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高中数学人教A版必修5《3.3.2简单的线性规划问题1》课件


y

o

x

x -4y≤ - 3
画出不等式组

3x+5y≤ 25 表示的平面区域。 x≥1

x-4y≤-3 3x+5y≤25 x≥1

在该平面区域上 问题 1:x有无最大(小)值?

y

x=1
C

问题2:y有无最大(小)值? 问题3:2x+y有无最大(小)值?

x-4y=-3
A
B

3x+5y=25

o

x

设z=2x+y,式中变量x、y满足下列条件

求z的最大值和最小值。

x-4y≤-3 3x+5y≤25, x≥1

y x=1
C x-4y=-3


B

3x+5y=25

o

x

y

x-4y≤-3
设z=2x+y,式中变量x、y满足下列条件

3x+5y≤25 ,
x≥1

求z的最大值和最小值。

y=-2x+ z 问题 1: 将z=2x+y如何变形? 斜率为-2的直线在y轴上的截距 。 问题 2: z几何意义是_____________________________
析: 作直线l0 :2x+y=0 ,则直线 l: C 2x+y=z是一簇与 l0平行的直线,故 直线 l 可通过平移直线l0而得,当直线往 右上方平移时z 逐渐增大: 当l 过点 B(1,1)时,z 最小,即zmin=3

x-4y=-3

o

B

3x+5y=25



x

当l 过点A(5,2)时,z最大,
即 zmax=2×5+2=12 。

x=1

约束条件:由x、y的不等式(方程)构成的不等式组。 线性约束条件:约束条件中均为关于x、y的一次不等式或方程。 目标函数:欲求最值的关于x、y的一次解析式。 线性目标函数:欲求最值的解析式是关于x、y的一次解析式。 线性规划:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值。 可行解:满足线性约束条件的解(x,y)。 可行域:所有可行解组成的集合。 y 最优解:使目标函数达到最大值
或 最小值 的可 行 解。 设Z=2x+y,式中变量x、y C

有关概念

满足下列条件

x-4y≤-3 3x+5y≤25 , x≥1

x-4y=-3

o

B

3x+5y=25



x

求z的最大值和最小值。

x=1

x -4y≤-3
例1:设z=2x-y,式中变量x、y满足下列条件 求z的最大值和最小值。

解:作出可行域如图: 当z=0时,设直线 l0:2x-y=0 平移l0, 当l0经过可行域上点A时,
-z 最小,即z最大。

y
3x+5y=25

3x+5y≤25 x≥1 2x-y=0
C (1,4.4)

平移l0 ,当l0经过可行域上点C时,
-z最大,即z最小。

x-4y=-3

o

B

(5,2)



x=1

x



x-4y=-3

(1,4.4) ; (5,2);由 得A点坐标_____ 得C点坐标_______ 3x+5y=25 3x+5y=25
zmax=2×5-2=8 zmin=2×1-4.4= -2.4

x=1



解线性规划问题的步骤:

画 画出线性约束条件所表示的可行域; 2、 移 在线性目标函数所表示的一组平行线
1、

中,用平移的方法找出与可行域有公 共点且纵截距最大或最小的直线;

求 通过解方程组求出最优解; 4、 答 作出答案。
3、

解答线性规划问题的步骤:
?第一步:根据约束条件画出可行域;
?第二步:令z=0,画直线l0;

?第三步:观察,分析,平移直线l0,

从而找到最优解;
?第四步:求出目标函数的最大值或最

小值.

例2:已知x、y满足

x -4y≤-3 3x+5y≤25 x≥1

,设z=ax+y (a>0), 若z

取得最大值时,对应点有无数个,求a 的值。

解:当直线 l :y =-ax+ z 与
直线AC重合时,有无数个点, 使函数值取得最大值,此时有: k l =kAC

y
3x+5y=25 x-4y=-3
C



4.4 ? 2 3 ? ? kAC= 1 ? 5 5

k l = -a ∴ -a
=?
3 5 3 5

A B



a=

o

x

x=1

3x +2y≤10

例3:满足线性约束条件 多少个整数解。

x>0

x+4y≤11

的可行域中共有

y>0
y
5
4 3 2 1

解:由题意得可行域如图:

由图知满足约束条件的 可行域中的整点为(1,1)、 (1,2)、(2,1)、(2,2)

故有四个整点可行解.

x +4y=11

0

1

2

3

3x +2y=10

4

5

x

例4、营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提 供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白质,0.06kg的 脂肪,1kg食物A含有0.105kg碳水化合物,0.07kg蛋白 质,0.14kg脂肪,花费28元;而1kg食物B含有0.105kg 碳水化合物,0.14kg蛋白质,0.07kg脂肪,花费21元。 为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时使花费 最低,需要同时食用食物A和食物B多少kg?

分析:将已知数据列成表格
食物/kg 碳水化合物/kg 蛋白质/kg 脂肪/kg

A B

0.105 0.105

0.07 0.14

0.14 0.07

解:设每天食用xkg食物A,ykg食物B,总成本 为z,那么
? 0.105 x+0.105 y ? 0.075 ?7 x ? 7 y ? 5 ? ? ? 0.07 x+0.14 y ? 0.06 ? 7 x ? 14 y ? 6 ? ?14 x ? 7 y ? 6 ? 0.14 x ? 0.07 y ? 0.06 ?x ? 0 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0 ?y ? 0

目标函数为:z=28x+21y 作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即 可行域

随z变化的一组平行直 线系

4 z 把目标函数z=28x+21y 变形为 y ? ? x ? 3 21 4 它表示斜率为 ? 3
6/7 y 5/7 M

的截距,当截距最 小时,z的值最小。

z 是直线在y轴上 21

3/7

如图可见,当直线z =28x+21y 经过可行域 上的点M时,截距最小, 即z最小。

o

3/7

5/7

6/7 x

M点是两条直线的交点,解方程组 7 x ? 7 y ? 5
1 ? ?x ? 7 得M点的坐标为:? 4 ?y ? ? 7
所以zmin=28x+21y=16 由此可知,每天食用食物A143g,食物B约 571g,能够满足日常饮食要求,又使花费最低, 最低成本为16元。

?14 x ? 7 y ? 6

四、练习题:
1、求z=2x+y的最大值,使x、y满足约束条件:

?y ? x ? ? x+ y ? 1 ? y ? -1 ?

2、求z=3x+5y的最大值,使x、y满足约束条件:

? 5 x+3y ? 15 ? ? y ? x+1 ? x-5y ? 3 ?

y

1.解:作出平面区域
A
x C

o

B

y ? x ? ? ? x+y ? 1 ? ? y ? -1
z=2x+y

作出直线y=-2x+z的图 像,可知z要求最大值,即 直线经过C点时。 求得C点坐标为(2,-1), 则Zmax=2x+y=3

2.解:作出平面区域
y
A o C x

? ? 5 x+3y ? 15 1 ? y ? x+ ? ? x-5y ? 3
z=3x+5y

B

作出直线3x+5y =z 的图 像,可知直线经过A点时, Z取最大值;直线经过B点 时,Z取最小值。

求得A(1.5,2.5),B (-2,-1),则 Zmax=17,Zmin=-11。

解线性规划问题的步骤:
(1)画: 画出线性约束条件所表示的可行域; (2)移: 在线性目标函数所表示的一组平行线中, 利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线; (3)求:通过解方程组求出最优解; (4)答:作出答案。

几个结论:
1、线性目标函数的最大(小)值一般在 可行域的顶点处取得,也可能在边界处 取得。 2、求线性目标函数的最优解,要注意分 析线性目标函数所表示的几何意义 --------与y轴上的截距相关的数。

小结:
1.线性规划问题的有关概念; 2. 用图解法解线性规划问题的一般步骤;

3. 求可行域中的整点可行解。

? x ? y ? 5≥ 0 ? 2.已知x , y 满足约束条件 ? x ? y ≥ 0 , 求 ? x≤3 ? ? Z ? 2 x ? y的最小值.
?x ? y≤4 ? 3.已知 ? y ≥ x , 求Z ? 2 x ? 4 y的最大值 ? x≥1 ? ?求U ? x 2 ? y 2的最大值 关键是找准 几何意义 y ?求M ? 的取值范围 x

作业
? 课本第93页,习题3.3

A组

第2,3,4题


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