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必修5《解三角形》综合测试题及解析


必修 5 第一章《解三角形》综合测试题(A)及解析
第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.某三角形的两个内角为 45 和 60 ,若 45 角所对的边长是 6 ,则 60 角所对的边长是 【 A 】 A. 3 6 答案:A. 解析:设 60 角所对的边长是 x ,由正弦定理得
o

o

o

o

o

B. 3 2

C. 3 3

D. 2 6

6 x ? ,解得 x ? 3 6 .故选 A. o sin 45 sin 60o
【 D 】 D. 105 或 15
o o

2.在 ?ABC 中,已知 a ? 5 2 , c ? 10 , A ? 30 ,则 B 等于
o

A. 105

o

B. 60

o

C. 15

o

答案:D. 解析:在 ?ABC 中,由
o

a c c sin A 2 o o ? ,得 sin C ? ,则 C ? 45 或 C ? 135 .故 ? sin A sin C a 2
o o o

当 C ? 45 时, B ? 105 ;当 C ? 135 时, B ? 15 .故选 D. 3.在 ?ABC 中,三边长 AB ? 7 , BC ? 5 , AC ? 6 ,则 AB ? BC 的值等于 A. 19 答案:D. 解析:由余弦定理得 cos B ? B. ?14 C. ?18 D. ?19 【 D 】

49 ? 25 ? 36 19 ? ,故 AB ? BC ? | AB | ? | BC | cos(? ? B) ? 2?7?5 35

7 ? 5 ? (?

19 ) ? ?19 .故选 D. 35
【 A 】 C. a ≥ b D. a 、 b 的大小关系不确定 B. a > b

4.在 ?ABC 中, sin A < sin B ,则 A. a < b 答案:A.

解析:在 ?ABC 中,由正弦定理

a b a b ? ? 2 R ,得 sin A ? , sin B ? ,由 sin A sin A sin B 2R 2R

< sin B ,得

a b < ,故 a < b .故选 A. 2R 2R
【 B 】 D.②③

o o 5. ?ABC 满足下列条件:① b ? 3 , c ? 4 , B ? 30 ;② b ? 12 , c ? 9 , C ? 60 ;③ b ? 3 3 ,

c ? 6 , B ? 60o ;④ a ? 5 , b ? 8 , A ? 30o .其中有两个解的是
A.①② 答案:B. B.①④ C.①②③

o 解析:① c sin B < b < c ,三角形有两解;② c < b sin 60 ,三角形无解;③ b ? c sin B ,三角

形只有一解;④ b sin A < a < b ,三角形有两解.故选 B.
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6.在 ?ABC 中,已知 b ? bc ? 2c ? 0 ,且 a ?
2 2

6 , cos A ?
C. 2

7 ,则 ?ABC 的面积是 【 A 】 8
D. 3

A.

15 2

B. 15

答案:A. 解 析 : 由 b ? bc ? 2c ? 0 , 得 (b ? 2c ) (b ? c )? 0 , 故 b ? 2c 或 b ? ? c ( 舍 去 ) , 由 余 弦 定 理
2 2
2 b ? 4, a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A 及已知条件, 得 3c ? 12 ? 0 , 故c ? 2 , 又由 cos A ?

7 及 A 是 ?ABC 8

的内角可得 sin A ?

1 15 15 15 ,故 S ? ? 2 ? 4 ? .故选 A. ? 2 8 8 2
【 B 】 D. 4 < a < 6 B. 1 < a < 3 C. 3 < a < 4

7.设 a 、 a ? 1 、 a ? 2 是钝角三角形的三边长,则 a 的取值范围为 A. 0 < a < 3 答案:B. 解析:设钝角为 C ,由三角形中大角对大边可知 C 的对边为 a ? 2 ,且 cos C ?

a 2 ? (a ?1) 2 ?( a ?2) 2 2 ? a ? ( a ?1)

?

(a ? 3)(a ? 1) <0 ,因为 a > 0 ,故 a ? 1 > 0 ,故 0 < a < 3,又 a ? ( a ? 1) > a +2,故 a > 1 ,故 2a(a ? 1)

1 < a < 3.故选 B.
8. ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是三内角 A 、 B 、 C 的对边,且 a ? 4 , b ? c ? 5 , tan A ? tan B ? 3 ,则 ?ABC 的面积为 ? 3 tan A? t a Bn 【 C 】

A.

3 2

B. 3 3

C.

3 3 2

D.

5 2

答案:C. 解析:由已知,得 tan A ? tan B ? ? 3(1 ? tan A ? tan B) ,即 tan( A ? B ) ? ?3 ,又 A 、 B 是 ?ABC
o o o 的内角,故 A ? B ? 120 ,则 C ? 60 ,由 c2 ? 42 ? (5 ? c)2 ? 2 ? 4 ? (5 ? c) cos 60 ,解得 c ?

7 , 2

故b ?

3 1 1 3 3 3 3 ,故 S?ABC ? ab sin C ? ? 4 ? ? .故选 C. ? 2 2 2 2 2 2

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第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 9.在 ?ABC 中, sin A ?

1 3 , cos B ? , a ? 1 ,则 b ? _________. 3 3

答案: 6 . 解析:由 cos B ?

a b 3 3 2 6 ? ,得 sin B ? 1 ? cos2 B ? 1 ? ( ,由 ,得 b ? ) ? sin A sin B 3 3 3

a sin B ? sin A

1? 1 3

6 3 ? 6.

10. ?ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ,若 c ? 答案: 2 .
2 2 2

2 ,b ? 6 ,B ? 120o ,则 a ? ______.
o 2

解析:由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B ,即 6 ? a ? 2 ? 2 2a cos120 ,即 a ? 2a ? 4
2

? 0 ,解得 a ? 2 (舍去负值).
11.如果 ?ABC 的面积是 S ? 答案: 30 . 解析:由题意得
2 2 2 3 1 a ?b ?c o ,即 3sin C ? cos C ,故 tan C ? ,故 C ? 30 . ab sin C ? 3 2 4 3
o

a ?b ?c ,那么 C ? ____________. 4 3
2 2 2

o

12. ?ABC 的三内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,若 A ? 60 , b ? 1 ,三角形的面积 S ?

3 ,则
答案:

a?b?c 的值为____________. sin A ? sin B ? sin C

2 39 . 3
1 1 bc sin A ? c sin 60o ? 3 ,得 c ? 4 .由余弦定理得 a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A 2 2

解析:由 S ?

? 13 ,故 a ? 13 .故

a b c 13 2 39 ? ? ? ? ,由等比性质,得 o sin A sin B sin C sin 60 3

a?b?c a 2 39 ? ? . sin A ? sin B ? sin C sin A 3
13.一蜘蛛沿正北方向爬行 x cm 捉到一只小虫,然后向右转 105 ,爬行 10 cm 捉到另一只小虫,这 时它向右转 135 爬行回它的出发点,那么 x ? ____________.
o o

B
第 -3- 页 共 6 页

105

o

C
135
o

x
A

答案:

10 6 . 3
o o o

解析:由题意作出示意图如图所示,则 ?ABC ? 180 ? 105 ? 75 ,

?BCA ? 180o ? 135o ? 45o , BC ? 10 ,故 A ? 180o ? 75o ? 45o ?

60o ,由正弦定理得

x 10 10 6 ? (cm). o o ,解得 x ? sin 45 sin 60 3

14. ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,向量 m ? ( 3, ?1) , n ? (cos A,sin A) , 若 m ? n ,且 a cos B ? b cos A ? c sin C ,则 B ? ____________. 答案:

? o 或 30 . 6
?
3

解析:由 m ? n 得 m ? n ? 0 ,故 3cos A ?sin A ? 0 ,即 sin A ? 3cos A ? 0 ,故 2sin( A ? )

?

3

? 0 ,故 A ?

.由 a cos B ? b cos A ? c sin C ,得 sin A cos B ? sin B cos A ? sin C ,即
2

sin( A ? B) ? sin2 C ,故 sin C ? sin 2 C ,故 sin C ? 1 ,又 C 为 ?ABC 的内角,故 C ?
B ? ? ? ( A ? C) ? ? ? (

?
2

,故

?
3

?

?
2

)?

?
6

.

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本题满分 12 分)在 ?ABC 中,已知 a ? 2 , c ? 解:由正弦定理,得 sin C ?
o

6 , A ? 45o ,解此三角形.

c sin A 6 2 3 o o ,故 ?C ? 60 或 120 . ? ? ? a 2 2 2
2 2 2

o o 当 ?C ? 60 时, ?B ? 180 ? (?A ? ?C ) ? 75 ,由余弦定理,得 b ? a ? c ? 2ac cos B

? 4 ? 6 ? 2 ? 2 ? 6 cos75o ? 4 ? 2 3 ,则 b ? 3 ? 1 .
当 ?C ? 120 时, ?B ? 180o ? (?A ? ?C ) ? 15o ,由余弦定理,得 b ? a ? c ? 2ac cos B
o 2 2 2

? 4 ? 6 ? 2 ? 2 ? 6 cos15o ? 4 ? 2 3 ,则 b ? 3 ? 1 .
故 b ? 3 ? 1 , ?C ? 60 , ?B ? 75 或 b ? 3 ? 1 , ?C ? 120 , ?B ? 15 .
o o o o

16.(本题满分 12 分)如图,在四边形 ABCD 中,已知 BA ? AD , AB ? 10 ,

A

D

BC ? 5 6 , ?BAC ? 60 , ?ADC ? 135 ,求 CD 的长. AB ? sin ?BAC 解:在 ?ABC 中,由正弦定理,得 sin ?BCA ? BC
o o

10sin 60o 2 o o ,因 BC > AB ,故 ?CAB > ?BCA ,故 ?BCA ? 45 ,故 B ? 75 ,由正弦 ? ? 2 5 6
定理,得 AC ?

B

C

10sin 75o ? 5( 3 ? 1) ,在 ?ACD 中,因 ?CAD ? 90o ? ?BAC ? 30o ,由正弦 o sin 45
第 -4- 页 共 6 页

AC sin 30o 5( 6 ? 2) 定理,得 CD ? . ? sin135o 2
答: CD 的长为

5( 6 ? 2) . 2

17.(本题满分 14 分) a 、 b 、 c 是 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边, S 是 ?ABC 的面积,若 a ? 4 ,

b ? 5 , S ? 5 3 ,求 c .
解:由 S ?

1 1 1 1 3 ab sin C ? ? 4 ? 5 ? sin C ? 5 3 ,得 sin C ? ,则 cos C ? 或 cos C ? ? . 2 2 2 2 2

1 1 2 时,由余弦定理,得 c ? 16 ? 25 ? 2 ? 4 ? 5 ? ? 21 ,故 c ? 21 ; 2 2 1 1 2 (2)当 cos C ? ? 时,由余弦定理,得 c ? 16 ? 25 ? 2 ? 4 ? 5 ? ? 61 ,故 c ? 61 . 2 2
(1)当 cos C ? 综上可知 c 为 21 或 61 . 18.(本题满分 14 分)在 ?ABC 中, sin B ? sin A cos C ,其中 A 、 B 、 C 是 ?ABC 的三个内角, 且 ?ABC 最大边是 12,最小角的正弦值是 (1)判断 ?ABC 的形状; (2)求 ?ABC 的面积. 解: (1)由 sin B ? sin A cos C 根据正弦定理和余弦定理,得 b ? a ? 故 ?ABC 是直角三角形. (2)由(1)知 a ? 12 ,设最小角为 ? ,则 sin ? ?

1 . 3

a 2 ? b2 ? c 2 2 2 2 ,得 b ? c ? a , 2ab

1 2 2 ,故 cos ? ? (舍去负值) ,故 S?ABC ? 3 3

1 1 1 1 2 2 bc ? a sin ? ? a cos ? ? ? 12 ? ? 12 ? ? 16 2 . 2 2 2 3 3
19.(本题满分 14 分)海上某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮的北偏东 75 ,距离为 12 6 海里;在 A 处看灯塔 C 在货轮的北偏西 30 ,距离为 8 3 海里;货轮向正北 由 A 处行驶到 D 处时看灯塔 B 在货轮的北偏东 120 .求 (1) A 处与 D 处之间的距离; (2)灯塔 C 与 D 处之间的距离. 解:由题意画出示意图,如图所示.
o
o o



D C
30
o

120

o


75
o

B
o

北 AB o o 北 (1) ?ABD 中,由题意得 ?ADB ? 60 , ?B ? 45 ,由正弦定理得 AD ? A (海里).

sin 60

sin 45o ? 24

(2)在 ?ABD 中,由余弦定理,得 CD ? AD ? AC ? 2 AD ? AC cos 30 ? 242 ? (8 3)2 ?
2 2 2 o

第 -5- 页 共 6 页

2 ? 24 ? 8 3 ?

3 ,故 CD ? 8 3 (海里). 2

答: A 处与 D 处之间的距离为 24 海里,灯塔 C 与 D 处之间的距离为 8 3 海里.



以下两题任选一题作答 20.(本题满分 14 分)在锐角 ?ABC 中,边 a 、 b 是方程 x 2 ? 2 3x ? 2 ? 0 的两根, A 、 B 满足 2sin( A ? B) ? 3 ? 0 ,解答下列问题: (1)求 C 的度数;
(2)求边 c 的长度; (3)求 ?ABC 的面积. 解: (1)由题意,得 sin( A ? B) ?
2

3 o o ,因 ?ABC 是锐角三角形,故 A ? B ? 120 , C ? 60 ; 2

(2)由 a 、 b 是方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的两根,得 a ? b ? 2 3 , a ? b ? 2 ,由余弦定理,得

c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? (a ? b)2 ? 3ab ? 12 ? 6 ? 6 ,故 c ? 6 .
(3)故 S?ABC ?

1 1 3 3 ab sin C ? ? 2 ? . ? 2 2 2 2

20.(本题满分 14 分) ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是三内角 A 、 B 、 C 的对边,若 AB ? AC ? BA ? BC

? 1 .解答下列问题:
(1)求证: A ? B ; (2)求 c 的值; (3)若 | AB ? AC |? 6 ,求 ?ABC 的面积. 证: (1)因 AB ? AC ? BA ? BC ,故 bc cos A ? ac cos B ,即 b cos A ? a cos B .由正弦定理,得

sin B cos A ? sin A cos B ,故 sin( A ? B) ? 0 ,因为 ?? < A ? B < ? ,故 A ? B ? 0 ,故
A? B.

b ?c ?a ? 1 ,即 b2 ? c2 ? a 2 ? 解: (2)因 AB ? AC ? 1 ,故 bc cos A ? 1 ,由余弦定理得 bc ? 2bc 2 2 ;又由(1)得 a ? b ,故 c ? 2 ,故 c ? 2 .
2 2 2

解: (3)由 | AB ? AC |? 6 得 | AB | ? | AC | ?2 | AB ? AC |? 6 ,即 c ? b ? 2 ? 6 ,故 c ? b
2 2
2 2 2

2

? 4 ,因 c2 ? 2 ,故 b ? 2 ,故 ?ABC 是正三角形,故面积 S?ABC ?

3 3 . ? ( 2)2 ? 4 2

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