文)一轮复习练习:2-10变化率与导数、导数....doc
【赢在微点】高三数学()一轮复习练习:2-10变化率与导数导数的计算(含答案解析) - 配餐作业(十三) 一、选择题 变化率与导数导数的计算 1.若 f(x)=...
2014届高三数学:变化率与导数、导数的计算.ppt
2014届高三数学(理)一轮《... 暂无评价 44页 免费 2014届高三数学一轮复习专...变化率,与导数导数的计算 72页 2财富值 考点9 变化率与导数、导数... 2页...
2018届高三文科数学一轮复习 变化率与导数的运算_图文.ppt
2018届高三文科数学一轮复习 变化率与导数的运算 - 第二章 函数、导数及其应用 第十节 变化率与导数的运算 淮北一中数学组 1.导数的概念 (1)函数 y=f(x)...
更多相关标签: