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2015年浙江省温州市平阳中学自主招生数学试卷

2015 年浙江省温州市平阳中学自主招生数学试卷
一、选择题(本题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分;在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. ) 1. (4 分) (2015?温州校级自主招生) 实数 a, b 在数轴上对应的点的位置如图, 则必有 ( )

A.

B.ab>0

C.a﹣|b|>0 D.a+b>0

2. (4 分) (2015?温州校级自主招生)无论 m 为何实数,直线 y=2x+m 与直线 y=﹣x+3 的 交点都不可能在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. (4 分) (2007?天津)已知二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列 5 个结 论: ①abc>0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④2c<3b;⑤a+b>m(am+b) (m≠1 的实数) . 其中正确的结论有( )
2

A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 4. (4 分) (2015?温州校级自主招生)如果外切的两圆⊙O1 和⊙O2 的半径分别为 2 和 4, 那么半径为 6,与⊙O1 和⊙O2 都相切的圆有( ) A.4 个 B.5 个 C.6 个 D.7 个 5. (4 分) (2015?温州校级自主招生)如图,从 A 点沿线段走到 B 点,要求每一步都是向 右或向上,则走法共有( )

A.9 种 B.16 种 C.20 种 D.25 种

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
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6. (5 分) (2015?温州校级自主招生)反比例函数 y= ,当 y≤3 时,x 的取值范围 是 .

7. (5 分) (2015?温州校级自主招生) 圆的半径为 13cm, 两弦 AB∥CD, AB=24cm, CD=10cm, 则两弦 AB,CD 的距离是 . 8. (5 分) (2007?绵阳)经过某十字路口的汽车,它可能继续直行,也可能向左转或向右转, 如果这三种可能性大小相同, 那么三辆汽车经过这个十字路口, 至少有两辆车向左转的概率 为 .

9. (5 分) (2015?温州校级自主招生)对于实数 a,b,c,d,规定一种数的运算: ﹣bc,那么当 =10 时,x= .

=ad

三、解答题(本题共 4 小题,共 40 分) 10. (11 分) (2008?贵港)已知:如图,在△ ABC 中,AC=BC,以 BC 为直径的⊙O 交 AB 于点 D,过点 D 作 DE⊥AC 于点 E,交 BC 的延长线于点 F. (1)求证:AD=BD; (2)求证:DF 是⊙O 的切线; (3)若⊙O 的半径为 3,sin∠F= ,求 DE 的长.

11. (6 分) (2015?温州校级自主招生)如图,张大爷家有一块四边形的菜地,在 A 处有一 口井,张大爷欲想从 A 处引一条笔直的水渠,且这条笔直的水渠将四边形菜地分成面积相 等的两部分.请你为张大爷设计一种引水渠的方案,画出图形并说明理由.

12. (9 分) (2015?温州校级自主招生)小亮早晨从家里出发匀速步行去上学,小亮的妈妈 在小亮出发后 10 分钟,发现小亮的数学课本没带,于是她带上课本立即匀速骑车按小亮上
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学的路线追赶小亮,结果与小亮同时到达学校.已知小亮在整个上学途中,他出发后 t 分钟 时, 他所在的位置与家的距离为 s 千米, 且 s 与 t 之间的函数关系的图象如图中的折线段 OA ﹣AB 所示. (1)试求折线段 OA﹣AB 所对应的函数关系式; (2)请解释图中线段 AB 的实际意义; (3)请在所给的图中画出小亮的妈妈在追赶小亮的过程中,她所在位置与家的距离 S(千 米)与小亮出发后的时间 t(分钟)之间函数关系的图象. (友情提醒:请对画出的图象用数 据作适当的标注)

13. (14 分) (2001?上海)已知梯形 ABCD 中,AD∥BC,且 AD<BC,AD=5,AB=DC=2. (1)如图,P 为 AD 上的一点,满足∠BPC=∠A,求 AP 的长; (2)如果点 P 在 AD 边上移动(点 P 与点 A、D 不重合) ,且满足∠BPE=∠A,PE 交直线 BC 于点 E,同时交直线 DC 于点 Q. ①当点 Q 在线段 DC 的延长线上时,设 AP=x,CQ=y,求 y 关于 x 的函数关系式,并写出 自变量 x 的取值范围; ②当 CE=1 时,写出 AP 的长. (不必写解答过程)

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2015 年浙江省温州市平阳中学自主招生数学试卷参考答案与试题解析
1. 【解答】解:由数轴可得出:1>a>0,﹣1<b, A、 <0,正确; B、ab<0,故此选项错误; C、a﹣|b|<0,故此选项错误; D、a+b<0,故此选项错误;故选:A. 2. 【解答】解:由于直线 y=﹣x+3 的图象不经过第三象限. 因此无论 m 取何值,直线 y=2x+m 与直线 y=﹣x+3 的交点不可能在第三象限. 故选 C. 3. 【解答】解:开口向下,a<0;对称轴在 y 轴的右侧,a、b 异号,则 b>0;抛物线与 y 轴的交点在 x 轴的上方,c>0,则 abc<0,所以①不正确; 当 x=﹣1 时图象在 x 轴下方,则 y=a﹣b+c=0,即 a+c=b,所以②不正确; 对称轴为直线 x=1,则 x=2 时图象在 x 轴上方,则 y=4a+2b+c>0,所以③正确; x=﹣ =1,则 a=﹣ b,而 a﹣b+c=0,则﹣ b﹣b+c=0,2c=3b,所以④不正确;
2 2

开口向下, 当 x=1, y 有最大值 a+b+c; 当 x=m (m≠1) 时, y=am +bm+c, 则 a+b+c>am +bm+c, 即 a+b>m(am+b) (m≠1) ,所以⑤正确. 故选:A. 4. 【解答】解:如图所示: 和⊙O1 和⊙O2 都外切的圆,可以画两个, 和⊙O1 内切,⊙O2 外切的圆可以画一个, 和⊙O2 内切,⊙O1 外切的圆可以画一个, 和⊙O1,⊙O2 都内切的圆可以画一个, 共 5 个, 故选 B.

5. 【解答】解:从 A 到 A 右边一个点的走法数量为 1+3+6=10 种; 从 A 到 A 上边一个点的走法数量为 1+3+6=10 种;
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故共有 10+10=20 种不同的走法.故选 C. 6. 【解答】解:由图象可以看出 y≤3 所对应的自变量的取值为 x≥1 或 x<0. 故答案为 x≥1 或 x<0.

7. 【解答】解:第一种情况:两弦在圆心的同侧时,已知 CD=10cm, ∴由垂径定理得 DE=5. ∵OD=13, ∴利用勾股定理可得:OE=12. 同理可求 OF=5, ∴EF=7.

第二种情况:只是 EF=OE+OF=17.其它和第一种一样.

故答案为:7cm 或 17cm. 8. 【解答】解:三辆车经过十字路口的情况有 27 种,至少有两辆车向左转的情况数为 7 种, 所以概率为: .

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9. 【解答】解:由题意得,2x+12=10, 解得 x=﹣1.故答案为:﹣1. 10. 【解答】 (1)证明:如图,连接 CD, (1 分) ∵BC 是直径, ∴∠BDC=90°, 即 CD⊥AB. (2 分) ∵AC=BC, ∴AD=BD. (3 分) (2)证明:连接 OD, (4 分) ∵∠A=∠B,∠AED=∠BDC=90°, ∴∠ADE=∠DCO. ∵OC=OD, ∴∠DCO=∠CDO. ∴∠CDO=∠ADE. 由(1)得∠ADE+∠CDE=90°, ∴∠CDO+∠CDE=90°. (5 分) 即∠ODF=90°. ∴DF 是⊙O 的切线. (6 分) (3)解:在 Rt△ DOF 中, ∵sin∠F= ,

∴OF=5. (7 分) ∵OC=3, ∴CF=5﹣3=2. 由(2)得∠DEA=∠ODF=90°, ∴OD∥AC. ∴△CEF∽△ODF. (9 分) ∴ 即 ∴DE= . (10 分) . . (11 分)

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11. 【解答】解:连接 AC,过 D 作 AC 的平行线交 BC 的延长线于 E,取 BE 的中点 F,连 接 AF, 则 AF 即为所引水渠, 连接 AE, ∵DE∥AC,∴S△ CDE=S△ ADE, ∴S△ CEG=S△ ADG, ∴S 四边形 ABCD=S△ ABE, ∵F 是 BE 的中点, ∴S△ ABF=S 四边形 AFCD.

12. 【解答】解: (1)设线段 OA 所在直线的解析式为 y=kx, 将 x=12,y=1 代入得:12k=1,解得:k= 线段 OA 对应的函数关系式为:s= .

t(0≤t≤12)

线段 AB 对应的函数关系式为:s=1(12<t≤20) . (2)图中线段 AB 的实际意义是:小亮出发 12 分钟后,沿着以他家为圆心,1 千米为半径 的圆弧形道路上匀速步行了 8 分钟. (3)小亮的妈妈在追赶小亮的过程中,她所在位置与家的距离 S(千米)与小亮出发后的 时间 t(分钟)之间函数关系的图象如图中折线段 CD﹣DB 所示.

根据题意可知:小亮从家到学校用时 20 分钟,妈妈用时 10 分钟,故妈妈的速度是小亮的 2 倍,故此妈妈从 C 到 D 妈妈用时 6 分钟中,从 D 倒 B 用时 4 分钟.故此可画出函数图象. 13. 【解答】解: (1)∵ABCD 是梯形,AD∥BC,AB=DC. ∴∠A=∠D ∵∠ABP+∠APB+∠A=180°,∠APB+∠DPC+∠BPC=180°,∠BPC=∠A ∴∠ABP=∠DPC, ∴△ABP∽△DPC ∴ ,即:

解得:AP=1 或 AP=4. (2)①由(1)可知:△ ABP∽△DPQ ∴ ,即: ,
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∴ ②当 CE=1 时, ∵△PDQ∽△ECQ, ∴ , 或 ∵ 解得:AP=2 或

(1<x<4) .

, , (舍去) .

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