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【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修1-1)练习:第2章 §1 1.1 椭圆]


第二章
一、选择题

§1

1.1

1.设 F1,F2 为定点,|F1F2|=6,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6,则动点 M 的轨迹方程 是( ) A.椭圆 C.圆 [答案] D [解析] ∵|MF1|+|MF2|=6,|F1F2|=6, ∴|MF1|+|MF2|=|F1F2|,∴点 M 的轨迹是线段 F1F2. x2 y2 2.已知椭圆 + =1 上一点 P 到其一个焦点的距离为 3,则点 P 到另一个焦点的距 25 16 离为( A.2 C.5 [答案] D [解析] 利用椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10. ∵|PF1|=3,∴|PF2|=7. 3.若方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是( A.(0,+∞) C.(1,+∞) [答案] D x2 y2 [解析] 先将方程 x2+ky2=2 变形为 + =1. 2 2 k 2 要使方程表示焦点在 y 轴上的椭圆,需 >2, k 即 0<k<1. 4.椭圆 5x2+ky2=5 的一个焦点是(0,2),那么 k 的值为( A.-1 C. 5 [答案] B y2 [解析] 椭圆方程 5x2+ky2=5 可化为:x2+ =1, 5 k 5 5 又∵焦点是(0,2),∴a2= ,b2=1,c2= -1=4, k k B.1 D.- 5 ) B.(0,2) D.(0,1) ) ) B.3 D.7 B.直线 D.线段

∴k=1. x2 y2 5.已知椭圆 + =1 的焦点在 y 轴上,若焦距为 4,则 m 等于( 10-m m-2 A.4 [答案] D 10-m>0, ? ?m-2>0, 由题意得? m-2>10-m, ? ?m-2-10+m=4. B.5 C.7 D.8 )

[解析]

解得 m=8. 3 4 6.已知椭圆过点 P( ,-4)和点 Q(- ,3),则此椭圆的标准方程是( 5 5 y2 A. +x2=1 25 x2 C. +y2=1 25 [答案] A [解析] 设椭圆方程为:Ax2+By2=1(A>0,B>0), x2 y2 2 2 B. +y =1 或 x + =1 25 25 D.以上都不对 )

?25A+16B=1, 由题意得? 16 ?25A+9B=1.
二、填空题

9

A=1, ? ? 解得? 1 ? ?B=25.

7.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆与 x 轴的一个交点到两焦点的距离 分别为 3 和 1,则椭圆的标准方程为________. [答案] x2 y2 + =1 4 3

?a+c=3 ?a=2 ? ? [解析] 由题意可得? ,∴? , ?a-c=1 ?c=1 ? ?

x2 y2 故 b2=a2-c2=3,所以椭圆方程为 + =1. 4 3 x2 y2 8.过点(-3,2)且与 + =1 有相同焦点的椭圆方程是________. 9 4 [答案] x2 y2 + =1 15 10

x2 y2 9 [解析] 因为焦点坐标为(± 5,0),设方程为 2+ 2 =1,将(-3,2)代入方程可得 2+ a a -5 a 4 x2 y2 2 =1,解得 a =15,故方程为 + =1. 15 10 a2-5

9.动点 P 到两定点 A(-3,0)、B(3,0)距离之和为 10,则点 P 的轨迹方程为________. [答案] x2 y2 + =1 25 16

[解析] ∵|AB|=6<10,∴所求轨迹为以 A、B 为焦点的椭圆,由定义知 a=5,c=3, ∴b=4, x2 y2 ∴方程为 + =1. 25 16 三、解答题 y2 x2 10.如图所示,已知点 P 是椭圆 + =1 上的点,F1 和 F2 是焦点,且∠F1PF2=30° , 5 4 求△F1PF2 的面积. [答案] 8-4 3

y2 x2 [解析] 在椭圆 + =1 中,a= 5,b=2,∴c= a2-b2=1, 5 4 又∵点 P 在椭圆上,∴|PF1|+|PF2|=2a=2 5① 由余弦定理知|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|· |PF2|· cos30° =|F1F2|2=(2c)2=4② ①式两边平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|· |PF2|=20③ ③-②得(2+ 3)|PF1|· |PF2|=16, ∴|PF1|· |PF2|=16(2- 3), 1 ∴S△PF1F2= |PF1|· |PF2|· sin30° =8-4 3. 2

一、选择题 x2 y2 11. 设 P 是椭圆 + =1 上一点, P 到两焦点 F1、 F2 的距离之差为 2, 则△PF1F2 是( 16 12 A.锐角三角形 C.钝角三角形 [答案] B [解析] 由椭圆定义,知|PF1|+|PF2|=2a=8. 又|PF1|-|PF2|=2, B.直角三角形 D.等腰直角三角形 )

∴|PF1|=5,|PF2|=3. 又|F1F2|=2c=2 16-12=4, ∴△PF1F2 为直角三角形. 12.已知椭圆的两个焦点分别是 F1、F2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F1P 到 Q, 使得|PQ|=|PF2|,那么动点 Q 的轨迹是( A.圆 C.射线 [答案] A [解析] ∵|PQ|=|PF2|且|PF1|+|PF2|=2a, ∴|PQ|+|PF1|=2a, 又∵F1、P、Q 三点共线, ∴|PF1|+|PQ|=|F1Q|,∴|F1Q|=2a. 即 Q 在以 F1 为圆心,以 2a 为半径的圆上. 13.若△ABC 的两个顶点坐标 A(-6,0),B(6,0),△ABC 的周长为 32,则顶点 C 的轨迹 方程为( ) y2 x2 B. + =1(y≠0) 100 64 x2 y2 D. + =1(y≠0) 100 64 x2 y2 A. + =1 100 64 x2 y2 C. + =1(y≠0) 36 64 [答案] D [解析] 由题意得|CA|+|CB|+|AB|=32,又|AB|=12,∴|CA|+|CB|=20>|AB|,由椭圆定 x2 y2 义知,顶点 C 的轨这是以 A,B 为焦点的椭圆,其方程为 + =1(y≠0). 100 64 14.(2014· 邯郸市一模)椭圆 x2 y2 + =1 的左、右焦点分别为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上.如 12 3 ) ) B.椭圆 D.直线

果线段 PF2 的中点在 y 轴上,那么|PF2|是|PF1|的( A.7 倍 [答案] A

B.5 倍 C.4 倍 D.3 倍

3 3 [解析] 解法 1:由条件知 F1(-3,0),F2(3,0),P(-3,± ),即|PF1|= ,由椭圆定 2 2 义知|PF1|+|PF2|=2a=4 3,∴|PF2|= 即|PF2|=7|PF1|. b2 3 解法 2:由已知,则 PF1⊥F1F2,∴PF1= = , a 2 而 F1F2=2c=6,∴|PF2|2=( 32 ) +62, 2 7 3 , 2

7 3 ∴|PF2|= ,∴|PF2|是|PF1|的 7 倍. 2 二、填空题 15.已知椭圆的焦点是 F1(-1,0),F2(1,0),P 是椭圆上的一点,则|F1F2|是|PF1|和|PF2| 的等差中项,则该椭圆的方程是________. [答案] x2 y2 + =1 4 3

[解析] 由题意得 2|F1F2|=|PF1|+|PF2|, ∴4c=2a=4,∴a=2. 又 c=1,∴b2=a2-c2=3, x2 y2 故椭圆方程为 + =1. 4 3 x2 y2 → 16.已知 F1、F2 是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆 C 上一点,且PF1⊥ a b → PF2.若△PF1F2 的面积为 9,则 b=________. [答案] 3 [解析] 本题考查椭圆的定义及整体代换的数学思想. 由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=2a, ∴|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|· |PF2|=4a2, → → 又∵PF1⊥PF2, ∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2, ∴2|PF1|· |PF2|=4a2-4c2=4b2, ∴|PF1|· |PF2|=2b2, 1 S△PF1F2= |PF1|· |PF2|=b2=9,∴b=3. 2 三、解答题 17.设△ABC 的三顶点 A、B、C 对应三边分别为 a、b、c,且 a、b、c(a>b>c)成等差 数列,A、C 两点的坐标分别是(-1,0)、(1,0),求顶点 B 的轨迹方程. [答案] x2 y2 + =1(-2<x<0) 4 3

[解析] 设点 B 的坐标为(x,y). ∵a、b、c 成等差数列,∴a+c=2b,即|BC|+|BA|=2|AC|,∴|BC|+|BA|=4. x2 y2 根据椭圆的定义易知,点 B 的轨迹方程为 + =1. 4 3 又∵a>b>c,∴a>c,即|BC|>|AB|, ∴(x-1)2+y2>(x+1)2+y2,∴x<0,

x2 y2 ∴点 B 的轨迹是椭圆的一半,方程为 + =1(x<0). 4 3 又当 x=-2 时,点 B、A、C 在同一直线上,不能构成△ABC,∴x≠-2. x2 y2 ∴顶点 B 的轨迹方程为 + =1(-2<x<0). 4 3 y2 x2 18.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的焦点分别为 F1(0,-1),F2(0,1),且 3a2=4b2. a b (1)求椭圆的方程; (2)设点 P 在这个椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求∠F1PF2 的余弦值. y2 x2 [答案] (1) + =1 4 3 3 (2) 5

[解析] (1)由题意得椭圆焦点在 y 轴上,且 c=1. 1 又∵3a2=4b2,∴a2-b2= a2=c2=1, 4 ∴a2=4,b2=3, y2 x2 ∴椭圆标准方程为 + =1. 4 3 (2)如图所示,|PF1|-|PF2|=1.

5 3 又由椭圆定义知,|PF1|+|PF2|=4,|PF1|= ,|PF2|= ,|F1F2|=2, 2 2 5 3 ? ?2+? ?2-22 2 2 9 3 cos∠F1PF2= = = . 5 3 15 5 2× × 2 2


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