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东北师大附中高三第四次摸底考试数学试题(理科)


2011—2012学年(上)高三年级 第四次摸底考试 数学(理)学科试卷
第Ⅰ 卷(选择题 共60分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) (1)若命题 (A) (C) (2)集合 (A) (3)等差数列 (A) (4) 在 的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (B) (B) ,则 (B) (D) ,集合 (C) 项和为 (D) 、 、 的对边分别为 、 、 , 则 是 (D) , , ,则公差 ,则

的前 (C) 中, 角

(5) (A) (B)

的值是 (C) (D)


(6)变量

满足约束条件

,则

的最大值为

(A)

(B)

(C)

(D)

(7)为了得到函数

的图象,只需将函数

的图象

1

(A) 向左平移

个长度单位 (B)向右平移

个长度单位

(C) 向左平移

个长度单位 (D)向右平移

个长度单位

(8)

是周期为

的奇函数,当

时,

,则

(A)

(B)

(C)

(D) 被圆 截得的弦长

(9)若直线



,则

的最小值为

(A) (10)函数

(B)

(C)

(D) 上有零点,则实数 的取值范围是

在区间

(A)

(B)

(C)

(D)

(11)函数 ① 函数 ③若 ④ 方程 为奇函数; ② 函数 且 ,则 无解,则实数

,给出如下结论: 的值域为 ; 的取值范围是 . ;

其中,正确结论的个数是 (A)1 (B)2 (C) 3 (D) 4 (12)在表面积为 点, 、 的球的内接三棱锥 都 中, 、 分别是 、 的中

是正三角形,

.则

的边长为
2

(A)

(B)

(C)

(D)

第Ⅱ 卷(非选择题 共90分) 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) (13)网格纸的小正方形边长为1,一个三角形的三视图如右图所示,则此三角形的面积为 .

(14) 的方程为 .

中,





的平分线方程分 别为

, 则直线

(15)在直线 ,且 (16)在 ① 若点 ② 若点 是 是

与曲线 ,则 中,给出如下结论: 的外心,则 的重心,则 . .

的交点中,自左向右取三个连续的点

.

③ 若点 ④ 若点

是 、

的内心,则存在实数 分别是

,使

. .

的外心、垂心,则

其中所有正确结论的序号是________________ . 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (17)(本题满分10分)

已知集合 (Ⅰ ) 时,求集合 ;

,集合

.

3

(Ⅱ )若

,求

的取值范围.

(18) (本题满分12分)已知坐标原点 为钝角。 (Ⅰ )求直线 (Ⅱ )若直线 求实数 的方程; 与圆

到过点

的直线

的距离为



的倾斜角

的两个交点为



,且



的值.

4

(19)(本题满分12分) 在 中,角 、 、 的对边分别为 、 、 ,且满足

(Ⅰ )求角 (Ⅱ )若

; 外接圆的直径为2,求 的周长 的取值范围.

(20)(本题满分12分) 如图,在直角梯形 是 的中点. 将 中 中, 沿 , 折起,使得平面 , , 平面 , .在三棱锥

5

(Ⅰ )求证: (Ⅱ )求异面直线 (Ⅲ )求二面角 与 所成的角; 的余弦值.

平面



(21)(本题满分12分) 已知数列 (Ⅰ )求数列 (Ⅱ )求数列 的前 项和为 , ,数列 是公差为2的等差数列。

的通项公式; 的前 项和 .

6

(22)(本题满分12分) 已知函数 (Ⅰ ) (Ⅱ )求函数 (Ⅲ )证明: 时,求函数 的极值;

的单调区间;

,(

).

7

评分标准 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) AABCC, BDBAD ,DB 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

(13)

; (14)

; (15)

; (16)② ④ ③ .

三、解答题(本大题共6小题,共70分) (17) (本题满分10分) 解: ) (Ⅰ (Ⅱ ) 时, 时, , ; 时, ,

时, 当 时,满足条件;



时,



时,







时,

,解得,



时,



当 综上,

时,不满足条件 或

(18) (本题满分12分) 解: )由题意知,直线 (Ⅰ 存在斜率

直线

的方程为

,则



解得:



因为 直线

的倾斜角为钝角,所以 的方程为 两点的坐标为 。
8

(Ⅱ )设



由方程组

,消去



. 而 . 即 (19) (本题满分12分) 解: )在 (Ⅰ 中,由正弦定理,得 ,即 ,即 解之 . .







(Ⅱ )由正弦定理,

为外接圆直径,

, , (20) (本题满分12分)

解: (Ⅰ 由题, )







, 则



,则

,且
9



所以



则 (Ⅱ )取 所以 由(Ⅰ )知 所以 , 。 ,则 , 中点 ,连结 、 与 ,而 。则 所成角。 , 。

即为异面直线

所以



( Ⅲ) 建 立 如 图 所 示 空 间 直 角 坐 标 系 。 则





10

, 设平面 的一个法向量为

所以 同理平面 的一个法向量

,所以二面角 (21) (本题满分12分) 解: (Ⅰ ) 数列

的余弦值为



是公差为2的等差数列, ,即





时,则有

所以

即数列

为以

为首项,以

为公比的等比数列。

所以

,即

(Ⅱ )





,得


11

所以 (22) (本题满分12分)

解: ) (Ⅰ

时,

由 解不等式 解不等式 所以

,得 ,得 ,得 在区间

,所以函数

的定义域为



上单调递减,在区间

上单调递增。

,无极大值 (Ⅱ )当 当 时,定义域为 时, ,定义域为 , , 在区间 上单调递增;

解不等式 解不等式 函数 在区间 在区间 当 在区间

,得 ,得



上单调递减, 上单调递增, 上单调递增。

时,定义域为

解不等式

,得
12

解不等式 函数 在区间 (Ⅲ )由(Ⅱ )知, 当 时, 在区间

,得 上单调递减, 上单调递增。 时, 在区间 上单调递增;

所以,

所以,

,(

).

13


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