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2016黑龙江林业职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)

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2016 黑龙江林业职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)
一、选择题:本大题共 10 小题、每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1 .已知集合 A ? {x |1 ? x ? ( x ?1)2} , B ? {x | 1 ? x ? x ?1} , 则p是q的 ( ) B.必要条件,但不是充要条件 , ,

A.充分条件,但不是必要条件 C.充分必要条件

D.既不是充分条件,也不是必要条件

2.(理) z∈C,若|z|- z =2-4i,则 A.1 B.-1

4 ? 3i 的值是( ) z
C.i ) D. ?
1 1? a2

D.- i

(文) 若 tan100? ? a ,则用 a 表示 sin40°的结果为 ( A. ? 1 a

4a(1 ? a 2 ) B. (1 ? a 2 ) 2

4a(a 2 ? 1) C. (1 ? a 2 ) 2

3.已知直线 l1 、 l 2 及平面 ? , l1 ? l2 , l1 // ? ,则 l 2 与 ? 的位置关系为 A. l 2 与 ? 相交,不垂直 C. l2 ? ? B. l 2 ? ?





D.以上三种情况都有可能

4.若偶函数 y=f(x)( x ? R)满足 f(x+2)= f(x),且 x∈(-1,0)时,

f ( x) ?| x | ,则函数 y=f(x)的图象与函数 y ? log4 | x | 图象的交点的个数为 (
A.3 B .4 C.6 D.8



5.从单词“exclaim”中选取 5 个不同的字母排成一排,则含“ex”(“ex”相连且 顺序不变)的概率为( A. )

2 21

B.

1 18

C.

1 432

D.

1 756

6.f’(x)是 f(x)的导函数,f’(x)的图象如图所示,则 f(x)的图象只可能是 ( )

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A

B

C

D

7.路灯距地平面为 8m,一个身高为 1.75m 的人以 80m/min 的速率从路灯在地面上 的射影点 C 处,沿某直线离开路灯,那么人影长度的变化速率为 v 为( A. )

28 m/s 75

B.

7 m/s 24

C.

7 m/s 22

D.

7 m/s 23

?x ? 4 y ? 3 ? 0 ??? ? ? 8.已知点 P(x,y)的坐标满足 ?3 x ? 5 y ? 25 ,设 A(6,0),则 | OP | cos ?AOP ?x ?1 ? 0 ?
(O 为坐标原点)的最大值为( A.3 D.1 9.过底面边长为 1 的正三棱锥的一条侧棱和高作截面,如果这个截面的面积为 么这个棱锥的侧面与底面所成角的正切值为 ( A.1 D. 10.双曲线 B.2 ) C.4 B.5 ) C.4

1 ,那 2

1 2
??? ? ??? ? x2 2 的一个焦点为 F ,点 P 在双曲线上,且 | OP | ? | OF | (O 为坐 ? y ? 1( a ? 1) a2

标原点),则△OPF 的面积 S=(



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A.1 D. B.

1 4

C.4

1 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题。本大题共 5 小题,每小题 5 分。共 25 分。把答案填在题中横线上。 11.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,点 M 在 A 上,且 AM= AB,点 P 在 平面 ABCD 上,且动点 P 到直线 A1D1 的距离的平方与 P 到点 M 的距离的平方差为 1, 在平面直角坐标系 xAy 中,动点 P 的轨迹方程是。
1 3

12.在△ABC 中,内角 A 满足 sin A ? cos A ? 0 ,且 cot A ? cos A ? 0 ,则 A 的取值范 围是_________。 13.已知函数 f(x)=|x2-2ax+b|(x∈R)。给出下列命题: ①f(x)必是偶函数; ②当 f(0)=f(2)时,f(x)的图象必关于直线 x=1 对称; ③若 a2-b≤0,则 f(x)在区间[a,+∞]上是增函数; ④f(x)有最大值|a2-b|。 ⑤f(x)有最小值 0。 其中正确命题的序号是_________。

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14.一烷烃起始物的分子结构式是 ,将其中的所有氢原子用甲基取代得到:

,再将其中的 12 个氢原子全部用甲基代换,如此循环以至无穷,球

形 烷烃分子由小到大成一系列,则在这个系列中,由小到大第 n 个分子中含有的碳原 子的个数是_______。 15.(文)已知
n

?a
i ?m

n

i

? am ? am?1 ? L ? an (其中 m, n ? Z ,且 0 ? m ? n ),设

? log 2 g ( x ? 2) ( x ? 1) ? ,在 x=1 处有极限,则实数 a 的值 g ( x) ? ? x C ,函数 f ( x) ? ? log 2 g ( x) i ?0 ?a( x ? 1) ?
i i n

是。 (理)已知
n

?a
i ?m

n

i

? am ? am?1 ? L ? an (其中 m, n ? Z ,且 0 ? m ? n ),设

? log 2 g ( x ? 2) ( x ? 1) ? ,在 x=1 处连续,则实数 a 的值是。 g ( x) ? ? x C ,函数 f ( x) ? ? log 2 g ( x) i ?0 ?a( x ? 1) ?
i i n

三、解答题。本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 12 分) 已知三次函数 f ( x) ? x 3 ? ax 在 x ? [1,??) 单调递增。 (1)求实数 a 的取值范围。

1 ), c ? (cos2x,1), d ? 2 (1,2),当 x ?[0, π ]时,求不等式 f(a·b)>f(c·d)的解集.
(2)设向量 a ? (-sinx,2), b ? (-2sinx,

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17.(本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC-A’B’C’中,CB⊥平面 ABB’A’,点 E 是棱 BC 的中点,AB=BC =AA’。 (I)求证直线 CA’//平面 AB’E; (II)(文)求二面角 C-A’B’-B 的大小; (理)求直线 CA’与平面 BB’C’C 所成角的大小。

18.(本小题满分 12 分)

x2 y2 设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦点分别为 F1(-1,0)、F2(1,0),右准线 l a b 交 x 轴于点 A,且 AF 1 ? 3 AF 2.
(Ⅰ)试求椭圆的方程; (Ⅱ)过 F1、F2 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于 D、E、M、N 四点(如 图所示),试求四边形 DMEN 面积的最大值和最小值。

19.(本小题满分 12 分) 某大学的研究生入学考试有 50 人参加,其中英语与政治成绩采用 5 分制,设政治 成绩为 x,英语成绩为 y,结果如下表:

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y x
1分 2分 3分 治 4分 5分 人数 1分 1 1 2 1 0 2分 3 0 1 英 3分 1 7 0 6 1 语 4分 0 5 9 0 1 5分 1 1 3



b
0

a
3

(Ⅰ)求 a +b 的值; (Ⅱ)求政治成绩为 4 分且英语成绩为 3 分的概率; (Ⅲ)(文)若“考生的政治成绩为 4 分” 与“英语成绩为 2 分”是相互独立事 件,求 a、b 的值; (理)若 y 的数学期望为

167 ,求 a、b 的值。 50

20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 是的图象经过原点,且在 x=1 处取得极值,直线

y=2x+5 到曲线 y=f(x)在原点处的切线所成的夹角为 450。
(1)求 f(x)的解析式; (2)若对于任意实数 α 和 β 恒有不等式| f(2sinα)―f(2sinβ)|≤m 成立,求 m 的最小值; (3)若 g(x)=xf(x)+tx2+kx+s,是否存在常数 t 和 k,使得对于任意实数 s,

g(x)在[-3,―2]上递减,而在[-1,0]上递增,且存在 x0(x0>1)使得 g(x)在
[1,x0]上递减?若存在,求出 t+ k 的取值范围;若不存在,则说明理由。

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21.(14 分)已知等差数列{an}的首项为 a,公差为 b;等比数列{bn}的首项为 b,公 比为 a,其中 a, b ? N ? ,且 a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? a3 。 (1)求 a 的值; (2)若对于任意 n ? N ? ,总存在 m ? N? ,使 am ? 3 ? 3bn ,求 b 的值; (3)在(2)中,记{cn}是所有{an}中满足 am ? 3 ? bn , m ? N? 的项从小到大依次 组成的数列,又记 Sn 为{cn}的前 n 项和, Tn 是数列{an}的前 n 项和,求证: Sn ≥ Tn

(n ? N ? ) 。

参考答案
一、选择题 1.选 C。 A ? {x |1 ? x ? ( x ?1)2} ? {1} , B ? {x | 1 ? x ? x ?1} = {3} , A ? B ,p 是 q 的充分必要条件。 点评:本题主要考查集合、解不等式和充要条件的知识,以及分析问题和解决问题 的能力。 2.(理)选 C。设 z=a+bi,|z|-z=2-4i,则 a=3,b=-4,∴z=3-4i.

?

(4 ? 3i)(3 ? 4i) 25

4 ? 3i 4 ? 3i ? z 3 ? 4i

?

i (4 ? 3i )(4 ? 3i) ?i。 25
点评:本题主要考查复数的基本概念和基本运算,这是高考的常见题型,应注意把

握好难度。

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(文)选 B.∵ tan100? ? a ,∴ cot10? ? ?a ,即 tan 10 ? ? ?
1 。 a

2sin10o cos10o 2 tan10o 2a sin 20 ? ? ?? 2 o 2 o 2 o sin 10 ? cos 10 1 ? tan 10 1 ? a2
o

cos 20o ?

cos 2 10o ? sin 2 10o 1 ? tan 2 10o a 2 ? 1 ? ? , sin 2 10o ? cos 2 10o 1 ? tan 2 10o 1 ? a 2

sin 40o ? 2sin 20o cos 20o ? 2 ? (?

2a a 2 ? 1 4a(1 ? a 2 ) 。 ) ? ? 1 ? a2 1 ? a2 (1 ? a 2 )2

点评:本题主要考查同角的三角函数的化简和诱导公式。 3.选 D。位置不确定。 点评:本题主要考查直线与平面的位置关系,以及空间想象能力。 4.选 C。函数 y ? f ( x) 以 2 为周期,画出 y ? f ( x) 的图象,数形结合。 点评:本题主要考查函数的周期和函数的图象,以及数形结合的思想。
3 1 3 5.选 A。从除 e 和 x 外,还有 5 个不同的字母, 含“ex”的排列数是 C5 C4 A3 ,从 7 5 5 个不同的字母的排列数是 C7 A5 ,故含“at”(“at”相连且顺序不变)的概率为
3 1 3 C5 C4 A3 2 ? 。 5 5 C7 A5 21

点评:本题主要考查古典概率问题及排列与组合的基础知识。 6.选 D。由 f ?( x) 的图象可知, f ( x) 斜率先增大后减小。 点评:本题主要导数与函数的综合以及函数的单调性。 7.选 A。如图,路灯距地平面的距离为 DC,人的身高为 EB。设人从 C 点运动到 B 处 路程为 x 米,时间为 t(单位:秒),AB 为人影长度,设为 y,则∵BE∥CD,∴

AB BE ? 。 AC CD

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4 y 1.75 ,又 80 m/min= 1.4 m/s, ? 3 y?x 8 7 28 4 x= t(x= t)。 25 75 3

∴ y=

∵y′=

28 28 ,∴人影长度的变化速率为 m/s。 75 75

点评:本题主要考查有关射影知识和平面几何的相似比。 8.选 B。 | OP | cos ?AOP 就是 OP 在 OA 上的射影,要求其最大值,就是求点 P 的横

??? ?

??? ?

??? ?

?x ? 4 y ? 3 ? 0 ? 坐标 x 的最大值,这只需作出 ?3 x ? 5 y ? 25 的平面区域,即可看出 x-4y+3=0 与 ?x ?1 ? 0 ? ??? ? 3x+5y=25 的交点(5,2)就是 | OP | cos ?AOP 取最大值时 P 点的位置。
点评:本题主要考查线形区域与平面向量的基本知识。 9.选 C。设正三棱锥的高为 h ,底面正三角形的边长为

3 1 3 1 , ? ?h ? , 2 2 2 2

h?

2 3 。 3

2 3 这个棱锥的侧面与底面所成角的正切值= 3 ? 4 。 1 3 ? 3 2
点评:本题主要考查正三棱锥的有关知识和二面角的平面角的求法。

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??? ? ??? ? 10.选 D。不妨设 F 为右焦点,则 F ( a2 ? 1,0 。由于 | OP |?| OF | ,所以点 P 在以原点 x2 为圆心, a 2 ? 1 为半径的圆上,即 x2 ? y 2 ? a2 ? 1 ,联立 2 ? y 2 ? 1(a ? 1) 消去 x 得 a
| y |? 1 a ?1
2

, S?OPF ? ? a 2 ? 1 ?

1 2

1 a ?1
2

?

1 。 2

点评:本题主要考查双曲线与直线、平面向量等基础知识,以及分析问题的能力。

二、填空题。 11.填 y 2 ?
2 1 x ? 。过 P 点作 PQ⊥AD 于 Q,再过 Q 作 QH⊥A1D1 于 H,连 PH,利用 3 9

三垂线定理可证 PH⊥A1D1.设 P(x,y), ∵|PH|2 - |PH|2 = 1,∴x2 +1- [(x ? )2+y2]=1,化简得 y 2 ?

1 3

2 1 x? 。 3 9

点评:本题主要考查立体几何与解析几何的轨迹问题,这是高考命题的一个新趋势。

? ? ? ? 3 , ? )。∵ sin A ? cos A ? 0 ,即 sin( A ? ) ? 0 , ? A ? ? ? ,∴ 2 4 4 4 4 3? cos A(1 ? sin A ) ? 0? A? ? 0 , cos A ? 0 ,∴ ? A ? ? , ,又∵ cot A ? cos A ? 0 ,即 4 sin A 2 ? 3? ∴ ? A? 。 2 4
12.填( 点评:本题主要考查同角的三角函数的化简,以及两角和的正弦公式的应用,和解 三角不等式。 13.填③。当 a2-b≤0 时,f(x)=x2-2ax+b,图象的对称轴为 x=a,开口向上,③ 对。 点评:本题主要考查二次函数的有关性质与绝对值等知识。 14.填 2×3n-1-1。烷烃的通式为 Cn H 2n ? 2 ,设第 n 个分子中 C 原子个数为 an,则 an+1=an+2an+2,故 an=3n-1(a1+1)-1=2×3n-1-1。 点评:本题主要考查数学与化学知识的综合,以及递推数列的通项的求法。 15.填 2。∵ g ( x) ?

?x C
i i ?0

n

i n

? (1 ? x) n ,∴ g ( x ? 2) ? (3 ? x)n ,又

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a ? lim log 2 g ( x ? 2) log 2 ( x ? 3) log ( x ? 3)n ? lim ? lim 2 n x ?1 x ?1 log ( x ? 1) x ?1 log ( x ? 1) log 2 g ( x) 2 2

? lim log x ?1 ( x ? 3) ? log 2 4 ? 2 。
x ?1

点评:本题主要考查函数的极限以及组合的知识,以及分析问题和解决问题的能力。

三、解答题。 16.解析:(1)∵ f ( x) ? x 3 ? ax ,∴ f ' ( x) ? 3x 2 ? a 。 ∵ f ( x) 在 x ? [1,??) 单调递增, ∴ f ' ( x) ? 3x 2 ? a ? 0 。 ∴ 3x 2 ? a 在 x ? [1,??) 恒成立, ∴ a ? 3 。 (2) ∵ f ( x) 在 x ? [1,??) 单调递增, ∵ a ? b ? (? sin x , 2) ? (?2sin x , ) ? 2 sin 2 x ? 1 ? 1 ,

1 2

c ? d ? (cos2 x , 1) ? (1 , 2) ? cos 2 x ? 2 ? 1 ,
∴ f (a ? b) ? f (c ? d ) ? f (2 sin 2 x ? 1) ? f (cos2x ? 1) ? 2 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 2

? 1 ? cos 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 2 ? 2 cos 2 x ? 0 ? cos 2 x ? 0

? 2 x ? 2kπ ?

3π ,k ?Z。 2 π 3π ?x? 。 4 4 π 3π ? x ? }。 4 4

∵ 0 ? x ? π ,∴

综上: f (a ? b) ? f (c ? d ) 的解集是 {x |

点评:本题主要考查导数、函数、三角函数与平面向量等知识的综合,以及分析问 题和解决问题的能力.平面向量与三角函数的综合,是近几年高考考试的热点,应引 起足够的重视。

17.证明:(I)∵平面 PAD⊥平面 ABCD,AD 为交线,CD⊥AD

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平面 PAD 平面 PAD



为正三角形,E 为 PD 中点

平面 PCD

6分

(II)(文)作 PQ//AB 且 PQ=AB,连 QB、QC 可得 AD=BC=BQ=AP=DP=CQ

平面 PAD,所以

是平面 PAB 与平面 PDC 所成二面角的平面角

平面 PAB 与平面 PDC 所成二面角的大小为 60° 分 (理)作 ,则 F 为 QC 中点,连 PF

12

∴四边形 AEFB 是平行四边形,BF//AE 平面 PDC 平面 PDC

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是 BP 与平面 PDC 所成的角 设 PA=a,则 则由直三角形 PFB 可得 , 。 ,

直线 PB 与平面 PDC 所成角的大小为 分



12

点评:本题主要考查立体几何的有关知识,以及分析问题与解决问题的能力。本题 也可以采用向量法来处理。

18.解:(Ⅰ)由题意, | F1 F2 | ? 2c ? 2,? A(a 2 ,0),

…………………2 分

? AF1 ? 3AF2 ,? F2 F1 ? 2 AF2 ,
∴ F2 为 AF1 的三等分点。 ……………………………………………3 分

? 2c ? 2(

a2 ? c) ,? a 2 ? 2, b 2 ? 1 。 c x2 ? y 2 ? 1. …………………………………………………5 分 2

即椭圆方程为

(Ⅱ)当直线 DE 与 x 轴垂直时, | DE |? 2

b2 ? 2, a
| DE | ? | MN | ? 2。 2 | DE | ? | MN | ? 2 。…6 分 2

此时 | MN |? 2a ? 2 2 ,四边形 DMEN 的面积为

同理当 MN 与 x 轴垂直时,也有四边形 DMEN 的面积为

当直线 DE,MN 均与 x 轴不垂直时,设 DE∶ y ? k ( x ? 1) ,代入椭圆方程,消去

y 得: (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? (2k 2 ? 2) ? 0.

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? ? 4k 2 x ? x ? , 2 ? 2 ? 1 1 ? 2 k 设 D( x1 , y1 ), E ( x 2 , y 2 ),则? 2 ? x x ? 2k ? 2 , 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?
∴ | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? ∴ | DE |? k 2 ? 1 | x1 ? x2 |?

2 2 ? k 2 ?1 , 2k 2 ? 1

2 2 (k 2 ? 1) , 1 ? 2k 2

1 1 2 2 ((? ) 2 ? 1) 2 2 ( 2 ? 1) k k 同理, | MN |? ? . ………………………8 分 1 2 2 1 ? 2(? ) 1? 2 k k | DE | ? | MN | 1 2 2 (k ? 1) ? ? ? 2 2 1 ? 2k 2
2

∴四边形的面积 S ?

2 2(

1 ? 1) k2 2 1? 2 k

1 ? 2) k2 ,………………………………10 分 ? 1 2 2(k ? 2 ) ? 5 k 4(k 2 ?
2 令u ? k ?

1 4(2 ? u ) 2 , 得S ? ? 2? 2 5 ? 2u 5 ? 2u k
1 ? 2, k2 16 ,且 S 是以 u 为自变量的增函数, 9

2 ∵u ? k ?

当 k ? ?1时, u ? 2, S ? ∴

16 ? S ?2。 9
16 。………………12 分 9

综上可知,四边形 DMEN 面积的最大值为 2,最小值为

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点评:本题主要考查解析几何的有关知识,以及分析问题与解决问题的能力。本题 也可以采用向量法来处理。直线与圆锥曲线的位置关系问题是历年高考中经久不衰的 重要题型,应复习到位,尤其是与平面向量的综合应引起足够的重视。

19.解:(Ⅰ)考生总人数是 50,因此表中标出的总人数也应是 50,所以 a +b+47=50, 故 a +b=50-47=3; ………………………………4 分

(Ⅱ)从表中可以看出,“政治成绩为 4 分且英语成绩为 3 分”的考生人数为 6 人,所以其概率为

6 ? 0.12 . 50

………………………………8 分

(Ⅲ)(文)因为若“考生的政治成绩为 4 分” 与“英语成绩为 2 分”是相互独 立事件, 所以 P(x=4,y=2)= P(x=4)·P(y=2),即 解得: b=1,a=2. (理)由已知 1?

b a?b?7 b?4 ? ? , 50 50 50

…………………………………12 分

5 b?4 15 15 a ? 8 167 ? 2? ? 3? ? 4 ? ? 5? ? ,解得:a=1, 50 50 50 50 50 50

b=2。
………………………………12 分 点评:本题主要考查概率与统计的有关知识,以及分析问题与解决问题的能力。概 率与统计的应用题是经几年高考应用题的热点题形,应引起足够的重视。

20.解: (1)由题意有 f(0)= c=0,f ノ(x)=3 x2+2ax+b,且 f ノ(1)= 3+2a+b=0。 又曲线 y=f(x)在原点处的切线的斜率 k=f ノ(0)= b,而直线 y=2x+5 到它所成的 夹角为 45°,

b―2 ∴1=tan45°= ,解得 b=―3.代入 3+2a+b=0 得 a=0。 1+2b

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故 f(x)的解析式为 f(x)=x3―3x。 (2)∵对于任意实数 α 和 β 有 2sinα,2sinβ∈[-2,2]。 由 f
ノ(

x)=3x2―3=3(x―1) (x+1)可知,f(x)在(-∞,―1]和[1,+∞)

上递增;在[-1,1]递减。 又 f(―2)= ―2,f(―1)=2,f(1)= ―2,f(2)=2, ∴f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值分别为―2 和 2。 ∴对于任意实数 α 和 β 恒有| f(2sinα)―f(2sinβ)|≤4。 故 m≥4,即 m 的最小值为 4。 (3)∵g(x)=x(x3―3x)+tx2+kx+s= x4+(t―3)x2+kx+s,∴g ノ(x)= 4

x3+2(t―3)x+k,
∴要使 g(x)在[-3,―2]上递减,而在[-1,0]上递增,且存在 x0(x0>1)使 得 g(x)在[1,x0]上递减,只需在[-3,―2]和[1,x0]上 g ノ(x)≤0,而在[-1,0] 上 g ノ(x)≥0。 令 h(x)= g ノ(x),则 h ノ(x)= 12 x2+2(t―3),当 t―3≥0 时,h ノ(x)在 R 上恒为非负,此时显然不存在这样的常数 t 和 k,∴t―3<0。 当 t―3<0 时,g(x)在(-∞,― [― 3―t ,― 6 3―t ]上递减。 6 3―t ]和[ 6 3―t ,+∞)上递增,而在 6

∴要使 h(x)在[-3,―2]和[1,x0]上 h(x)≤0,而在[-1,0]上 h(x)≥0, 只需 h(―2)= ―32―4 (t―3)+k (―2)=―32―4 (t―3)+k≤0, ?h ?h(―1)=―4―2 (t―3)+k≥0, ?h(0)= k≥0, h(1)= 4+2 (t―3)+k≤0, ? ?t<3,

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4t―k+20≥0, ?2 ? t―k―2≤0, 即?k≥0, 2t+k―2≤0, ? ?t<3, 作出可行域如图所示,由图可知,当直线 t+ k=z 过 A 点时 z 取得最大值 5,当直 线 t+ k=z 过 B 点时 z 取得最大值―5。 故存在这样的常数 t 和 k,其取值范围为[-5,5]。 点评:本题主要考查解析几何、导数、函数及不等式的有关知识,以及分析问题与 解决问题的能力。

21.解析:(1)∵ a ? a ? b ? ab ? a ? 2b ,a, b ? N ? ,

∴?

?a ? b ? ab, ?ab ? a ? 2b.

b ? a? , ? ? b ?1 ∴? ?a ? 2b . ? b ?1 ?

1 ? a ? 1? , ? ? b ?1 ∴? ?a ? 2 ? 2 . ? b ?1 ?

∴?

?a ? 1, . ?a ? 4

∴a=2 或 a=3(a=3 时不合题意,舍去).∴a=2. (2) am ? 2 ? (m ?1)b , bn ? b ? 2n?1 ,由 am ? 3 ? 3bn 可得

5 ? (m ? 1)b ? 3 ? b ? 2 n?1 .∴ b(3 ? 2 n?1 ? m ? 1) ? 5 .
∴b=5。 (3)由(2)知 an ? 5n ? 3 , bn ? 5 ? 2 n?1 , ∴ Cn ? 5 ? 2 n?1 ? 3 . ∴ Sn ? 5(2n ?1) ? 3n , Tn ? ∴ am ? bn ? 3 ? 5 ? 2n?1 ? 3 .

1 n(5n ? 1) . 2

∵ S1 ? T1 ? 2 , S2 ? T2 ? 9 . 当 n≥3 时,

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1 1 1 1 S n ? Tn ? 5[2 n ? n 2 ? n ? 1] ? 5[(1 ? 1) n ? n 2 ? n ? 1] 2 2 2 2 1 1 1 2 3 ? 5[1 ? Cn ? Cn ? Cn ? ?) ? n 2 ? n ? 1] 2 2 ? 5[1 ? n ? n(n ? 1) 1 2 1 ? n ? n ? 1] ? 0 . 2 2 2

∴ S n ? Tn . 综上得 S n ? Tn (n ? N ? ) . 点评:本题主要考查两个基本数列和不等式的有关知识,以及分析问题与解决问题 的能力。解决本题第(1)小题的关键是利用条件 a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? a3 确定 a , b 的值,
1 2 1 2 3 第(2)小题关键是利用二项式定理 2n ? (1 ? 1)n = 1 ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? ? >1+ Cn

? 1? n ?

n(n ? 1) (n ? 3) 进行放缩得到。有关数列和不等式的综合题经常出现在高考压 2

轴题中。


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