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2017年浙江省重点高中自主招生数学试卷及答案


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2017 年浙江省重点高中自主招生考试数 学 试 题 卷
本次考试不能使用计算器,没有近似计算要求的保留准确值. 一、选择题(本题有 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。每小题只有一个选项是正确的,不 选,多选,错选,均不给分)21 教育网 1.“红灯停,绿灯行”是我们在日常生活中必须遵守的交通规则.小刚每天从家骑自行车上 学都经过两个路口,且每个路口只安装了红灯和绿灯,假如每个路口红灯和绿灯亮的时间 相同,那么小刚从家随时出发去学校,他遇到一次红灯一次绿灯的概率是( ▲ ) A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

2.若关于 x 的一元一次不等式组 ? A. m ? 2 ( ▲ ) A. y ? ?2 x ? 3 B. m ? 2

?1 ? x ? 2 有解,则 m 的取值范围为( ▲ ) ?x ? m
C. m ? 1 D. 1 ? m ? 2

3.点 M( ? 2 , a ),N( ? 4 , b )是所给函数图像上的点,则能使 a ? b 成立的函数是

B. y ? ?2( x ? 3) ? 4
2

C. y ? 3( x ? 2) ? 1
2

D. y ? ?

2 x

4.据报道,日本福岛核电站发生泄漏事故后,在我市环境空气中检测出一种微量的放射性 核素“碘-131”, 含量为每立方米 0.4 毫贝克(这种元素的半衰期是 8 天, 即每 8 天含量减少一 半,如 8 天后减少到 0.2 毫贝克),那么要使含量降至每立方米 0.0004 毫贝克以下,下列天 数中,能达到目标的最少的天数是( ▲ )www.21-cn-jy.com A.64 B.71 C.82
3

D.104
2 1 0

5.十进制数 2378,记作 2378 (10) ,其实 2378 (10) = 2 ? 10 ? 3 ? 10 ? 7 ? 10 ? 8 ? 10 ,
3 2 1 0 二进制数 1001 ( 2) = 1? 2 ? 0 ? 2 ? 0 ? 2 ? 1? 2 .有一个( 0 ? k ? 10 为整数)进制数

165(k ) ,把它的三个数字顺序颠倒得到的 k 进制数 561(k ) 是原数的 3 倍,则 k =( ▲ )
A.10 B.9 C .8 D. 7 6.正方形 ABCD、正方形 BEFG 和正方形 PKRF 的位 置如图所示,点 G 在线段 DK 上,正方形 BEFG 的边长 为 2,则△DEK 的面积为( A.4 B.3 ▲ )2-1-c-n-j-y C.2 D. 2

7.如图,在 Rt△ABC 中,AC=3,BC=4,D 为斜边 AB 深圳市二一教育股份有限公司 版权所有@21 世纪教育网

中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站 上一动点, DE⊥BC, DF⊥AC, 垂足分别为 E、 F。 当线段 EF 最小时,cos ?EFD ?( ▲ ) A.

4 5

B.

3 5

C.

3 4

D.

7 4

8.二次函数 y ? x 2 ? bx ? 1的图象如图,对称轴为直线 x ? 1 ,若关于 x 的一元二次方程

x 2 ? 2 x ? 1 ? t ? 0(t 为实数)在 ?1 ? x ? 4 的范围内有实数解,则 t 的取值范围是( ▲ )
【版权所有:21 教育】

A. t ? ?2

B. ?2 ? t ? 7

C. ?2 ? t ? 2

D. 2 ? t ? 7 D

. O A (第 8 题) (第 9 题) (第 10 题)

C B

9.已知,在△ABC 中,D 是 BC 边上一点,∠ABC=30° ,∠ADC=45° . 若 D 是 BC 边的中点, 则∠ACB 的度数为( A. 95
?

▲ )21 教育名师原创作品
?

B. 100

C. 105
?

?

D. 110
?

? ?

10. 如图, 在圆内接四边形 ABCD 中, ∠A= 52 , ∠B = 98 , ∠AOB= 120 , AB= a , BC= b , CD= c ,DA= d ,则此四边形的面积为( 示) A. (ab ? cd ) ▲ )(用含 a , b , c , d 的代数式表

1 2

B. (ac ? bd )

1 2

C. (ad ? bc)

1 2

D.

1 (ab ? bc ? cd ? ad ) 4

二、填空题(本题有 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 11. 已知 a 是 64 的立方根,2b ? 3 是 a 的平方根, 则

11 a ? 4b 的算术平方根为 4





12.直线 l : y ? kx ? 5k ? 12 (k ? 0) ,当 k 变化时,原点到这条直线的距离的 最大值为 ▲ . 13.如图,在“镖形”ABCD 中,AB= 8 3 ,BC=16,∠A=∠B=∠C= 30 , 则点 D 到 AB 的距离为 14.已知实数 a , b 满足 5
a ?1
?



.21 世纪教育网版权所有 ▲ .

1 1 ? 403 , 403b ? 2015 ,则 ? ? a b

15.AB 为半圆 O 的直径,C 为半圆弧的一个三等分点,过 B,C 两点的半圆 O 的切线交于 深圳市二一教育股份有限公司 版权所有@21 世纪教育网

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点 P,则

PA = PC



.21· cn· jy· com

16.如图,矩形 ABCD 的边长 AD=3,AB=2,E 为 AB 中点, F 在线段 BC 上,且 N.则 MN=

BF 1 ? ,AF 分别与 DE、DB 交于点 M、 FC 2

21*cnjy*com



三、解答题(本题有 8 小题,第 17 题 6 分,第 18~20 题每题 8 分,第 21~23 题每题 12 分, 第 24 题 14 分,满分 80 分) 17.市种子培育基地用 A,B,C 三种型号的甜玉米种子共 1500 粒进行发芽试验,从中选 出发芽率高的种子进行推广.如图是根据试验数据绘制的统计图:

(1)请你分别计算 A,B,C 三种型号的种子粒数; (2)请通过计算加以说明,应选哪种型号的种子进行推广? 18.若实数 a、 b 满足 (1)求

1 1 2 ? ? . a b a?b

ab a 2 (1 ? ) ?2 的值; (2)求证: 2 b a ?b
2

19.某位市民想为贫困山区的孩子们献一份爱心,准备购买一批书包捐赠给他们.经调查 有这样的一批书包,原售价为每只 220 元.甲商店用如下方法优惠出售:买一只单价为 218 元,买两只每只都为 216 元,依次类推,即每多买一只,则所买每只书包的单价均再减 2 元,但最低不能低于每只 116 元;乙商店一律按原售价的 75%出售. (1)若这位市民需购买 20 只书包,应去哪家商店购买花费较少? (2)若此人恰好花费 6000 元,在同一家商店购买了一定数量的书 包,请问是在哪家商店购买的?数量是多少?2· 1· c· n· j· y 20.如图,在△ABC 中,∠BAC= 60 , D 是 AB 上一点,AC=BD, P 是 CD 中点。求证:AP=
?

A D

C

P

1 BC。【来源:21·世纪·教育·网】 2
(第 20 题) 版权所有@21 世纪教育网

B

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21. 已知二次函数 y ? ?

1 2 13 x ? 在 a ? x ? b( a ? b ) 时的最小值为 2 a , 最大值为 2b . 求 2 2
?

a , b 的值。
22.如图,Rt△ABC 中,∠BAC= 90 ,AD 是高,P 为 AD 的中点, BP 的延长线交 AC 于 E, EF⊥BC 于点 F。 若 AE=3, EC=12,试求 EF、BC 的长。【出处:21 教育名师】

(第 22 题) 23.如图①,AB 是⊙O 的直径,CD 为弦,且 AB⊥CD 于 E,点 M 为 ? ACB 上一动点(不 包括 A,B 两点),射线 AM 与射线 EC 交于点 F. (1)如图②,当F在EC的延长线上时,求证:∠AMD=∠FMC. (2)已知,BE=2,CD=8. ①求⊙O的半径; ②若△CMF为等腰三角形,求AM的长(结果保留根号).

24.一只青蛙,位于数轴上的点 ak ,跳动一次后到达 a k ?1 ,且 ak ?1 ? ak ? 1( k 为任意正整 数),青蛙从 a1 开始,经过 (n ? 1) 次跳动的位置依次为 a1 , a2 , a3 ,……, an . (1)写出一种跳动 4 次的情况,使 a1 ? a5 ? 0 ,且 a1 ? a2 ? ? ? a5 ? 0 ; (2)若 a1 ? 7 , a2016 ? 2020 ,求 a2000 ; (3)对于整数 n(n ? 2) ,如果存在一种跳动 (n ? 1) 次的情形,能同时满足如下两个条件: ① a1 ? 2 ,② a1 + a2 + a3 + ? ? a n =2. 求整数 n 被 4 除的余数. 深圳市二一教育股份有限公司 版权所有@21 世纪教育网

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初中学科综合知识竞赛
数学试题参考答案及评分
一、选择题(本题有 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。每小题只有一个选项是正确的,不 选,多选,错选,均不给分)www-2-1-cnjy-com 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 C 5 D 6 A 7 B 8 B 9 C 10 B

二、填空题(本题有 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 题号 答案 11 1或3 12 13 13 2 1 14 15 16

21 或 13 3

9 5 28

说明:第 14 题第一空 2 分,第 2 空 3 分 三、解答题(本题有 8 小题,第 17 题 6 分,第 18~20 题每题 8 分,第 21~23 题每题 12 分, 第 24 题 14 分,满分 80 分) 【来源:21cnj*y.co*m】 17.(本题 6 分) 解:(1)A 型号种子数为:1500× 36%=540(粒),----------------------------------------- 1 分 B 型号种子数为:1500× 24%=360(粒), ------------------------------ 2 分 C 型号种子数为:1500× (1-36%-24%)=600(粒),-------------------3 分 答: A 、 B 、 C 三种型号的种子分别有 540 粒,360 粒,600 粒 . (2)A 型号种子发芽率=

420 × 100%≈77.8%.----------------------------------- 4 分 540 320 B 型号种子发芽率= × 100%≈88.9%.---------------------------------- 5 分 360 480 C 型号种子发芽率= × 100%=80%. 600
∴选 B 型号种子进行推广. ------------------------------------------- 6 分

18.(本题 8 分) 解:(1)由

1 1 2 a?b 2 ? ? ? 得, ……① --------------------2 分 a b a?b ab a?b
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ab 1 ab 1 ? ? ,即 2 2 2 a ?b (a ? b)(a ? b) 2

------------------------- 4 分

(2)由①得, (a ? b)(a ? b) ? 2ab , ∴ a 2 ? b 2 ? 2ab ,--------------6 分 又由题意得, b ? 0 ,
2 ∴两边同除以 b 2 得, ( ) ? 2 ?

a b

a a a ? 1 ,∴ ( ) 2 ? 2 ? ? 1 ? 2 , b b b

∴(

a a 2 ? 1) 2 ? 2 ,即 (1 ? ) ?2 b b

------------------------- 8 分

19.(本题 8 分) 解:(1)在甲商店购买所需费用: 20 ? (220 ? 20 ? 2) ? 3600 (元) 在乙商店购买所需费用: 75% ? 220 ? 20 ? 3300 ? 3600 ,应去乙商店购买 ----2 分 (2)设此人买 x 只书包 ①若此人是在甲商店购买的 则 x(220 ? 2 x) ? 6000 ,解得 x1 ? 50, x2 ? 60 ---------------------------------------4 分 当 x ? 50 时,每只书包单价为 220 ? 50 ? 2 ? 120 ? 116 当 x ? 60 时,每只书包单价为 220 ? 60 ? 2 ? 110 ? 116 不合舍去----------------6 分 ②若此人在乙商店购买磁,则有 165 x ? 6000 ,解得 x ? 36 分 故此人是在甲商店购买书包,买了 50 只-------------------------------------------------8 分 20.(本题 8 分) 证明:延长 AP 至点 F,使得 PF = AP,连结 BF,DF,CF--------------------------1 分 A ? P 是 CD 中点 ∴四边形 ACFD 是平行四边形,--------------------------------------------2 分 D ∴DF=AC=BF, P C DF∥AC,----------------------------------------------------------------4 分 ∴∠FDA=CAB=60° -------------------------------------------------------5 分 F B ∴△BDF 是等边三角形-------------------------------------------------6 分 (第 20 题) 深圳市二一教育股份有限公司 版权所有@21 世纪教育网

4 不合舍去 --------7 11

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可证△ABC≌△BAF ----------------------------------------------------7 分 21cnjy.com ∴AP=

1 1 AF= BC------------------------------------------------------8 分 21·世纪*教育网 2 2

21.(本题 12 分)

1 13 ? 2b ? ? a 2 ? ? ?a ? 1 ? 2 2 解:(1)当 0 ? a ? b 时,则 ? ,解得 ? ;------------------3 分 ?b ? 3 ? 2a ? ? 1 b 2 ? 13 ? ? 2 2 39 13 ? ? a? 2b ? ? ? a?b ? ? 64 2 ( 2 )当 a ? 0 ? 时,则 ? ,解得 ? (矛盾,舍去) ----6 1 13 2 13 ? 2a ? ? b 2 ? ?b ? ? ? ? 2 2 ? 4


13 ? ?a ? ?2 ? 17 2b ? ? a?b ? ? 2 ? 0 ? b 时,则 ? (3)当 ,解得 ? , 13 2 ? 2a ? ? 1 a 2 ? 13 ?b ? ? 4 ? ? 2 2
a?b ? 0 ? b ,得 由 2

?a ? ?2 ? 17 ? ---------------------------------------------------9 分 ? 13 b ? ? ? 4

1 13 ? 2a ? ? a 2 ? ? ? 2 2 ( 4 ) 当 a?b?0 时 , ? , 所 以 a, b 是 一 元 二 次 方 程 ? 2b ? ? 1 b 2 ? 13 ? ? 2 2
1 2 13 x ? 2 x ? ? 0 的两根,它的两根一正一负,与 a ? b ? 0 矛盾,不可能。 2 2 13 综上所述: a ? 1, b ? 3 或 a ? ?2 ? 17 , b ? -------------------------------12 分 4
22.(本题 12 分) 解:延长 BA、FE 交于点 G, ? AD 是高,EF⊥BC ? AD∥EF 深圳市二一教育股份有限公司 版权所有@21 世纪教育网

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? △BAP∽△BGE,△BPD∽△BEF----------------------------------2 分 AP BP PD ? ? ----------------------------------------------------3 分 ? EG BE EF ? P 为 AD 的中点,即 AP=PD ? EG=EF---------------------------------------------------------------6 分 21*cnjy*com ? ∠GAE=∠EFC= 90? ,又∠GEA=∠FEC ? △GAE∽△CFE-------------------------------------------------------7 分 EF EC ? ? AE EG ? EF ? AE?EC ? 36
2

G A E P B D F

(第 22 题)

? EF=6--------------------------------------------------------------------9 分 1 ? EF= EC ,∠EFC= 90? 2 ? ∠C= 30? ? BC=
2 3 AC = 10 3 ----------------------------------------------12 分 3

23.(本题 12 分) (1)证法一:连结 BM ? AB 是直径,AB⊥CD 于 E

)(图② )

? ? DB ? -----------------------------------2 分 ? ∠AMB= 90? , CB
? ∠CMB=∠DMB ? ∠AMD=∠FMC.----------------------------------------------------------------4 分
证法二:连结 AD ? AB 是直径,AB⊥CD 于 E

? ? DA ? ? CA
? ∠AMD=∠ADC--------------------------------------------2 分 ? 四边形 ADCM 内接于⊙O ? ∠ADC+∠AMC= 180? ? ∠AMC+∠FMC= 180?
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? ∠FMC=∠ADC ? ∠AMD=∠FMC.----------------------------------------------------------------4 分
(2)①设⊙O的半径为 r ,连结OC

? BE=2,CD=8 ? OE= r ? 2 ,CE=4 ? r 2 ? (r ? 2)2 ? 42 ----------------------------------------------------------------6 分
解得: r ? 5 -------------------------------------------------------------------------7 分 ②由(1)知:∠AMD=∠FMC 同理可得:∠MAD=∠FCM MC ? ∠MDA=∠MFC 当 FM=MC 时,AM=MD G 如图①,连结 MO 并延长交 AD 于 H . A B O E H 则 AH⊥AD,AH=HD=2 5 ,AO=5 D

? OH= 5

(图①)

? AM= (2 5) 2 ? (5 ? 5) 2 = 50 ? 10 5 ----------------------------------9 分
当 FM=FC 时,连结 DO 并延长交 AM 于 G 此时△AOG≌△DEO

? AG=DE=4 ? AM=8----------------------------------------------------------------------------------11 分
当 MC=FC 时,AM=AD=AC= 4 5 ,此时 M、F 均与 C 重合 △CMF 不存在---------------------------------------------------------------------------12 分 综上所述:AM=8 或 50 ? 10 5 24.(本题 14 分) 解:(1)这样的跳动之一是:0,1,2,1,0(也可以是 0,1,0,1,0)-----------2 分 (2)从 a1 经 2013 步到达 a2014 ,不妨设向右跳了 x 步,向左跳了 y 步, 则?

? x ? y ? 2015 ,------------------------------------------------------5 分 ?7 ? x ? y ? 2020
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解得: ?

? x ? 2014 -----------------------------------------------------------6 分 ?y ?1

即 向 左 跳 动 仅 一 次 , 若 这 次 跳 动 在 1999 次 及 以 前 , 则 a2 0 0 0=7+1998-1=2004 ; --------------------------------------------7 分 若这次跳动在 1999 次后,则 a2000 =7+1999=2006--------------------------------------------------8 分 (3)因为这个 (n ? 1) 次跳动的情形,能同时满足如下两个条件: ① a1 ? 2 ,② a1 + a2 + a3 + ? ? a n =2. 经过 (k ? 1) 步跳动到达 ak ,假设这 (k ? 1) 步中向右跳了 xk 步,向左跳了 y k 步, 则 ak ? 2 ? xk ? y k , xk ? yk ? k ? 1 ( k ? 2 的正整数)--------------------9 分

? a1 + a2 + a3 + ? ? a n =2 n +( x 2 ? y 2 )+( x3 ? y3 )+ ? ? ( xn ? y n )
=2 n +2( x2 ? x3 ? x4 ? ? ? xn ) ? [(x2 ? y2 ) ? ( x3 ? y3 ) ? ? ? ( xn ? yn )] =2 n +2( x2 ? x3 ? x4 ? ? ? xn ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1) =2 n +2( x2 ? x3 ? x4 ? ? ? xn ) ?

n( n ? 1) 2

? 2( a1 + a2 + a3 + ? ? a n )= 4n +4( x2 ? x3 ? x4 ? ? ? xn ) ? n(n ? 1)
2 2( a1 + a2 + a3 + ? ? a n )= ? n ? 5n +4( x2 ? x3 ? x4 ? ? ? xn )

? n 2 ? 5n ? 4( a1 + a2 + a3 + ? ? an ) ? 4 ? n(n ? 5) ? 4( a1 + a2 + a3 + ? ? an ) ? 4 -------------------------------------------------11 分

? n(n ? 5) 能被 4 整除,所以 n 被 4 除的余数为 0 或 1---------------------------------14 分

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