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【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 等比数列及其前n项和学案 理 新人教A版

等比数列及其前 n 项和
导学目标: 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式.3.了 解等比数列与指数函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比 数列的有关知识解决相应的问题.

自主梳理 1.等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零), 那么这个 数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的________,通常用字母________表示(q≠0). 2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则它的通项 an=______________. 3.等比中项: 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中 项. 4.等比数列的常用性质 * (1)通项公式的推广:an=am·________ (n,m∈N ). (2)若{an}为等比数列, 且 k+l=m+n (k, l, m, n∈N*), 则__________________________. ?1? ?an? 2 (3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λ an} (λ ≠0),? ?,{an},{an·bn},? ?
?an? ?bn?

仍是等比数列.
? ? ? ?a1<0 ?a1>0, ?a1<0 ? 或? ?{an}是________数列; 或? ?{an} ?q>1 ?0<q<1 ?0<q<1 ?q>1 ? ? ? ? 是________数列;q=1?{an}是____数列;q<0?{an}是________数列. 5.等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的公比为 q (q≠0),其前 n 项和为 Sn,当 q=1 时,Sn=na1; a1 -qn a1 qn- a1qn a1 当 q≠1 时,Sn= = = - . 1-q q-1 q-1 q-1 6.等比数列前 n 项和的性质 公比不为-1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成等比数列, 其公比为______. 自我检测 1 . “b = ac ” 是 “a 、 b 、 c 成 等 比 数 列 ” 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 n 2 .若数列 {an} 的前 n 项和 Sn = 3 - a ,数列 {an} 为等比数列,则实数 a 的值是 ( ) A.3 B.1 C.0 D.-1 4 7 3n + 1 * 3 . (2011· 温 州 月 考 ) 设 f(n) = 2 + 2 + 2 + ? + 2 (n ∈ N ) , 则 f(n) 等 于 ( ) 2 n 2 n+1 A. (8 -1) B. (8 -1) 7 7 2 n+2 2 n+3 C. (8 -1) D. (8 -1) 7 7 4.(2011·湖南长郡中学月考)已知等比数列{an}的前三项依次为 a-2,a+2,a+8, ? (4)单调性: ? ?a1>0,

1

则 (

an
)





?3?n ?2?n A.8·? ? B.8·? ? 2 ? ? ?3? ?3?n-1 ?2?n-1 C.8·? ? D.8·? ? 2 ? ? ?3? 5.设{an}是公比为 q 的等比数列,|q|>1,令 bn=an+1 (n=1,2,?),若数列{bn}有 连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则 6q=________.

探究点一 等比数列的基本量运算 例 1 已知正项等比数列{an}中,a1a5+2a2a6+a3a7=100,a2a4-2a3a5+a4a6=36,求数 列{an}的通项 an 和前 n 项和 Sn.

变式迁移 1 在等比数列{an}中,a1+an=66,a2·an-1=128,Sn=126,求 n 和 q.

探究点二 等比数列的判定 例 2 (2011·岳阳月考)已知数列{an}的首项 a1=5,前 n 项和为 Sn,且 Sn+1=2Sn+n * +5,n∈N . (1)证明数列{an+1}是等比数列; (2)求{an}的通项公式以及 Sn.

变式迁移 2 设数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知 a1+2a2+3a3+?+nan=(n-1)Sn+2n(n ∈N ). (1)求 a2,a3 的值; (2)求证:数列{Sn+2}是等比数列.
*

探究点三 等比数列性质的应用 例3 1 1 1 1 1 (2011·湛江月考)在等比数列{an}中, a1+a2+a3+a4+a5=8, 且 + + + +

a1 a2 a3 a4

a5

=2,求 a3.

变式迁移 3 (1)已知等比数列{an}中,有 a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且 b7=a7,
2

求 b5+b9 的值; (2)在等比数列{an}中,若 a1a2a3a4=1,a13a14a15a16=8,求 a41a42a43a44.

分类讨论思想与整体思想的应用 例 (12 分)设首项为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 80,它的前 2n 项和为 6 560, 且前 n 项中数值最大的项为 54,求此数列的第 2n 项. 【答题模板】 解 设数列{an}的公比为 q, 若 q=1,则 Sn=na1,S2n=2na1=2Sn. ∵S2n=6 560≠2Sn=160,∴q≠1,[2 分]

a ? ? 由题意得? a ? ?

1

-q 1-q -q 1-q

n

=80,
2n

① [4 分] ②

1

=6 560.
n

将①整体代入②得 80(1+q )=6 560, n ∴q =81.[6 分] n 将 q =81 代入①得 a1(1-81)=80(1-q), ∴a1=q-1,由 a1>0,得 q>1, ∴数列{an}为递增数列.[8 分] ∴an=a1q
n-1

= ·q =81· =54.

a1 q

n

a1 q

a1 2 ∴ = .[10 分] q 3 与 a1=q-1 联立可得 a1=2,q=3, 2n-1 * ∴a2n=2×3 (n∈N ).[12 分] 【突破思维障碍】 (1)分类讨论的思想:①利用等比数列前 n 项和公式时要分公比 q=1 和 q≠1 两种情况 讨论;②研究等比数列的单调性时应进行讨论:当 a1>0,q>1 或 a1<0,0<q<1 时为递增数列; 当 a1<0,q>1 或 a1>0,0<q<1 时为递减数列;当 q<0 时为摆动数列;当 q=1 时为常数列.(2)
函数的思想: 等比数列的通项公式 an=a1q
n-1

= ·q (q>0 且 q≠1)常和指数函数相联系. (3)
n

a1 q

n

整体思想:应用等比数列前 n 项和时,常把 q ,

当成整体求解. 1-q
n

a1

-q 1- q 的值整体代入求解,简化了运算,体现了整体代换的思想,在解决有关数列求和的题目时应 灵活运用. 本题条件前 n 项中数值最大的项为 54 的利用是解决本题的关键, 同时将 q 和

a1

n

na1, q=1, ? ? n 1. 等比数列的通项公式、 前 n 项公式分别为 an=a1q , Sn=?a1 -q , q≠1. ? ? 1-q
n-1

2.等比数列的判定方法:

3

an+1 * =q (q≠0,n∈N ) (q 是与 n 值无关的常数). an 2 * (2)中项法:证明一个数列满足 an+1=an·an+2 (n∈N 且 an·an+1·an+2≠0).
(1)定义法:即证明 3.等比数列的性质: n-m * (1)an=am·q (n,m∈N ); * (2)若{an}为等比数列,且 k+l=m+n (k,l,m,n∈N ),则 ak·al=am·an; (3)设公比不为-1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成等比数 n 列,其公比为 q . 4.在利用等比数列前 n 项和公式时,一定要对公比 q=1 或 q≠1 作出判断;计算过程 中要注意整体代入的思想方法. 5.等差数列与等比数列的关系是: (1)若一个数列既是等差数列,又是等比数列,则此数列是非零常数列; (2)若{an}是等比数列,且 an>0,则{lg an}构成等差数列.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2010·辽宁)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和.已知 a2a4=1,S3 = 7 , 则 S5 等 于 ( ) 15 31 33 17 A. B. C. D. 2 4 4 2 2 . (2010· 浙 江 ) 设 Sn 为 等 比 数 列 {an} 的 前 n 项 和 , 8a2 + a5 = 0 , 则 (

S5 等于 S2

) A.-11 B.-8 C.5 D.11 3.在各项都为正数的等比数列{an}中,a1=3,前三项的和 S3=21,则 a3+a4+a5 等于 ( ) A.33 B.72 C.84 D.189 4.等比数列{an}前 n 项的积为 Tn,若 a3a6a18 是一个确定的常数,那么数列 T10,T13,T17, T25 中 也 是 常 数 的 项 是 ( ) A.T10 B.T13 C.T17 D.T25 5. (2011·佛山模拟)记等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 S3=2, S6=18, 则

S10 等于( S5

)

A.-3 B.5 C.-31 D.33 题号 1 2 3 4 5 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6. 设{an}是公比为正数的等比数列, 若 a1=1, a5=16, 则数列{an}前 7 项的和为________. 7.(2011·平顶山月考)在等比数列{an}中,公比 q=2,前 99 项的和 S99=30,则 a3+ a6+a9+?+a99=________. 8.(2010·福建)在等比数列{an}中,若公比 q=4,且前 3 项之和等于 21,则该数列的 通项公式 an=________. 三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)(2010·陕西)已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等 比数列. (1)求数列{an}的通项; (2)求数列{2an}的前 n 项和 Sn.
4

10.(12 分)(2011·廊坊模拟)已知数列{log2(an-1)}为等差数列,且 a1=3,a2=5. (1)求证:数列{an-1}是等比数列; 1 1 1 (2)求 + +?+ 的值. a2-a1 a3-a2 an+1-an

11.(14 分)已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且第 2 项、第 5 项、第 14 项分 别是等比数列{bn}的第 2 项、第 3 项、第 4 项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)设数列{cn}对 n∈N 均有 + +?+ =an+1 成立,求 c1+c2+c3+?+c2 010.
*

c1 c2 b1 b2

cn bn

答案 自主梳理 n-1 n- m 1.公比 q 2.a1·q 4.(1)q (2)ak·al=am·an n (4)递增 递减 常 摆动 6.q 自我检测 1.D 2.B 3.B 4.C 5.-9 课堂活动区 例 1 解题导引 (1)在等比数列的通项公式和前 n 项和公式中共有 a1,an,q,n,Sn 五个量,知道其中任意三个量,都可以求出其余两个量.解题时,将已知条件转化为基本量 间的关系,然后利用方程组的思想求解; (2)本例可将所有项都用 a1 和 q 表示,转化为关于 a1 和 q 的方程组求解;也可利用等比 数列的性质来转化,两种方法目的都是消元转化. 解 方法一 由已知得:
?a1q +2a1q +a1q =100, ? ? 2 4 2 6 2 8 ?a1q -2a1q +a1q =36. ?
2 6 1 2 6 1 2 4 2 6 2 8

① ②

①-②,得 4a q =64,∴a q =16.③ 16 2 代入①,得 2 +2×16+16q =100.

q

1 2 2 解得 q =4 或 q = . 4 1 又数列{an}为正项数列,∴q=2 或 . 2 1 当 q=2 时,可得 a1= , 2 1 n-1 n-2 ∴an= ×2 =2 , 2 1 n (1-2 ) 2 1 n-1 Sn= =2 - ; 1-2 2

5

1 当 q= 时,可得 a1=32. 2 ?1?n-1 6-n ∴an=32×? ? =2 . ?2? ? ?1?n? 32?1-? ? ? ? ?2? ? 6-n Sn= =64-2 . 1 1- 2 2 2 方法二 ∵a1a5=a2a4=a3,a2a6=a3a5,a3a7=a4a6=a5, ? ?a1a5+2a2a6+a3a7=100, 由? ?a2a4-2a3a5+a4a6=36, ?
? ?a3+2a3a5+a5=100, 可得? 2 2 ?a3-2a3a5+a5=36, ? ? ?(a3+a5) =100, 即? 2 ?(a3-a5) =36. ?
2 2 2

∴?

? ?a3+a5=10, ?a3-a5=±6. ?

解得?

? ?a3=8, ?a5=2, ?

或?

? ?a3=2, ?a5=8. ?

a5 2 1 2 当 a3=8,a5=2 时,q = = = . a3 8 4 1 2 ∵q>0,∴q= ,由 a3=a1q =8, 2 ?1?n-1 6-n 得 a1=32,∴an=32×? ? =2 . ?2? 1 6-n 32-2 × 2 6-n Sn= =64-2 . 1 1- 2 8 2 当 a3=2,a5=8 时,q = =4,且 q>0, 2 ∴q=2. 2 1 2 由 a3=a1q ,得 a1= = . 4 2 1 n-1 n-2 ∴an= ×2 =2 . 2 1 n (2 -1) 2 1 n-1 Sn= =2 - . 2-1 2 变式迁移 1 解 由题意得 ? ?a2·an-1=a1·an=128,
? ?a1+an=66, ? ? ?a1=64, ?an=2 ? ? ?a1=2, ?an=64. ?

解得? 若?

或?

? ?a1=64, ?an=2, ?

则 Sn=

a1-anq 64-2q = =126, 1-q 1- q

6

1 ?1?n-1 解得 q= ,此时,an=2=64·? ? , 2 ?2? ∴n=6. 若?
? ?a1=2, ?an=64, ?

2-64q 则 Sn= =126,∴q=2. 1-q
n-1

∴an=64=2·2

.∴n=6. 1 综上 n=6,q=2 或 . 2 例 2 解题导引 (1)证明数列是等比数列的两个基本方法:

an+1 * =q (q 为与 n 值无关的常数)(n∈N ). an 2 * ②an+1=anan+2 (an≠0,n∈N ).
① (2)证明数列不是等比数列,可以通过具体的三个连续项不成等比数列来证明,也可用 反证法. * (1)证明 由已知 Sn+1=2Sn+n+5,n∈N , 可得 n≥2 时,Sn=2Sn-1+n+4, 两式相减得 Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1, 即 an+1=2an+1,从而 an+1+1=2(an+1), 当 n=1 时,S2=2S1+1+5, 所以 a2+a1=2a1+6, 又 a1=5,所以 a2=11, 从而 a2+1=2(a1+1), * 故总有 an+1+1=2(an+1),n∈N , an+1+1 又 a1=5,a1+1≠0,从而 =2, an+1 即数列{an+1}是首项为 6,公比为 2 的等比数列. n-1 (2)解 由(1)得 an+1=6·2 , n-1 所以 an=6·2 -1, n 6·(1-2 ) n 于是 Sn= -n=6·2 -n-6. 1-2 * 变式迁移 2 (1)解 ∵a1+2a2+3a3+?+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N ),∴当 n=1 时, a1=2×1=2; 当 n=2 时,a1+2a2=(a1+a2)+4,∴a2=4; 当 n=3 时,a1+2a2+3a3=2(a1+a2+a3)+6, ∴a3=8. (2)证明 ∵a1+2a2+3a3+?+nan * =(n-1)Sn+2n(n∈N ),① ∴当 n≥2 时,a1+2a2+3a3+?+(n-1)an-1 =(n-2)Sn-1+2(n-1).② ①-②得 nan=(n-1)Sn-(n-2)Sn-1+2=n(Sn-Sn-1)-Sn+2Sn-1+2=nan-Sn+2Sn-1+ 2. ∴-Sn+2Sn-1+2=0,即 Sn=2Sn-1+2, ∴Sn+2=2(Sn-1+2). ∵S1+2=4≠0,∴Sn-1+2≠0, Sn+2 ∴ =2, Sn-1+2 故{Sn+2}是以 4 为首项,2 为公比的等比数列. 例 3 解题导引 在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特 别是性质“若 m+n=p+q,则 am·an=ap·aq”,可以减少运算量,提高解题速度. 解 由已知得
7

1

a1 a2 a3 a4 a5 a1+a5 a2+a4 a3 = + + a1a5 a2a4 a2 3 a1+a2+a3+a4+a5 8 = = 2=2, a2 a3 3 2 ∴a3=4,∴a3=±2.若 a3=-2,设数列的公比为 q,
则 -2 -2 2 -2-2q-2q =8, 2 +

1 1 1 1 + + + +

q

q

1 1 2 即 2+ +1+q+q

q

q

?1 1?2 ? 1?2 1 =? + ? +?q+ ? + =-4. ?q 2? ? 2? 2 此式显然不成立,经验证,a3=2 符合题意,故 a3=2. 2 变式迁移 3 解 (1)∵a3a11=a7=4a7, ∵a7≠0,∴a7=4,∴b7=4, ∵{bn}为等差数列,∴b5+b9=2b7=8. 2 3 4 6 (2)a1a2a3a4=a1·a1q·a1q ·a1q =a1q =1.① a13a14a15a16=a1q12·a1q13·a1q14·a1q15 4 54 =a1·q =8.② 54 a4 1·q 48 16 ②÷①: 4 =q =8? q =2, a1·q6 40 41 42 43 又 a41a42a43a44=a1q ·a1q ·a1q ·a1q 4 166 4 6 160 4 6 16 10 =a1·q =a1·q ·q =(a1·q )·(q ) 10 =1·2 =1 024. 课后练习区 1.B [∵{an}是由正数组成的等比数列,且 a2a4=1, 2 ∴设{an}的公比为 q,则 q>0,且 a3=1,即 a3=1. 1 1 2 ∵S3=7,∴a1+a2+a3= 2+ +1=7,即 6q -q-1=0.
q q
1 1 1 故 q= 或 q=- (舍去),∴a1= 2=4. 2 3 q 1 4(1- 5) 2 1 31 ∴S5= =8(1- 5)= .] 1 2 4 1- 2

S5 a1(1+25) 2.A [由 8a2+a5=0,得 8a1q+a1q =0,所以 q=-2,则 = =-11.] S2 a1(1-22) 3.C [由题可设等比数列的公比为 q, 3 3(1-q ) 2 2 则 =21? 1+q+q =7? q +q-6=0 1-q ? (q+3)(q-2)=0, 根据题意可知 q>0,故 q=2. 2 所以 a3+a4+a5=q S3=4×21=84.] 3 2+5+17 8 3 3 4.C [a3a6a18=a1q =(a1q ) =a9,即 a9 为定值,所以下标和为 9 的倍数的积为定 值,可知 T17 为定值.] 5.D [因为等比数列{an}中有 S3=2,S6=18,
4

8

a1(1-q6) 1-q S6 18 3 即 = =1+q = =9, S3 a1(1-q3) 2 1-q a1(1-q10) 1-q S10 故 q=2,从而 = S5 a1(1-q5) 1-q 5 5 =1+q =1+2 =33.]
6.127 解析 ∵公比 q = =16,且 q>0,∴q=2, 1-2 ∴S7= =127. 1-2 120 7. 7 99 解析 ∵S99=30,即 a1(2 -1)=30, ∵数列 a3,a6,a9,?,a99 也成等比数列且公比为 8, 33 4a1(1-8 ) ∴a3+a6+a9+?+a99= 1-8 99 4a1(2 -1) 4 120 = = ×30= . 7 7 7 n-1 8.4 解析 ∵等比数列{an}的前 3 项之和为 21,公比 q=4, 2 n-1 不妨设首项为 a1,则 a1+a1q+a1q =a1(1+4+16)=21a1=21,∴a1=1,∴an=1×4 n-1 =4 . 9.解 (1)由题设知公差 d≠0, 由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列, 1+2d 1+8d 得 = ,????????????????????????????(4 1 1+2d 分) 解得 d=1 或 d=0(舍去). 故{an}的通项 an=1+(n-1)×1=n.???????????????????? (7 分) n (2)由(1)知 2an=2 ,由等比数列前 n 项和公式, n 2(1-2 ) 2 3 n 得 Sn=2+2 +2 +?+2 = 1-2 n+1 = 2 - 2. ?????????????????????????????? (12 分) 10.(1)证明 设 log2(an-1)-log2(an-1-1)=d (n≥2),因为 a1=3,a2=5,所以 d = log2(a2 - 1) - log2(a1 - 1) = log24 - log22 = 1,??????????????????????(3 分) n 所以 log2(an-1)=n,所以 an-1=2 , an-1 所以 =2 (n≥2),所以{an-1}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列.???(6 an-1-1 分) n-1 (2)解 由(1)可得 an-1=(a1-1)·2 , n 所以 an=2 +1, ????????????????????????????(8 分) 1 1 1 所以 + +?+ a2-a1 a3-a2 an+1-an
9
7 4

a5 a1

1 1 1 + 3 2+?+ n+1 n 2 -2 2 -2 2 -2 1 1 1 1 = + 2 +?+ n = 1- n . ???????????????????????? (12 2 2 2 2 =
2

分) 11.解 (1)由已知有 a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d, 2 ∴(1+4d) =(1+d)(1+13d). 解得 d=2(d=0 舍). ??????????????????????????(2 分) ∴an=1+(n-1)·2=2n-1.???????????????????????? (3 分) 又 b2=a2=3,b3=a5=9, ∴数列{bn}的公比为 3, n- 2 n-1 ∴bn=3·3 =3 .??????????????????????????? (6 分) (2)由 + +?+ =an+1 得

c1 c2 b1 b2

cn bn

cn-1 =an. bn-1 cn 两式相减得: 当 n≥2 时, =an+1-an=2.?????????????????(9 分) bn n-1 ∴cn=2bn=2·3 (n≥2). c1 又当 n=1 时, =a2,∴c1=3. b1 ? (n=1) ?3 ∴cn=? .???????????????????????(11 n-1 ?2·3 (n≥2) ?
当 n≥2 时, + +?+ 分) ∴c1+c2+c3+?+c2 010 2 010 6-2×3 2 010 2 010 =3+ =3+(-3+3 )=3 .????????????????(14 分) 1-3

c1 c2 b1 b2

10


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