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题型专项(八)二次函数与几何图形综合题 类型5 探究角度数量关系的存在性问题试题

类型 5 探究角度数量关系的存在性问题 2 1.(2015·南宁)在平面直角坐标系中,已知 A,B 是抛物线 y=ax (a>0)上两个不同的点,其中 A 在第二象限,B 在第一象限. (1)如图 1 所示 ,当直线 AB 与 x 轴平行,∠AOB=90°,且 AB=2 时,求此抛物线的解析式和 A,B 两点的横坐标的 乘积; (2)如图 2 所示,在(1)所求得的抛物线上,当直线 AB 与 x 轴不平行,∠AOB 仍为 90°时,A,B 两点的横坐标的乘 积是否为常数?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由; (3)在(2)的条件下,如图 3,若直线 y=-2x-2 分别交直线 AB,y 轴于点 P,C,直线 AB 交 y 轴于点 D,且∠BPC= ∠OCP,求点 P 的坐标. 解:( 1)设直线 AB 与 y 轴交于点 E, ∵AB 与 x 轴平行,根据抛物线的对称性有 AE=BE=1. 1 ∵∠AOB=90°,∴OE= AB=1. 2 ∴A(-1,1),B(1,1). 2 把 x=1,y=1 代入 y=ax ,得 a=1, 2 ∴抛物线的解析式为 y=x ,A,B 两点的横坐标的乘积为 xA·xB=- 1. (2)xA·xB=-1 为常数,过点 A 作 AM⊥x 轴于点 M,BN⊥x 轴于点 N, ∴∠AMO=∠BNO=90°. ∴∠MAO+∠AOM=∠AOM+∠BON=90°. ∴∠MAO=∠BON.∴△AMO∽△ONB. ∴ AM OM = ,即 OM·ON=AM·BN. ON BN 设 A(xA,yA),B(xB,yB), 2 ∵A(xA,yA),B(xB,yB)在 y=x 图象上, 2 2 2 2 ∴yA=xA,yB=xB. ∴-xA·xB=yA·yB=xA·xB. ∴xA·xB=-1 为常数. 2 2 (3)设 A(m,m ),B(n,n ),由(2)可知 mn=-1. ? ?y=kx+b, 2 设直线 AB 的解析式为 y=k x+b,联立? 得 x -kx-b=0. 2 ?y=x , ? ∵m,n 是方程的两个根,∴mn=-b.∴b=1. ∵直线 AB 与 y 轴交于点 D,则 OD=1. 易知 C(0,-2),OC=2,∴CD=OC+OD=3. ∵∠BPC=∠OCP,∴PD=CD=3. 设 P(a,-2a-2),过点 P 作 PG⊥y 轴于点 G,则 PG=-a,GD=OG-OD=-2a-3. 2 2 2 在 Rt△PDG 中,由勾股定理得:PG +GD =PD , 12 2 2 2 2 即(-a) +(-2a-3) =3 ,整理得 5a +12a=0,解得 a=0(舍去)或 a=- . 5 12 14 当 a=- 时,-2a-2= , 5 5 12 14 ∴P(- , ). 5 5 4 2 2 2.(2016·河南)如图 1,直线 y=- x+n 交 x 轴于点 A,交 y 轴于点 C(0,4).抛物线 y= x +bx+c 经过点 A, 3 3 交 y 轴于点 B(0,-2).点 P 为抛物线上一个动点,经过点 P 作 x 轴的垂线 PD,过点 B 作 BD⊥PD 于点 D,连接 PB, 设点 P 的横坐标为 m. (1)求抛物线的解析式; (2)当△BDP 为等腰直角三角形时,求线段 PD 的长; (3)如图 2,将△BDP 绕点 B 逆时针旋转,得到△BD′P′,且旋转角∠PBP′=∠OAC,当点 P 的对应点 P′落在坐标 轴上时,请直接写出点 P 的坐标. 4 解:(1)由直线 y=- x+n 过点 C(0,4),得 n=4, 3 4 ∴y=- x+4. 3 4 当 y=0 时,0=- x+4,解得 x=3,∴A(3,0). 3 2 2 ∵抛物线 y= x +bx+c 经过点 A(3,0),B(0,-2). 3 2 4 ? ?0= ×32+3b+c, ? ?b=- , 3 3 ∴? ∴? ? ? ?-2=c. ?c=-2. 2 2 4 ∴抛物线的解析式为 y= x - x-2. 3 3 (2)∵点 P 的横坐标为 m, 2 2 4 ∴P (m, m - m-2),D(m,-2). 3 3 若△BDP 为等腰直角三角形,则 PD=BD. 2 2 4 ①当点 P 在直线 BD 上方时,PD= m - m. 3 3 (ⅰ)若点 P 在 y 轴左侧,则 m<0,BD=-m. 2 2 4 ∴ m - m=-m, 3 3 1 ∴m1=0(舍去),m2= (舍去). 2 (ⅱ)若点 P 在 y 轴右侧,则 m>0,BD=m. 2 2 4 7 ∴ m - m=m,∴m3=0(舍去),m4= . 3 3 2 2 2 4 ②当点 P 在直线 BD 下方时,m>0,BD=m,PD=- m + m. 3 3 2 2 4 1 ∴- m + m=m,∴m5=0(舍去),m6= . 3 3 2 7 1 综上,m= 或 . 2 2 7 1 即当△BDP 为等腰直角三角形时,PD 的长为 或 . 2 2 (3)P1(- 5, 25 11 P3( , ). 8 32 【提示】∵∠PB P′=∠OAC,OA=3,OC=4, 4 3 ∴AC=5,∴sin∠PBP′= ,cos∠PBP′= . 5 5 ①当点 P′落在 x 轴上时,过点 D′作 D′N⊥x 轴,垂足为 N,交 BD 于点 M,∠DBD′=∠ND′P′=∠PBP′. 4 5+4 -4 5+4 ),P2( 5, ), 3 3 图1 3 2 2 4 4 如图 1,ND′-MD′=2,即 ( m - m)-(- m)=2. 5 3 3 5 3 2 2 4 4 如图 2,ND′+MD′=2,即 ( m - m)+ m=2. 5 3 3 5 ∴P1(- 5, 4 5+4 -4 5+4 ),P2( 5, ); 3 3 图2 图3 ②当点 P′落在 y 轴上时,如图 3,过点 D′作 D′M⊥x 轴,交 BD 于点 M,过点 P′作

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