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抽象函数习题精选精讲


含有函数记号“ f ( x) ”有关抽象函数问题解法 由于函数概念比较抽象, 学生对解有关函数记号 f ( x) 的问题感到 困难,学好这部分知识,能加深学生对函数概念的理解,更好地掌握 函数的性质,培养灵活性;提高解题能力,优化学生数学思维素质。 现将常见解法及意义总结如下: 一、求表达式: 1.换元法:即用中间变量 表示原自变量 x 的代数式,从而求出
f ( x) ,这也是证某些公式或等式常用的方法,此法解培养学生的灵活

性及变形能力。
x ) ? 2 x ? 1 ,求 f ( x ) . x ?1 x u u 2?u 2? x ? u ,则 x ? ?1 ? 解:设 ∴ f (u ) ? 2 ∴ f ( x) ? x ?1 1? u 1? u 1? u 1? x

例 1:已知 f (

2.凑合法:在已知 f ( g ( x)) ? h( x) 的条件下,把 h( x) 并凑成以 g (u ) 表 示的代数式,再利用代换即可求 f ( x) .此解法简洁,还能进一步复习 代换法。
1 ,求 f ( x) x3 1 1 1 1 1 解:∵ f ( x ? ) ? ( x ? )( x 2 ? 1 ? 2 ) ? ( x ? )(( x ? ) 2 ? 3) 又∵ x x x x x

例 2:已知 f ( x ? ) ? x3 ?

1 x

| x?

1 1 |?| x | ? ?1 x | x|

∴ f ( x) ? x( x2 ? 3) ? x3 ? 3x ,(| x |≥1) 3.待定系数法:先确定函数类型,设定函数关系式,再由已知条 件,定出关系式中的未知系数。 例 3.已知 f ( x) 二次实函数, 且 f ( x ? 1) ? f ( x ?1) ? x2 +2 x +4,求 f ( x) .

解:设 f ( x) = ax2 ? bx ? c ,则
f ( x ? 1) ? f ( x ?1) ? a( x ? 1)2 ? b( x ? 1) ? c ? a( x ?1)2 ? b( x ?1) ? c

= 2ax2 ? 2bx ? 2(a ? c) ? x2 ? 2x ? 4 比较系数得
?2(a ? c) ? 4 1 3 1 3 ? ? a ? , b ? 1, c ? ∴ f ( x) ? x 2 ? x ? ? 2a ? 1 2 2 2 2 ?2b ? 2 ?

4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析 式. 例 4.已知 y = f ( x) 为奇函数,当 x >0 时, f ( x) ? lg( x ? 1) ,求 f ( x) 解:∵ f ( x) 为奇函数, ∴ f ( x) 的定义域关于原点对称, 故先求 x <0 时的表达式。∵- x >0,∴ f (? x) ? lg(? x ? 1) ? lg(1 ? x) , ∵ f ( x) 为奇函数,∴ lg(1 ? x) ? f (? x) ? ? f ( x) ∴当 x <0 时
?lg(1 ? x), x ? 0 f ( x) ? ? lg(1 ? x) ∴ f ( x) ? ? ?? lg(1 ? x), x ? 0

例 5. 一已知 f ( x) 为偶函数,g ( x) 为奇函数, 且有 f ( x) + g ( x) ? 求 f ( x) , g ( x) .

1 , x ?1

g ( x) 为奇函数, 解: ∵ f ( x) 为偶函数, ∴ f ( ? x ) ? f ( x ) , g ( ? x) ? ? g ( x) ,

不妨用- x 代换 f ( x) + g ( x) = ∴ f (? x) ? g (? x) ?

1 x ?1

???①中的 x ,

1 1 即 f ( x) - g ( x) ? ? ??② ?x ?1 x ?1 1 显见①+②即可消去 g ( x) ,求出函数 f ( x) ? 2 再代入①求出 x ?1 x g ( x) ? 2 x ?1

5.赋值法:给自变量取特殊值,从而发现规律,求出 f ( x) 的表达 式

例 6:设 f ( x) 的定义域为自然数集,且满足条件
f ( x ? 1) ? f ( x) ? f ( y) ? xy ,及 f (1) =1,求 f ( x)

解:∵ f ( x) 的定义域为 N,取 y =1,则有 f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1 ∵ f (1) =1,∴ f (2) = f (1) +2, f (3) ? f (2) ? 3 ?? f (n) ? f (n ?1) ? n 以上各式相加,有 f (n) =1+2+3+??+ n =
f ( x) ? 1 x( x ? 1), x ? N 2 n(n ? 1) ∴ 2

二、利用函数性质,解 f ( x) 的有关问题 1.判断函数的奇偶性: 例 7 已知 f ( x ? y) ? f ( x ? y) ? 2 f ( x) f ( y) ,对一切实数 x 、 y 都成立, 且 f (0) ? 0 ,求证 f ( x) 为偶函数。 证明:令 x =0, 则已知等式变为 f ( y) ? f (? y) ? 2 f (0) f ( y) ??① 在①中令 y =0 则 2 f (0) =2 f (0) ∵ f (0) ≠0∴ f (0) =1∴
f ( y) ? f (? y) ? 2 f ( y) ∴ f (? y) ? f ( y) ∴ f ( x) 为偶函数。

2.确定参数的取值范围 例 8:奇函数 f ( x) 在定义域(-1,1)内递减,求满足
f (1 ? m) ? f (1 ? m2 ) ? 0 的实数 m 的取值范围。

解:由 f (1 ? m) ? f (1 ? m2 ) ? 0 得 f (1 ? m) ? ? f (1 ? m2 ) ,∵ f ( x) 为函数, ∴ f (1 ? m) ? f (m2 ?1)
??1 ? 1 ? m ? 1 ? 又∵ f ( x) 在(-1,1)内递减,∴ ??1 ? m2 ? 1 ? 1 ? 0 ? m ? 1 ?1 ? m ? m 2 ? 1 ?

3.解不定式的有关题目 例 9:如果 f ( x) = ax2 ? bx ? c 对任意的 t 有 f (2 ? t ) ? f 2 ? t ) ,比较
f (1)、f (2)、f (4) 的大小

解: 对任意 t 有 f (2 ? t ) ? f 2 ? t ) ∴ x =2 为抛物线 y = ax2 ? bx ? c 的对称 轴 又∵其开口向上∴ f (2)最小,f (1)= f (3)∵在 [2 , +∞)上,f ( x) 为增函数 ∴ f (3)< f (4),∴ f (2)< f (1)< f (4) 五类抽象函数解法 1、线性函数型抽象函数 线性函数型抽象函数,是由线性函数抽象而得的函数。 例 1、已知函数 f(x)对任意实数 x,y,均有 f(x+y)=f(x) +f(y),且当 x>0 时,f(x)>0,f(-1)=-2,求 f(x)在 区间[-2,1]上的值域。 分析:由题设可知,函数 f(x)是 的抽象函数,因此求

函数 f(x)的值域,关键在于研究它的单调性。 解:设 ∵ ∴ 在条件中,令 y=-x,则 ,即 ,∵当 , ,∴f(x)为增函数。 ,再令 x=y=0,则 f(0) ,∴ ,

=2 f(0),∴ f(0)=0,故 f(-x)=f(x),f(x)为奇函 数, ∴ f(1)=-f(-1)=2,又 f(-2)=2 f(-1)=-4, ∴ f(x)的值域为[-4,2]。

例 2、已知函数 f(x)对任意

,满足条件 f(x)+f(y)=

2 + f(x+y),且当 x>0 时,f(x)>2,f(3)=5,求不等式 的解。 分析:由题设条件可猜测:f(x)是 y=x+2 的抽象函数,且 f(x) 为单调增函数,如果这一猜想正确,也就可以脱去不等式中的函数 符号,从而可求得不等式的解。 解:设 ,∴ ,则 , 即 ,∴f(x)为单调增函数。 ∵ , 又∵f (3)=5,∴f(1)=3。∴ ,∴ , 即 ,∵当

,解得不等式的解为-1 < a < 3。 2、指数函数型抽象函数 例 3、 设函数 f (x) 的定义域是 (-∞, +∞) , 满足条件: 存在 使得 ,对任何 x 和 y, 成立。求: ,

(1)f(0); (2)对任意值 x,判断 f(x)值的正负。 分析:由题设可猜测 f(x)是指数函数 的抽象函数,从而猜想

f(0)=1 且 f(x)>0。
解:(1)令 y=0 代入 。若 f(x)=0,则对任意 这与题设矛盾,∴f(x)≠0,∴f(0)=1。 ,则 ,有 ,∴ ,

(2)令 y=x≠0,则

,又由(1)知 f(x)

≠0,∴f(2x)>0,即 f(x)>0,故对任意 x,f(x)>0 恒成立。 例 4、是否存在函数 f(x),使下列三个条件:①f(x)>0,x ∈

N;②

;③f(2)=4。同时成立?若存在,

求出 f(x)的解析式,如不存在,说明理由。 分析:由题设可猜想存在 猜测存在函数 (1)x=1 时,∵ ,又由 f(2)=4 可得 a=2.故

,用数学归纳法证明如下: ,又∵x ∈N 时, ,结论正确。 时有 ,则 x=k+1 时,

f(x)>0,∴
(2)假设

,∴x=k+1 时,结论正确。 综上所述,x 为一切自然数时 3、对数函数型抽象函数 对数函数型抽象函数,即由对数函数抽象而得到的函数。 例 5、设 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足 ,求: 。

(1)f(1); (2)若 f(x)+f(x-8)≤2,求 x 的取值范围。 分析:由题设可猜测 f(x)是对数函数 =0,f(9)=2。 解:(1)∵ ,∴f(1)=0。 的抽象函数,f(1)

(2) 即

, 从而有 f (x) +f (x-8) ≤f (9) , ,∵f(x)是(0,+∞)上的增函数,故

,解之得:8<x≤9。 例 6、设函数 y=f(x)的反函数是 y=g(x)。如果 f(ab)=f(a) +f(b),那么 g(a+b)=g(a)·g(b)是否正确,试说明理由。 分析: 由题设条件可猜测 y=f(x)是对数函数的抽象函数,又∵y =f(x)的反函数是 y=g(x),∴y=g(x)必为指数函数的抽象 函数,于是猜想 g(a+b)=g(a)·g(b)正确。 解:设 f(a)=m,f(b)=n,由于 g(x)是 f(x)的反函数,∴

g(m)=a,g(n)=b,从而



∴g(m)·g(n)=g(m+n),以 a、b 分别代替上式中的 m、n 即 得 g(a+b)=g(a)·g(b)。 4、三角函数型抽象函数 三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。 例 7、己知函数 f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三条件: ①当 是定义域中的数时,有 ;

②f(a)=-1(a>0,a 是定义域中的一个数); ③当 0<x<2a 时,f(x)<0。 试问:(1)f(x)的奇偶性如何?说明理由。 (2)在(0,4a)上,f(x)的单调性如何?说明理由。

分析: 由题设知 f(x)是

的抽象函数,从而由

及题

设条件猜想:f(x)是奇函数且在(0,4a)上是增函数(这里把 a 看成 进行猜想)。 解:(1)∵f(x)的定义域关于原点对称,且 时有 是定义域中的数

,∴

在定义域中。∵ ,

∴f(x)是奇函数。 (2)设 0<x1<x2<2a,则 0<x2-x1<2a,∵在(0,2a)上 f(x) <0, ∴f(x1),f(x2),f(x2-x1)均小于零,进而知 的 是增函数。 又 , ∵f (a) =-1, ∴ ,



,于是 f(x1)< f(x2),∴在(0,2a)上 f(x)

∴f(2a)=0,设 2a<x<4a,则 0<x-2a<2a, ,于是 f(x)>0,即在(2a,4a) 上f (x) >0。 设 2a<x1<x2<4a, 则 0<x2-x1<2a, 从而知 f (x1) ,

f(x2)均大于零。f(x2-x1)<0,∵
,即

,∴

f(x1)<f(x2),即 f(x)在(2a,4a)上也是增函数。综上所述, f(x)在(0,4a)上是增函数。
5、幂函数型抽象函数 幂函数型抽象函数,即由幂函数抽象而得到的函数。 例 8、已知函数 f(x)对任意实数 x、y 都有 f(xy)=f(x)·f (y),且 f(-1)=1,f(27)=9,当 (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)判断 f(x)在[0,+∞)上的单调性,并给出证明; (3)若 ,求 a 的取值范围。 的抽象函数,从而可猜想 f 时, 。

分析:由题设可知 f(x)是幂函数

(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是增函数。 解:(1)令 y=-1,则 f(-x)=f(x)·f(-1),∵f(-1) =1,∴

f(-x)=f(x),f(x)为偶函数。
(2)设 ∵ 时, ,∴ ,∴ , , ,∴f(x1)<f(x2),故 f(x)

在 0,+∞)上是增函数。 (3)∵f(27)=9,又 ∴ ∵ ,∴ ,∵ ,∴ ,∴ ,又 ,故 , 。 ,

抽象函数常见题型解法综述

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式, 只给出了一些体现函数特 征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问 题成为函数内容的难点之一。 本文就抽象函数常见题型及解法评析如 下: 一、定义域问题 例 1. 已知函数 解: 的定义域是[1,2],求 f(x)的定义域。 ,所以 中的 满足 的定义域是[1,2],是指

从而函数 f(x)的定义域是[1,4] 评析: 一般地, 已知函数 的定义域是 A, 求 f(x)的定义域问题, 相当于已知 中 x 的取值范围为 A,据此求 的值域问题。 例 2. 已知函数 的定义域是 , 求函数 的定义域。 解: 的定义域是 ,意思是凡被 f 作用的对象都在 中, 由此可得 所以函数 的定义域是 评析:这类问题的一般形式是:已知函数 f(x)的定义域是 A,求函数 的定义域。 正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问 题的关键。这类问题实质上相当于已知 的值域 B,且 ,据此 求 x 的取值范围。例 2 和例 1 形式上正相反。 二、求值问题 例 3. 已知定义域为 的函数 f(x),同时满足下列条件:① ;② ,得 ,所以 ,求 f(3),f(9)的值。

解:取 因为 又取

得 评析:通过观察已知与未知的联系,巧妙地赋值,取 样便把已知条件 解此类问题的常用技巧。 三、值域问题

,这

与欲求的 f(3)沟通了起来。 赋值法是

例 4. 设函数 f(x)定义于实数集上,对于任意实数 x、y, 总成立, 且存在 , 使得 , 求函数 的值域。 解:令 ,得 若 ,则 存在实数 , 使得 由于 对任意 ,即有 或 。 ,对任意 均成立,这与 成立矛盾, 故 , 必有 。 均成立,因此,对任意 ,有

下面来证明,对任意 设存在 ,使得 ,则 这与上面已证的 矛盾,因此,对任意 所以 评析:在处理抽象函数的问题时,往往需要对某些变量进行适当的赋 值,这是一般向特殊转化的必要手段。 四、解析式问题 例 5. 设对满足 的所有实数 x,函数 满足 ,求 f(x)的解析式。 解:在 中以 代换其中 x,得:

再在(1)中以

代换 x,得

化简得: 评析:如果把 x 和 分别看作两个变量,怎样实现由两个变量向一 个变量的转化是解题关键。通常情况下,给某些变量适当赋值,使之 在关系中 “消失” , 进而保留一个变量, 是实现这种转化的重要策略。 五、单调性问题 例 6. 设 f(x)定义于实数集上,当 时, ,且对于任意实数 x、y,有 ,求证: 在 R 上为增函数。 证明:在 中取 ,得

若 ,令 所以 ,即有 当 时, 而

,则 ;当 时,

,与

矛盾

所以 又当 时, 所以对任意 ,恒有 设 ,则 所以 所以 在 R 上为增函数。 评析:一般地,抽象函数所满足的关系式,应看作给定的运算法则, 则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给 关系式及所求的结果相关联。 六、奇偶性问题 例 7. 已知函数 对任意不等于零的实数 都有 ,试判断函数 f(x)的奇偶性。 解:取 得: ,所以 又取 得: ,所以 再取 则 ,即 因为 为非零函数,所以 为偶函数。 七、对称性问题 例 8. 已知函数 满足 ,求 的值。 解:已知式即在对称关系式 中取 , 所以函数 的图象关于点(0,2002)对称。根据原函数与其反 函数的关系,知函数 所以 将上式中的 x 用 代换,得 评析:这是同一个函数图象关于点成中心对称问题,在解题中使用了 下述命题:设 a、b 均为常数,函数 对一切实数 x 都满足 ,则函数 的图象关于点(a,b)成中心对 称图形。 八、网络综合问题 的图象关于点(2002,0)对称。

例 9. 定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意实数 m,n,总有 ,且当 x>0 时,0<f(x)<1。 (1)判断 f(x)的单调性; (2)设 解:(1)在 因为 ,所以 在 因为当 时, 所以当 时 而 , , 若 中,令 。 中,令 , 试确定 a 的取值范围。 ,得 ,

所以 又当 x=0 时, , 所以, 综上可知, 对于任意 设 ,则 所以 所以 在 R 上为减函数。 (2)由于函数 y=f(x)在 R 上为减函数,所以 即有 又 由 ,所以直线 ,根据函数的单调性,有 与圆面

, 均有



无公共点。因此

有 ,解得 。 评析:(1)要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题:一是 f(0)的 取值问题,二是 f(x)>0 的结论。这是解题的关键性步骤,完成这些 要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想,联想类比思维都 有助于问题的思考和解决。


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