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数学北师大版九年级下册圆周角与圆心角关系(1)_图文

北师大版九年级下册第三章圆 授课教师 : 王铁军 回顾与思考 如图1 ,在圆O中, ∠AOB是 圆心 角。 如图2 , AB=CD ,则∠AOB与 B C O A ∠ COD 的 大 小 关 系 是: O B A D 相等 。 生活中的数学 在足球比赛中,球员射中球门的难易与他所 处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关。 探索生活中的数学奥秘 如图,当运动员分别站在B,D,E的位置射球时,对 球门AC的张角∠ABC、∠ADC和∠AEC大小相等吗? 请观察这三个角,它们有什么共同特征吗? 学习目标 1.了解圆周角的概念,掌握判断圆周角 的方法; 2.经历探索圆周角和圆心角的关系的过 程,掌握圆周角的相关性质; 3.运用圆周角的相关性质进行简单的计 算和证明,会解决生活中的一些问题; 探索新知一: 观察图中的∠ABC: 角的顶点在什么位置?角的两边与圆什么关系? A B C 认知概念: 观察图中的∠ABC,角的顶点在圆周上,且角的 两边都与圆相交,像这样的角叫做圆周角。 A 请同学们思考下面两个问题: (1)顶点在圆上的角是圆周角吗? B C (2)角的两边都和圆相交的角是圆周角吗? 为解决这个问题,我们先回答下面的问题。 巩固新知 例1、下列各图形中的角是不是圆周角?请说明理由 。 A B C D E 答:根据圆周角的定义可知,只有C是圆周角,其它都不是。 你能总结出圆周角的特征吗? 圆周角有两个特征: ①角的顶点在圆上;②角的两边都与圆相交。 探索新知二: 同一条弧所对的圆周角与它所对圆 心角大小之间有怎样的关系? O 合作与探究 A O ① B ② 同一条弧所对圆周角与圆心角共有以下三种位置情况: C A O B C B A O ③ C 探究问题:在以上各图中,圆周角∠ABC与圆心角 ∠AOC的大小之间存有怎样的关系? 学习要求: 1、以小组为单位,任意选择两种情况分类进行组内合作学习; 2、在组内初步形成结论,并能陈述理由; 3、各组推荐两名代表在黑板上展示各组的学习成果; 下面我们首先考虑同学们列举的一种特殊情况 ,即圆心O在∠ABC的一边BC上。 ∵ ∠AOC是△ABO的外角, ∴ ∠AOC=∠ABO+∠BAO。 ∵ OA=OB, ∴ ∠ABO=∠BAO。 B O A C ∴ ∠AOC=2∠ABO, 1 ∴ ∠ABC= 2 ∠AOC。 我们可以考虑把这两种情况分别转化成刚才的特殊情形来考虑。 也就是借用直径,连接BO并延长,与圆相交于点D。 (此时我们得到与图①同样的情形) ∵ ∠1是△ABO的外角, A D 3 C A O B ① C ∴ ∠1=∠2+∠3。 ∵ OA=OB, ∴ ∠2=∠3。 ∴ ∠1=2∠2, 1 ∴ ∠2= ∠1。 2 同理, ∠4= 1 ∠5。 2 1 ∴ ∠2+∠4= ( ∠ 1+∠5) 。 2 1 ∴ ∠ABC= ∠AOC。 2 1 5 24 O B 如图,连接BO并延长,与圆相交于点D。(此时我 们得到与图①同样的情形) A C A C D ∵ ∠AOD是△ABO的外角, O B B O ① ∴ ∠AOD=∠A+∠ABO。 ∵ OA=OB, ∴ ∠A=∠ABO。 ∴ ∠AOD=2∠ABD, 1 ∴ ∠ABD= ∠AOD。 2 如图,连接BO并延长,与相交于点D。(此时我们得到与图 ①同样的情形) ∵ ∠AOD是△ABO的外角, ∴ ∠ABD=∠A+∠ABO。 A C D O B B O ① A C ∵ OA=OB, ∴ ∠A=∠ABO。 ∴ ∠AOD=2∠ABD, 1 ∴ ∠ABD= ∠AOD。 2 1 同理 , ∠CBD= ∠COD。 2 1 1 ∴ ∠ABD-∠CBD= 2∠AOD- ∠COD 2 = 1 (∠AOD-∠COD)。 2 ∴ ∠ABC= 1 ∠AOC 2 认真观察,归纳真知 通过对三种情形的证明,同学们再认真观察图形,你会 得到什么样的结果? A O B C 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的 一半 。 小试牛刀 1、如图,在⊙O中,∠BOC=50° , 25° 则∠BAC= 。 B C A O 点拨:此 题要选择 关键点: ∠BOC与 ∠BAC对 着BC,因 此∠BOC 等于 ∠BAC的2 倍。 活学活用 变式1:如图,点A,B,C是⊙O上的三点, ∠BAC=40°,则∠BOC= 80 。 ° O 0 A 变式2:如图,∠BAC=40°,则 ∠OBC= 50 。 ° B C 如图,A,B,C,D是⊙O上的四点,且∠BCD=100° , 求∠BOD(弧BCD所对的圆心角)和∠BAD的大小? 解:∵∠BCD=100° ∴∠1=200° B C A D O ∴∠BOD=360°-200°=160° 如图,A,B,C,D是⊙O上的四点,且∠BCD=100° , 求∠BOD(BCD所对的圆心角)和∠BAD的大小。 解:∵∠BCD=100° A O1 B C D ∴∠1=200° ∴∠BOD=360°-200°=160° 1 1 ∴∠BAD= 2 ∠BOD= 2 ×160°=80° 课内拓展延伸 1.到目前为止,我们学习到和圆有关的角有几个?它们各有什 么特点?相互之间有什么关系? 答:和圆有关的角有圆心角和圆周角.圆心角顶点在圆心, 圆周角顶点在圆上;角的两边都与圆相交。一条弧所对的圆周 角等于它所对的圆心角的一半。 2.课后思考 如图,当他站在B,D,E的位置射球时对球门AC 的张角的大小相等吗?为什么? 作业设计 1、A、B、C组将新学内容整理在课堂笔记本上。 预习下一节课内容; 2、A组将课后随堂练习、习题做在课堂本上; 3、B组将课后随堂练习做在课堂本上; 4、C组将课后随堂练习1做在课堂本上; 授课教师 : 王铁军

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