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2014年山东省高考理科数学试题Word版


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山东理科数学 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. (1)已知 a, b ? R , i 是虚数单位,若 a ? i 与 2 ? bi 互为共轭复数,则
(a ? bi)2 ?

(A) 5 ? 4i (B) 5 ? 4i (C) 3 ? 4i (D) 3 ? 4i (2)设集合 A ? {x || x ? 1|? 2}, B ? { y | y ? 2x , x ?[0, 2]},则 A B ? (A) [0, 2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1, 4) (3)函数 f ( x) ?
1 2

1 (log 2 x)2 ? 1

的定义域为
1 2 1 2

(A) (0, ) (B) (2, ??) (C) (0, ) (2, ??) (D) (0, ] [2, ??) (4)用反证法证明命题: “已知 a , b 为实数,则方程 x2 ? ax ? b ? 0 至少 有一个实根”时,要做的假设是 (A)方程 x2 ? ax ? b ? 0 没有实根(B)方程 x2 ? ax ? b ? 0 至多有一个实 根 (C)方程 x2 ? ax ? b ? 0 至多有两个实根(D)方程 x2 ? ax ? b ? 0 恰好有 两个实根 (5)已知实数 x, y 满足 a x ? a y ( 0 ? a ? 1 ) ,则下列关系式恒成立的是 (A)
1 1 ? 2 (B) ln( x2 ? 1) ? ln( y2 ? 1) x ?1 y ?1
2

(C) sin x ? sin y (D) x2 ? y2 (6)直线 y ? 4 x 与曲线 y ? x3 在第一象限内 围成的封闭图形的面积为
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(A) 2 2 (B) 4 2 (C)2(D)4 (7)为研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有
kPa ) 志愿者的舒张压数据 (单位: 的分组区间为 [12,13) , [13,14) , [14,15) ,
[15,16) , [16,17] ,将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二

组,......,第五组.右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第 一组与第二组共有 20 人,第三组中没有疗效的有 6 人,则第三组中 有疗效的人数为 (A)1(B)8(C)12(D)18 (8)已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ?1 ,g ( x) ? kx ,若 f (x) ?g (x) 有两个不相等的 实根,则实数 k 的取值范围是 (A) (0, ) (B) ( ,1) (C) (1, 2) (D) (2, ??) (9)已知 x, y 满足约束条件 ?
? x ? y ? 1 ? 0, 当目标函数 ?2 x ? y ? 3 ? 0,
1 2 1 2

z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 在该约束条件下取到最小值 2 5 时, a 2 ? b 2 的最小

值为 (A)5(B)4(C) 5 (D)2 (10)已知 a ? b ,椭圆 C1 的方程为
x2 y 2 ? ? 1 ,双曲线 C2 的方程为 a 2 b2

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 , C1 与 C2 的离心率之积为 ,则 C2 的渐近线方程为 2 a b 2

(A) x ? 2 y ? 0 (B) 2x ? y ? 0 (C) x ? 2 y ? 0 (D) 2 x ? y ? 0

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分
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(11) 执行右面的程序框图, 若输入的 x 的值为 1, 则输出的 n 的值为 .
?
6

(12) 在 ?ABC 中, 已知 AB ? AC ? tan A , 当A?
?ABC 的面积为

时,

.

(13)三棱锥 P ? ABC 中,D ,E 分别为 PB ,PC 的 中点,记三棱锥 D ? ABE 的体积为 V1 ,P ? ABC 的体 积为 V2 ,则
V1 ? V2
b x

.

(14)若 (ax 2 ? ) 4 的展开式中 x3 项的系数为 20, 则 a 2 ? b 2 的最小值为 .

(15) 已知函数 y ? f ( x)( x ? R) .对函数 y ? g ( x)( x ? I ) , 定义 g ( x) 关于 f ( x) 的“对称函数”为 y ? h( x)( x ? I ) , y ? h( x) 满足:对任意 x ? I ,两个点
( x, h( x)) , ( x, g ( x)) 关于点 ( x, f ( x)) 对称.若 h( x) 是 g ( x) ? 4 ? x 2 关于

,且 h( x) ? g ( x) 恒成立,则实数 b 的取值范 f ( x) ? 3x ? b 的“对称函数” 围是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. (16) (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (m,cos 2x) , b ? (sin 2x, n) ,设函数 f ( x) ? a ? b ,且 y ? f ( x) 的 图象过点 (
?
12 , 3) 和点 ( 2? , ?2) . 3

(Ⅰ)求 m, n 的值; (Ⅱ)将 y ? f ( x) 的图象向左平移 ? ( 0 ? ? ? ? )个单位后得到函数
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y ? g ( x) 的图象.若 y ? g ( x) 的图象上各最高点到点 (0,3) 的距离的最小值

为 1,求 y ? g ( x) 的单调增区间. (17) (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, 底面 ABCD 是等腰梯形, ?DAB ? 60 ,
AB ? 2CD ? 2 , M 是线段 AB 的中点.

(Ⅰ)求证: C1M // A1 ADD1 ; (Ⅱ)若 CD1 垂直于平面 ABCD 且 CD1 ? 3 ,求平面 C1D1M 和平面 ABCD 所成的角(锐角)的余弦值.

(18) (本小题满分 12 分) 乒乓球台面被网分成甲、乙两部分,如图, 甲上有两个不相交的区域 A, B ,乙被划分为两个不相交的区域 C , D . 某次测试要求队员接到落点在甲上的来球 后向乙回球.规定:回球一次,落点在 C 上记 3 分,在 D 上记 1 分,其它情况记 0 分.对落 点在 A 上的来球,小明回球的落点在 C 上的概率为 ,在 D 上的概率 为 ;对落点在 B 上的来球,小明回球的落点在 C 上的概率为 ,在 D
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1 3

1 5

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上的概率为 .假设共有两次来球且落在 A, B 上各一次,小明的两次回 球互不影响.求: (Ⅰ)小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率; (Ⅱ)两次回球结束后,小明得分之和 ? 的分布列与数学期望. (19) (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的公差为 2,前 n 项和为 Sn ,且 S1 , S2 , S4 成等比数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? (?1)n?1
4n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an an?1

3 5

(20) (本小题满分 13 分)
ex 2 设函数 f ( x) ? 2 ? k ( ? ln x) ( k 为常数, e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底 x x

数). (Ⅰ)当 k ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在 (0, 2) 内存在两个极值点,求 k 的取值范围.

(21) (本小题满分 14 分) 已知抛物线 C : y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , A 为 C 上异于原点的任意一 点,过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B ,交 x 轴的正半轴于点 D ,且有
| FA |?| FD | .当点 A 的横坐标为 3 时, ?ADF

为正三角形.

(Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l1 // l ,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E , (ⅰ)证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标;
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(ⅱ) ?ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不 存在,请说明理由.

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