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2018版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词全称量词与存在量词理


第一章 集合与常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存 在量词 理

1.命题 p∧q,p∨q,綈 p 的真假判断

p
真 真 假 假 2.全称量词和存在量词 量词名词 全称量词 存在量词

q
真 假 真 假

p∧q
真 假 假 假

p∨q
真 真 真 假

綈p 假 假 真 真

常见量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等

表示符号 ? ?

3.全称命题和特称命题 命题名称 全称命题 特称命题 命题结构 对 M 中任意一个 x,有 p(x)成立 存在 M 中的一个 x0,使 p(x0)成立 命题简记 ? x∈M,p(x) ? x0∈M,p(x0)

4.含有一个量词的命题的否定 命题 ? x∈M,p(x) ? x0∈M,p(x0) 命题的否定 ? x0∈M,綈 p(x0) ? x∈M,綈 p(x)

【知识拓展】 1.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律 (1)p∨q:p、q 中有一个为真,则 p∨q 为真,即有真为真; (2)p∧q:p、q 中有一个为假,则 p∧q 为假,即有假即假; (3)綈 p:与 p 的真假相反,即一真一假,真假相反.

1

2.含一个量词的命题的否定的规律是“改量词,否结论”. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)命题 p∧q 为假命题,则命题 p、q 都是假命题.( (2)命题 p 和綈 p 不可能都是真命题.( √ ) (3)若命题 p、q 至少有一个是真命题,则 p∨q 是真命题.( √ ) × )

(4)命题綈(p∧q)是假命题,则命题 p,q 中至少有一个是真命题.( × ) (5)“长方形的对角线相等”是特称命题.( × ) )

(6)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”.( ×

π 1.设命题 p:函数 y=sin 2x 的最小正周期为 ;命题 q:函数 y=cos x 的图象关于直线 x 2 π = 对称,则下列判断正确的是( 2 A.p 为真 C.p∧q 为假 答案 C 2π π 解析 函数 y=sin 2x 的最小正周期为 =π ,故命题 p 为假命题;x= 不是 y=cos x 2 2 的对称轴,命题 q 为假命题,故 p∧q 为假.故选 C. 2.已知命题 p,q,“綈 p 为真”是“p∧q 为假”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 綈 p 为真知 p 为假,可得 p∧q 为假;反之,若 p∧q 为假,则可能是 p 真 q 假,从而 綈 p 为假,故“綈 p 为真”是“p∧q 为假”的充分不必要条件,故选 A. 3.(教材改编)下列命题中, 为真命题的是( A.? x∈R,-x -1<0 B.? x0∈R,x0+x0=-1 1 2 C.? x∈R,x -x+ >0 4 D.? x0∈R,x0+2x0+2<0
2
2 2 2

) B.綈 q 为假 D.p∨q 为真

)

)

答案 A 4.(2017·西安调研)命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是( A.全等三角形的面积不一定都相等 B.不全等三角形的面积不一定都相等 C.存在两个不全等三角形的面积相等 D.存在两个全等三角形的面积不相等 答案 D 解析 命题是省略量词的全称命题,易知选 D. )

? π? 5.(2015·山东)若“? x∈?0, ?,tan x≤m”是真命题,则实数 m 的最小值为________. 4? ?
答案 1

? π? 解析 ∵函数 y=tan x 在?0, ?上是增函数, 4? ?
∴ymax=tan π =1. 4

依题意,m≥ymax,即 m≥1. ∴m 的最小值为 1.

题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断 例1 (1)已知命题 p:对任意 x∈R,总有 2 >0;q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件, ) B.(綈 p)∧(綈 q) D.p∧(綈 q) )
x

则下列命题为真命题的是( A.p∧q C.(綈 p)∧q

(2)(2016·聊城模拟)若命题“p∨q”是真命题,“綈 p 为真命题”,则( A.p 真,q 真 C.p 真,q 假 答案 (1)D (2)B 解析 (1)∵p 是真命题,q 是假命题, ∴p∧(綈 q)是真命题. (2)∵綈 p 为真命题,∴p 为假命题, 又 p∨q 为真命题,∴q 为真命题. 思维升华 “p∨q”“p∧q”“綈 p”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式; B.p 假,q 真 D.p 假,q 假

3

(2)判断其中命题 p、q 的真假; (3)确定“p∧q”“p∨q”“綈 p”等形式命题的真假. 已知命题 p: 若 x>y, 则-x<-y; 命题 q: 若 x>y, 则 x >y .在命题①p∧q; ②p∨q; ③p∧(綈 q);④(綈 p)∨q 中,真命题是( A.①③ C.②③ 答案 C 解析 当 x>y 时,-x<-y, 故命题 p 为真命题,从而綈 p 为假命题. 当 x>y 时,x >y 不一定成立, 故命题 q 为假命题,从而綈 q 为真命题. 由真值表知:①p∧q 为假命题;②p∨q 为真命题;③p∧(綈 q)为真命题;④(綈 p)∨q 为假 命题, 故选 C. 题型二 含有一个量词的命题 命题点 1 全称命题、特称命题的真假 例 2 不等式组?
? ?x+y≥1, ?x-2y≤4 ?
2 2 2 2

)

B.①④ D.②④

的解集记为 D,有下面四个命题:p1:? (x,y)∈D,x+2y≥

-2,p2:? (x,y)∈D, x+2y≥2,p3:? (x,y)∈D,x+2y≤3,p4:? (x,y)∈D,x+2y≤ -1. 其中的真命题是( A.p2,p3 C.p1,p2 答案 C 解析 画出不等式组?
? ?x+y≥1, ?x-2y≤4 ?

) B.p1,p4 D.p1,p3

的可行域 D 如图阴影部分所示, 两直线交于点 A(2, -1),

设直线 l0 的方程为 x+2y=0.由图象可知,? (x,y)∈D,x+2y≥0,故 p1 为真命题,p2 为真 命题,p3,p4 为假命题.

命题点 2 含一个量词的命题的否定
4

例 3 (1)命题“? x0∈R,x0-2x0>0”的否定是( A.? x∈R,x -2x<0 B.? x0∈R,x0-2x0≥0 C.? x∈R,x -2x≤0 D.? x0∈R,x0-2x0<0
2 2 2 2

2

)

(2)(2015·浙江)命题“? n∈N ,f(n)∈N 且 f(n)≤n”的否定形式是( A.? n∈N ,f(n)?N 且 f(n)>n B.? n∈N ,f(n)?N 或 f(n)>n C.? n0∈N ,f(n0)?N 且 f(n0)>n0 D.? n0∈N ,f(n0)?N 或 f(n0)>n0 答案 (1)C (2)D
* * * * * * * *

*

*

)

解析 (1)将“? ”改为“? ”,对结论中的“>”进行否定,可知 C 正确. (2)由全称命题与特称命题之间的互化关系知选 D. 思维升华 (1)判定全称命题“? x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合 M 中的每一个元素 x, 证明 p(x)成立;要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少找到一个 x=x0,使 p(x0) 成立. (2)对全(特)称命题进行否定的方法 ①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词. ②对原命题的结论进行否定. (1)下列命题是假命题的是( )

A.? α ,β ∈R,使 sin(α +β )=sin α +sin β B.? φ ∈R,函数 f(x)=sin(2x+φ )都不是偶函数 C.? x0∈R,使 x0+ax0+bx0+c=0(a,b,c∈R 且为常数) D.? a>0,函数 f(x)=ln x+ln x-a 有零点 (2)(2017·福州质检)已知命题 p:“? x0∈R, e 0-x0-≤ 1 0 ”,则綈 p 为( A.? x0∈R, e 0-x0-≥ 1 0 B.? x0∈R, e 0-x0- 1? 0
x x x
2 3 2

)

C.? x∈R,e -x-1>0 D.? x∈R,e -x-1≥0 答案 (1)B (2)C 解析 (1)取 α =0 时,sin(α +β )=sin α +sin β ,A 正确; π π 取 φ = 时,函数 f(x)=sin(2x+ )=cos 2x 是偶函数,B 错误; 2 2
x

x

5

对于三次函数 y=f(x)=x +ax +bx+c,当 x→-∞时,y→-∞,当 x→+∞时,y→+∞, 又 f(x)在 R 上为连续函数,故? x0∈R,使 x0+ax0+bx0+c=0,C 正确; 1 2 1 1 2 2 当 f(x)=0 时,ln x+ln x-a=0,则有 a=ln x+ln x=(ln x+ ) - ≥- ,所以? a>0, 2 4 4 函数 f(x)=ln x+ln x-a 有零点,D 正确,综上可知选 B. (2)根据全称命题与特称命题的否定关系,可得綈 p 为“? x∈R,e -x-1>0”,故选 C. 题型三 含参数命题中参数的取值范围 例 4 (1)已知命题 p:关于 x 的方程 x -ax+4=0 有实根;命题 q:关于 x 的函数 y=2x +
2 2 2 3 2

3

2

x

ax+4 在[3, +∞)上是增函数, 若 p∧q 是真命题, 则实数 a 的取值范围是________________.
1 2 (2)已知 f(x)=ln(x +1), g(x)=( )x-m, 若对? x1∈[0,3], ? x2∈[1,2], 使得 f(x1)≥g(x2), 2 则实数 m 的取值范围是( 1 A.[ ,+∞) 4 1 C.[ ,+∞) 2 ) 1 B.(-∞, ] 4 1 D.(-∞,- ] 2

答案 (1)[-12,-4]∪[4,+∞) (2)A 解析 (1)若命题 p 是真命题,则 Δ =a -16≥0, 即 a≤-4 或 a≥4;若命题 q 是真命题, 则- ≤3,即 a≥-12. 4 ∵p∧q 是真命题,∴p,q 均为真, ∴a 的取值范围是[-12,-4]∪[4,+∞). (2)当 x∈[0,3]时,f(x)min=f(0)=0,当 x∈[1,2]时,
2

a

g(x)min=g(2)= -m,由 f(x)min≥g(x)min,
1 1 得 0≥ -m,所以 m≥ ,故选 A. 4 4 引申探究 本例(2)中,若将“? x2∈[1,2]”改为“? x2∈[1,2]”,其他条件不变,则实数 m 的取值范 围是________________. 1 答案 [ ,+∞) 2 1 解析 当 x∈[1,2]时,g(x)max=g(1)= -m, 2 1 由 f(x)min≥g(x)max,得 0≥ -m, 2
6

1 4

1 ∴m≥ . 2 思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假, 可根据每个命题的真假利用集合的运算求解 参数的取值范围; (2)含量词的命题中参数的取值范围, 可根据命题的含义, 利用函数值域(或 最值)解决. (1)已知命题 p: “? x∈[0,1], a≥e ”, 命题 q: “? x0∈R, x0+4x0+a=0”. 若 命题“p∧q”是真命题,则实数 a 的取值范围是( A.(4,+∞) C.[e,4]
2

x

2

)

B.[1,4] D.(-∞,-1)

(2)已知函数 f(x)=x -2x+3,g(x)=log2x+m,对任意的 x1,x2∈[1,4]有 f(x1)>g(x2)恒成 立,则实数 m 的取值范围是________________. 答案 (1)C (2)(-∞,0) 解析 (1)由题意知 p 与 q 均为真命题,由 p 为真,可知 a≥e,由 q 为真,知 x +4x+a=0 有解,则 Δ =16-4a≥0,∴a≤4.综上可知 e≤a≤4. (2)f(x)=x -2x+3=(x-1) +2, 当 x∈[1,4]时,f(x)min=f(1)=2,g(x)max=g(4)=2+m,则 f(x)min>g(x)max,即 2>2+m,解 得 m<0,故实数 m 的取值范围是(-∞,0).
2 2 2

1.常用逻辑用语

考点分析 有关四种命题及其真假判断、 充分必要条件的判断或求参数的取值范围、 量词等问 题几乎在每年高考中都会出现,多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合,难度 中等以下.解决这类问题应熟练把握各类内在联系. 一、命题的真假判断 典例 1 (1)已知命题 p:? x0∈R,x0+1<2x0;命题 q:若 mx -mx-1<0 恒成立,则-4<m<0, 那么( )
2 2

A.綈 p 是假命题 B.q 是真命题 C.p∨q 为假命题 D.p∧q 为真命题 (2)下列命题中错误的个数为( )

①若 p∨q 为真命题,则 p∧q 为真命题; ②“x>5”是“x -4x-5>0”的充分不必要条件;
2

7

③命题 p:? x0∈R,x0+x0-1<0,则綈 p:? x∈R,x +x-1≥0; ④命题“若 x -3x+2=0,则 x=1 或 x=2”的逆否命题为“若 x≠1 或 x≠2,则 x -3x+ 2≠0”. A.1 B.2 C.3 D.4 解析 (1)由于 x -2x+1=(x-1) ≥0, 即 x +1≥2x,所以 p 为假命题; 对于命题 q,当 m=0 时,-1<0 恒成立, 所以命题 q 为假命题. 综上可知,綈 p 为真命题,
2 2 2 2 2

2

2

p∧q 为假命题,p∨q 为假命题,故选 C.
(2)对于①,若 p∨q 为真命题,则 p,q 至少有一个为真,即可能有一个为假,所以 p∧q 不 一定为真命题, 所以①错误;对于②,由 x -4x-5>0 可得 x>5 或 x<-1,所以“x>5”是“x
2 2

-4x-5>0”的充分不必要条件,所以②正确;对于③,根据特称命题的否定为全称命题,可 知③正确; 对于④, 命题“若 x -3x+2=0, 则 x=1 或 x=2”的逆否命题为“若 x≠1 且 x≠2, 则 x -3x+2≠0”,所以④错误,所以错误命题的个数为 2,故选 B. 答案 (1)C (2)B 二、求参数的取值范围 典例 2 (1)已知 p:x≥k,q: 是( ) B.(2,+∞) D.(-∞,-1] 3
2 2

x+1

<1,如果 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 k 的取值范围

A.[2,+∞) C.[1,+∞)

4 1 x (2)(2016·郑州一模)已知函数 f(x)=x+ ,g(x)=2 +a,若? x1∈[ ,3],? x2∈[2,3]使 x 2 得 f(x1)≥g(x2),则实数 a 的取值范围是( A.a≤1 C.a≤0 解析 (1)由 B.a≥1 D.a≥0 3 3 2-x <1,得 -1= <0, x+1 x+1 x+1 )

即(x-2)(x+1)>0, 解得 x<-1 或 x>2,由 p 是 q 的充分不必要条件,知 k>2,故选 B. 1 (2)∵x∈[ ,3],∴f(x)≥2 2

x· =4,当且仅当 x=2 时,f(x)min=4,当 x∈[2,3]时, x

4

g(x)min=22+a=4+a,依题意 f(x)min≥g(x)min,∴a≤0,故选 C.
答案 (1)B (2)C
8

三、利用逻辑推理解决实际问题 典例 3 (1)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为________. (2)对于中国足球参与的某次大型赛事,有三名观众对结果作如下猜测: 甲:中国非第一名,也非第二名; 乙:中国非第一名,而是第三名; 丙:中国非第三名,而是第一名. 竞赛结束后发现,一人全猜对,一人猜对一半,一人全猜错,则中国足球队得了第________ 名. 解析 (1)由题意可推断:甲没去过 B 城市,但比乙去的城市多,而丙说“三人去过同一城 市”,说明甲去过 A,C 城市,而乙“没去过 C 城市”,说明乙去过 A 城市,由此可知,乙去 过的城市为 A. (2)由题意可知:甲、乙、丙均为“p 且 q”形式,所以猜对一半者也说了错误“命题”,即 只有一个为真,所以可知丙是真命题,因此中国足球队得了第一名. 答案 (1)A (2)一

1.命题 p:若 sin x>sin y,则 x>y;命题 q:x +y ≥2xy.下列命题为假命题的是( A.p∨q C.q 答案 B 解析 命题 p 假,q 真,故命题 p∧q 为假命题. 2.下列命题中,真命题是( A.? x∈R,x >0 C.? x0∈R, 2 答案 D
x0
2

2

2

)

B.p∧q D.綈 p

) B.? x∈R,-1<sin x<1 D.? x0∈R,tan x0=2

?0
2

解析 ? x∈R,x ≥0,故 A 错;? x∈R,-1≤sin x≤1,故 B 错;由 y=2 的图象可知?

x

x∈R,2x>0,故 C 错,D 正确.
3.(2017·西安质检)已知命题 p:? x0∈R, log2 (3 0 ? 1)≤0, 则(
x

)

A.p 是假命题;綈 p:? x∈R,log2(3 +1)≤0
9

x

B.p 是假命题;綈 p:? x∈R,log2(3 +1)>0 C.p 是真命题;綈 p:? x∈R,log2(3 +1)≤0 D.p 是真命题;綈 p:? x∈R,log2(3 +1)>0 答案 B 解析 ∵3 >0,∴3 +1>1,则 log2(3 +1)>0,∴p 是假命题;綈 p:? x∈R,log2(3 +1)>0, 故选 B. 4.(2016·河北邯郸收官考试)已知 p:? x∈R,x -x+1>0,q:? x0∈(0,+∞),sin x0>1, 则下列命题为真命题的是( A.p∨(綈 q) C.p∧q 答案 A 1 2 3 2 解析 因为 x -x+1=(x- ) + >0 恒成立,所以命题 p 是真命题;? x∈R,sin x≤1,所 2 4 以命题 q 是假命题,所以 p∨(綈 q)是真命题,故选 A. 5.下列命题中的假命题是( A.? x∈R,2
x-1
2

x

x

x

x

x

x

x

) B.(綈 p)∨q D.(綈 p)∧(綈 q)

) B.? x∈N ,(x-1) >0 π? ? D.? x0∈R,tan?x0+ ?=5 4? ?
* 2

>0

C.? x0∈R,lg x0<1 答案 B

解析 A 项,∵x∈R,∴x-1∈R,由指数函数性质得 2

x-1

>0;B 项,∵x∈N ,∴当 x=1 时,

*

1 1 2 2 (x-1) =0 与(x-1) >0 矛盾; C 项, 当 x0= 时, lg =-1<1; D 项, 当 x∈R 时, tan x∈R, 10 10 π? ? ∴? x0∈R,tan?x0+ ?=5. 4? ? 6.(2016·开封一模)已知命题 p1:? x∈(0,+∞),有 3 >2 ,p2:? θ ∈R,sin θ +cos θ 3 = ,则在命题 q1:p1∨p2;q2:p1∧p2;q3:(綈 p1)∨p2 和 q4:p1∧(綈 p2)中,真命题是( 2 A.q1,q3 C.q1,q4 答案 C 3 x 3 x 解析 因为 y=( ) 在 R 上是增函数,即 y=( ) >1 在(0,+∞)上恒成立,所以 p1 是真命题; 2 2 π sin θ +cos θ = 2sin(θ + )≤ 2,所以命题 p2 是假命题,綈 p2 是真命题,所以命题 4 B.q2,q3 D.q2,q4 )
x x

q1:p1∨p2,q4:p1∧(綈 p2)是真命题,选 C.

10

1 2 7.已知命题“? x0∈R,使 2x0+(a-1)x0+ ≤0”是假命题,则实数 a 的取值范围是( 2 A.(-∞,-1) C.(-3,+∞) 答案 B B.(-1,3) D.(-3,1)

)

1 1 2 2 解析 依题意可知“? x∈R,2x +(a-1)x+ >0”为真命题, 所以 Δ =(a-1) -4×2× <0, 2 2 即(a+1)(a-3)<0,解得-1<a<3,故选 B. *8.(2016·湖南师大附中月考)函数 f(x)=ln x- (a>0),若? x0∈R,使得? x1∈[1,2]都有

x a

f(x1)<f(x0),则实数 a 的取值范围是(
A.(0,1) C.(2,+∞) 答案 D

)

B.(1,2) D.(0,1)∪(2,+∞)

1 1 解析 由题意可知函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)= - (a>0),

x a

当 x∈(0,a)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当 x∈(a,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 故 f(x)max=f(a),? x0∈R,使得? x1∈[1,2]都有 f(x1)<f(x0),即 f(a)>f(x1)对? x1∈[1,2] 恒成立,故 a?[1,2],所以实数 a 的取值范围是(0,1)∪(2,+∞),选 D. 9.以下四个命题:①? x∈R,x -3x+2>0 恒成立;②? x∈Q,x =2;③? x∈R,x +1=0; ④? x∈R,4x >2x-1+3x .其中真命题的个数为( A.0 C.2 答案 A 解析 ∵x -3x+2>0,Δ =(-3) -4×2>0, ∴当 x>2 或 x<1 时,x -3x+2>0 才成立, ∴①为假命题; 当且仅当 x=± 2时,x =2,∴不存在 x∈Q,使得 x =2,∴②为假命题; 对? x∈R,x +1≠0,∴③为假命题; 4x -(2x-1+3x )=x -2x+1=(x-1) ≥0, 即当 x=1 时,4x =2x-1+3x 成立, ∴④为假命题. ∴①②③④均为假命题. 10.(2016·成都模拟)已知函数 f(x)的定义域为(a,b),若“? x0∈(a,b),f(x0)+f(-
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

B.1 D.4

x0)≠0”是假命题,则 f(a+b)=________.
11

答案 0 解析 若“? x0∈(a,b),f(x0)+f(-x0)≠0”是假命题,则“? x∈(a,b),f(x)+f(-x) =0”是真命题,即 f(-x)=-f(x),则函数 f(x)是奇函数,则 a+b=0,即 f(a+b)=0. 11.下列结论: ①若命题 p:? x0∈R,tan x0=1;命题 q:? x∈R,x -x+1>0.则命题“p∧(綈 q)”是假 命题; ②已知直线 l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则 l1⊥l2 的充要条件是 =-3; ③命题“若 x -3x+2=0,则 x=1”的逆否命题是:“若 x≠1,则 x -3x+2≠0”. 其中正确结论的序号为________. 答案 ①③ 解析 ①中命题 p 为真命题,命题 q 为真命题, 所以 p∧(綈 q)为假命题,故①正确; ②当 b=a=0 时,有 l1⊥l2,故②不正确; ③正确,所以正确结论的序号为①③. 1 2 12.已知命题 p:x +2x-3>0;命题 q: >1,若“(綈 q)∧p”为真,则 x 的取值范围是 3-x ________________. 答案 (-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞) 解析 因为“(綈 q)∧p”为真,即 q 假 p 真,而 q 为真命题时,
2 2 2 2

a b

x-2 <0,即 2<x<3,所以 q x-3

为假命题时,有 x≥3 或 x≤2;p 为真命题时,由 x +2x-3>0,解得 x>1 或 x<-3,由
?x>1或x<-3, ? ? ?x≥3或x≤2, ?

得 x≥3 或 1<x≤2 或 x<-3,

所以 x 的取值范围是{x|x≥3 或 1<x≤2 或 x<-3}. 13.(2017·江西五校联考)已知命题 p:? x0∈R,(m+1)·(x0+1)≤0,命题 q:? x∈R,
2

x2+mx+1>0 恒成立.若 p∧q 为假命题,则实数 m 的取值范围为______________.
答案 (-∞,-2]∪(-1,+∞) 解析 由命题 p:? x0∈R,(m+1)(x0+1)≤0 可得 m≤-1,由命题 q:? x∈R,x +mx+1>0 恒成立,可得-2<m<2,因为 p∧q 为假命题,所以 m≤-2 或 m>-1. 14.已知命题 p:“? x∈R,? m∈R,4 -2 取值范围是________. 答案 (-∞,1] 解析 若綈 p 是假命题,则 p 是真命题, 即关于 x 的方程 4 -2·2 +m=0 有实数解,
12
x x x x+1
2 2

+m=0”,若命题綈 p 是假命题,则实数 m 的

由于 m=-(4 -2·2 )=-(2 -1) +1≤1, ∴m≤1. *15.已知函数 f(x)=

x

x

x

2

x2-x+1 x (x≥2),g(x)=a (a>1,x≥2). x-1

(1)若? x0∈[2,+∞),使 f(x0)=m 成立,则实数 m 的取值范围为________________; (2) 若 ? x1∈[2,+∞), ? x2∈[2, +∞)使得 f(x1) = g(x2) ,则实数 a 的取值范围为 ________________. 答案 (1)[3,+∞) (2)(1, 3] 解析 (1)因为 f(x)=

x2-x+1 1 1 =x+ =x-1+ +1≥2+1=3,当且仅当 x=2 时等 x-1 x-1 x-1

号成立,所以若? x0∈[2,+∞),使 f(x0)=m 成立,则实数 m 的取值范围为[3,+∞). (2)因为当 x≥2 时,f(x)≥3,g(x)≥a ,若? x1∈[2,+∞),? x2∈[2,+∞)使得 f(x1)
? ?a ≤3, =g(x2),则? ?a>1, ?
2 2

解得 a∈(1, 3].

13


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