题型专项(八)二次函数与几何图形综合题 类型5 探究角度数量关系的存在性问题试题

类型 5 探究角度数量关系的存在性问题 2 1．(2015·南宁)在平面直角坐标系中，已知 A，B 是抛物线 y＝ax (a>0)上两个不同的点，其中 A 在第二象限，B 在第一象限． (1)如图 1 所示 ，当直线 AB 与 x 轴平行，∠AOB＝90°，且 AB＝2 时，求此抛物线的解析式和 A，B 两点的横坐标的 乘积； (2)如图 2 所示，在(1)所求得的抛物线上，当直线 AB 与 x 轴不平行，∠AOB 仍为 90°时，A，B 两点的横坐标的乘 积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由； (3)在(2)的条件下，如图 3，若直线 y＝－2x－2 分别交直线 AB，y 轴于点 P，C，直线 AB 交 y 轴于点 D，且∠BPC＝ ∠OCP，求点 P 的坐标． 解：( 1)设直线 AB 与 y 轴交于点 E， ∵AB 与 x 轴平行，根据抛物线的对称性有 AE＝BE＝1. 1 ∵∠AOB＝90°，∴OE＝ AB＝1. 2 ∴A(－1，1)，B(1，1)． 2 把 x＝1，y＝1 代入 y＝ax ，得 a＝1， 2 ∴抛物线的解析式为 y＝x ，A，B 两点的横坐标的乘积为 xA·xB＝－ 1. (2)xA·xB＝－1 为常数，过点 A 作 AM⊥x 轴于点 M，BN⊥x 轴于点 N， ∴∠AMO＝∠BNO＝90°. ∴∠MAO＋∠AOM＝∠AOM＋∠BON＝90°. ∴∠MAO＝∠BON.∴△AMO∽△ONB. ∴ AM OM ＝ ，即 OM·ON＝AM·BN. ON BN 设 A(xA，yA)，B(xB，yB)， 2 ∵A(xA，yA)，B(xB，yB)在 y＝x 图象上， 2 2 2 2 ∴yA＝xA，yB＝xB. ∴－xA·xB＝yA·yB＝xA·xB. ∴xA·xB＝－1 为常数． 2 2 (3)设 A(m，m )，B(n，n )，由(2)可知 mn＝－1. ? ?y＝kx＋b， 2 设直线 AB 的解析式为 y＝k x＋b，联立? 得 x －kx－b＝0. 2 ?y＝x ， ? ∵m，n 是方程的两个根，∴mn＝－b.∴b＝1. ∵直线 AB 与 y 轴交于点 D，则 OD＝1. 易知 C(0，－2)，OC＝2，∴CD＝OC＋OD＝3. ∵∠BPC＝∠OCP，∴PD＝CD＝3. 设 P(a，－2a－2)，过点 P 作 PG⊥y 轴于点 G，则 PG＝－a，GD＝OG－OD＝－2a－3. 2 2 2 在 Rt△PDG 中，由勾股定理得：PG ＋GD ＝PD ， 12 2 2 2 2 即(－a) ＋(－2a－3) ＝3 ，整理得 5a ＋12a＝0，解得 a＝0(舍去)或 a＝－ . 5 12 14 当 a＝－ 时，－2a－2＝ ， 5 5 12 14 ∴P(－ ， )． 5 5 4 2 2 2．(2016·河南)如图 1，直线 y＝－ x＋n 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 C(0，4)．抛物线 y＝ x ＋bx＋c 经过点 A， 3 3 交 y 轴于点 B(0，－2)．点 P 为抛物线上一个动点，经过点 P 作 x 轴的垂线 PD，过点 B 作 BD⊥PD 于点 D，连接 PB， 设点 P 的横坐标为 m. (1)求抛物线的解析式； (2)当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段 PD 的长； (3)如图 2，将△BDP 绕点 B 逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′＝∠OAC，当点 P 的对应点 P′落在坐标 轴上时，请直接写出点 P 的坐标． 4 解：(1)由直线 y＝－ x＋n 过点 C(0，4)，得 n＝4， 3 4 ∴y＝－ x＋4. 3 4 当 y＝0 时，0＝－ x＋4，解得 x＝3，∴A(3，0)． 3 2 2 ∵抛物线 y＝ x ＋bx＋c 经过点 A(3，0)，B(0，－2)． 3 2 4 ? ?0＝ ×32＋3b＋c， ? ?b＝－ ， 3 3 ∴? ∴? ? ? ?－2＝c. ?c＝－2. 2 2 4 ∴抛物线的解析式为 y＝ x － x－2. 3 3 (2)∵点 P 的横坐标为 m， 2 2 4 ∴P (m， m － m－2)，D(m，－2)． 3 3 若△BDP 为等腰直角三角形，则 PD＝BD. 2 2 4 ①当点 P 在直线 BD 上方时，PD＝ m － m. 3 3 (ⅰ)若点 P 在 y 轴左侧，则 m<0，BD＝－m. 2 2 4 ∴ m － m＝－m， 3 3 1 ∴m1＝0(舍去)，m2＝ (舍去)． 2 (ⅱ)若点 P 在 y 轴右侧，则 m>0，BD＝m. 2 2 4 7 ∴ m － m＝m，∴m3＝0(舍去)，m4＝ . 3 3 2 2 2 4 ②当点 P 在直线 BD 下方时，m>0，BD＝m，PD＝－ m ＋ m. 3 3 2 2 4 1 ∴－ m ＋ m＝m，∴m5＝0(舍去)，m6＝ . 3 3 2 7 1 综上，m＝ 或 . 2 2 7 1 即当△BDP 为等腰直角三角形时，PD 的长为 或 . 2 2 (3)P1(－ 5， 25 11 P3( ， )． 8 32 【提示】∵∠PB P′＝∠OAC，OA＝3，OC＝4， 4 3 ∴AC＝5，∴sin∠PBP′＝ ，cos∠PBP′＝ . 5 5 ①当点 P′落在 x 轴上时，过点 D′作 D′N⊥x 轴，垂足为 N，交 BD 于点 M，∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′. 4 5＋4 －4 5＋4 )，P2( 5， )， 3 3 图1 3 2 2 4 4 如图 1，ND′－MD′＝2，即 ( m － m)－(－ m)＝2. 5 3 3 5 3 2 2 4 4 如图 2，ND′＋MD′＝2，即 ( m － m)＋ m＝2. 5 3 3 5 ∴P1(－ 5， 4 5＋4 －4 5＋4 )，P2( 5， )； 3 3 图2 图3 ②当点 P′落在 y 轴上时，如图 3，过点 D′作 D′M⊥x 轴，交 BD 于点 M，过点 P′作