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2014山东淄博高考文科数学一模试题及答案


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2014 山东淄博高考文科数学一模试题及答案(附答案)
本试卷,分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共 4 页,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科 类填写在答题卡和试卷规定的位置上。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应的位置;如需改动, 先划掉原来的答案,然后再写上新的答案; 不能使用涂改液、 胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第Ⅰ卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x | 0 ? x ? 2} , B ? {x | ( x ? 1)( x ? 1) ? 0} ,则 A A. ? 0, 1? B. ?1, 2? C. (??, ?1)

B?

(0, ??)

D. (??, ?1)

(1, ??)

2.在复平面内,复数

2?i 对应的点位于 i
C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限 B.第二象限 3.已知 tan ? =2 ,那么 sin 2? 的值是 A. ?

4 5

B.

4 5

C. ?

3 5

D.

3 5

4.在等差数列 ?an ? 中,已知 a3 ? a8 ? 10 ,则 3a5 ? a7 = A.10 B.18 C.20 D.28 5.执行如图所示的程序框图,若输入的 x 的值为 2 ,则输出的 x 的值为 A.3 B.126 C.127 D.128

1

6.设 a ? 1 , b ? 0 ,若 a ? b ? 2 ,则 A. 3 ? 2 2 B.6

1 2 ? 的最小值为 a ?1 b
D. 2 2

C. 4 2

7.把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,形成的三棱锥 A ? BCD 的正视图 与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为 A.

2 2 2 4

B.

1 2 1 4

C.

D.

8.下列说法正确 的是 .. A. “ p ? q 为真”是“ p ? q 为真”的充分不必要条件;

? ? 2 ? 1.5x ,则变量 x 每增加一个单位, y ? 平均减 B.设有一个回归直线方程为 y
少 1.5 个单位; C.若 a, b ??0,1? ,则不等式 a ? b ?
2 2

1 ? 成立的概率是 ; 4 4

D.已知空间直线 a, b, c ,若 a ? b , b ? c ,则 a //c .
2 9. 过抛物线 y ? 4 x 焦点 F 的直线交其于 A ,B 两点,O 为坐标原点. 若 | AF |? 3 ,

则 ?AOB 的面积为 A.
2 2

B. 2

C.

3 2 2

D.2 2

10 .若函数 f ( x ) 的导函数在区间 ? a, b ? 上的图像关于直线 x ?

a?b 对称,则函数 2

y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象可能是

A.①④

B.②④

C.②③

D.③④

2

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.已知函数 f ( x ) 为奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? log 2 x ,则满足不等式 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是 .

? x? y ?5 ? 0 ? x ? 2 y ?1 ? 0 12.已知变量 x, y 满足约束条件 ? ,则 z ? x ? 2 y 的最大值是 ? x ?1 ? 0 ?
0



13.已知向量 a 、 b 的夹角为 60 ,且 | a |? 2 ,| b |? 1 ,则向量 a 与向量 a ? 2b 的夹 角等于 . 14. 已知点 A? ?2,0? , B ? 0, 2? , 若点 C 是圆 x2 ? 2 x ? y 2 ? 0 上的动点, 则 △ABC 面 积的最小值为 . 15.对于大于 1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:
?13 ?7 ? 3 3 ? .仿此,若 m 的“分裂数”中有一个是 2015, ? ?15 23 ? ? ,33 ? ?9 , 43 ? ? , …… ?5 ?11 ?17 ? ? ?19

则 m? . 三、解答题:本大题 6 小题,共 75 分 16. (本题满分 12 分) 已知向量 a ? ? sin

? ?

x x ? ? x 1? ? , ? ,b ? ( 3 cos ? sin ,1) ,函数 f ( x) ? a ? b , ?ABC 2 2 2 2?

三个内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c . (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)若 f ( B ? C ) ? 1, a ? 3, b ? 1 ,求 ?ABC 的面积 S . 17. (本题满分 12 分) 在如图所示的几何体中,四边形 BB1C1C 是矩形, BB1 ? 平面 ABC , CA ? CB ,

A1B1 ∥ AB ,AB ? 2 A1B1 ,E ,F 分别是 AB ,AC1
的中点. (Ⅰ)求证: EF ∥平面 BB1C1C ; (Ⅱ)求证: C1 A1 ? 平面 ABB1 A 1.
3

18. (本题满分 12 分) 参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩分析的茎叶图和频率分布直方图均受到 不同程度的破坏,但可见部分信息如下,据此解答如下问题: (Ⅰ)求参加数学抽测的人数 n 、抽测成绩的中位数及分数分别在 ?80,90? ,

?90,100? 内的人数; (Ⅱ) 若从分数在 ?80,100? 内的学生
中任选两人进行调研谈话,求恰好有 一人分数在 ?90,100? 内的概率. 19.(本题满分 12 分) 在数列 ?an ? 中, a1 ? ?

1 , 2an ? an?1 ? n ?1 (n ? 2, n ? N * ) ,设 bn ? an ? n . 2

(Ⅰ)证明:数列 ?bn ? 是等比数列; (Ⅱ)求数列 ?nbn ? 的前 n 项和 Tn ;

? cn 2 ? cn ? 1 ? 1 n (Ⅲ)若 cn ? ( ) ? an , P ? 的前 n 项和,求不超过 P2014 的最 n 为数列 ? 2 2 ? cn ? cn ?
大的整数. 20. (本题满分 13 分)

x2 y 2 1 已 知 椭 圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 , 右 焦 点 F2 到 直 线 a b 2
3 l1 : 3x ? 4 y ? 0 的距离为 . 5
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 过椭圆右焦点 F2 斜率为 k ( k ? 0 ) 的直线 l 与椭圆 C 相交于 E、F 两点,A 为椭圆的右顶点, 直线 AE,AF 分别交直线 x ? 3 于点 M ,N , 线段 MN 的中点为

P ,记直线 PF2 的斜率为 k ? ,求证: k ? k ? 为定值.
21. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x , g ( x) ? ? x ? ax ? 2 ( e ? 2.71 , a ? R ) .
2

(Ⅰ)判断曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线与曲线 y ? g ( x) 的公共点个数; (Ⅱ)当 x ? ? , e ? 时,若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 有两个零点,求 a 的取值范围. e
4

?1 ?

? ?

一模数学试题参考答案及评分说明 2014.3
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.B 2.D 3.B 4.C 5.C 6.A 7.D 8.B 9.C 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (文科) (?1, 0) 14. (文科) 3 ? 2 10.D

(1, ??)

12. 9

13. (文科)

15. (文科)45

π (或 30 0 ) 6

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 16. (文科 本题满分 12 分)解: (Ⅰ)由题意得

x x x 1 f ( x) ? a ? b ? sin ( 3 cos ? sin ) ? 2 2 2 2 x x x 1 ? 3 sin cos ? sin 2 ? 2 2 2 2
=

π 3 1 ? cos x 1 3 1 sin x ? ? = sin x ? cos x ? sin( x ? ) ,????3 分 6 2 2 2 2 2

令 2kπ ?

π π π ( k ? Z) ? x ? ? 2kπ ? 2 6 2 2π π ? x ? 2kπ ? 3 3

解得 2kπ ?

( k ? Z)
? ? 2π π? , 2kπ ? ? ( k ? Z) .??????6 分 3 3?

所以函数 f ( x ) 的单调增区间为 ? 2kπ ?

π (Ⅱ) 解法一:因为 f ( B ? C ) ? 1, 所以 sin( B ? C ? ) ? 1 , 6 π π 7π 又 B ? C ? (0, π) , B ? C ? ? ( , ) , 6 6 6
所以 B ? C ?

π π π 2π ? , B ? C ? ,所以 A ? , 6 2 3 3

??????????8 分 ????10 分

由正弦定理

a b 1 ? 把 a ? 3, b ? 1 代入,得到 sin B ? 2 sin A sin B
5

得B ?

?
6

或者 B ?

5? 2? 5? ,因为 A ? 为钝角,所以 B ? 舍去 6 3 6

所以 B ?

π π ,得 C ? . 6 6

所以, ?ABC 的面积 S ? 解法二:同上(略) A ?

1 1 1 3 . ????????12 分 ab sin C ? ? 3 ?1? ? 2 2 2 4
2π , 3
??????????8 分

由余弦定理, a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ,得 3 ? 1 ? c 2 ? c , c ? 1 或 ?3 (舍去)10 分 所以, ?ABC 的面积 S ? 17. (文科

1 1 3 3 . ????????12 分 bc sin A ? ?1?1? ? 2 2 2 4

本题满分 12 分)

证明: (Ⅰ)连接 BC1 ,因为 E 、 F 分别是 AB , AC1 的中点,所以 EF ∥ BC1 .?????????2 分 又因为 EF ? 平面 BB1C1C , BC1 ? 平面 BB1C1C , 所以 EF ∥平面 BB1C1C .????4 分

CE .因为 BB1 ? 平面 ABC , BB1 ? 平面 A1 ABB1 , (Ⅱ)连结 A 1E ,
所以 平面 A 1 ABB 1 ? 平面 ABC 所以 CE ? 平面 A 1 ABB 1. 因为 B1 A1 ∥ BA , B1 A1 ? ????????????????6 分 因为 CA ? CB , E 是 AB 的中点, 所以 CE ? AB ????????????????8 分

1 BA=BE 2
????????10 分

所以 四边形 A1 EBB1 为平行四边形,所以 BB1 / / A 1E . 又 BB1 / /CC1 ,所以 A 1E / /CC1

所以 四边形 A 1ECC1 为平行四边形, ???????12 分

则 C1 A1 ∥ CE . 所以 C1 A1 ? 平面 ABB1 A 1. 18. (文科 本题满分 12 分)

解: (Ⅰ) 分数在 ?50,60? 内的频数为 2, 由频率分布直方图可以看出, 分数在 ?90,100?
6

内同样有 2 人. 由

?????????????????2 分,

2 ? 10 ? 0.008 , 得 n ? 25 , ?????????????????3 分 n
?????????????4 分

茎叶图可知抽测成绩的中位数为 73 .

? 分数在 ?80,90? 之间的人数为 25 ? ? 2 ? 7 ? 10 ? 2? ? 4 ????????5 分
别为 4 人、 2 人. ???????????????6 分

参加数学竞赛人数 n ? 25 ,中位数为 73,分数在 ?80,90? 、 ?90,100? 内的人数分

(Ⅱ)设“在 ?80,100? 内的学生中任选两人,恰好有一人分数在 ?90,100? 内”为事件

M ,
在 ?80,100? 内 的 任 取 两 人 的 基 本 事 件 为 : ab,ac, ad ,aA,aB, bc,bd , 将 ?80,90? 内的 4 人编号为 a,b,c,d ; ?90,100? 内的 2 人编号为 A,B

bA,bB, cd ,cA,cB,dA,dB,AB 共 15 个????????????????9 分
其中,恰好有一人分数在 ?90,100? 内的基本事件有 aA,aB, bA,bB, cA, cB,dA,

dB ,共 8 个
故所求的概率得 P ? M ? =

8 15 8 15

?????????11 分

答:恰好有一人分数在 ?90,100? 内的概率为

?????????12 分

19.(文科 本题满分 12 分)
解证: (Ⅰ)由 2an ? an?1 ? n ?1 两边加 2 n 得, 2(an ? n) ? an?1 ? n ?1 ??2 分 所以

b an ? n 1 1 ? , 即 n ? ,数列 ?bn ? 是公比为 2 的等比数列?3 分 bn ?1 2 an?1 ? (n ? 1) 2

1 1 1 ? 1 ? ,所以 bn ? ( ) n ??????????4 分 2 2 2 1 n n (Ⅱ) nbn ? n ? ( ) ? n ??????????????5 分 2 2 1 2 3 4 n ?1 n ① Tn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? L ? n ?1 ? n 2 2 2 2 2 2 1 1 2 3 4 n ?1 n ② Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? L ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2
其首项为 b1 ? a1 ? 1 ? ?

7

①-②得 Tn ?

1 2

1 1 1 1 ? ? ? ? 2 2 2 23 2 4

?

1 n 1 n ? n ?1 ? 1 ? n ? n ?1 n 2 2 2 2

n?2 ??????????????????8 分 2n 1 n (Ⅲ)由(Ⅰ)得 an ? ( ) ? n ,所以 cn ? n 2
所以

Tn ? 2 ?

cn 2 ? cn ? 1 n2 ? n ? 1 1 1 1 ? 2 ? 1? ? 1? ? 2 cn ? cn n ?n n(n ? 1) n n ?1
1 1 1 1 1 1 P2014 ? (1 ? ? ) ? (1 ? ? ) ? (1 ? ? ) ? 1 2 2 3 3 4 1 ? 2015 ? 2015 ? (1 ?

?????10 分

1 1 ? ) 2014 2015

2014 .????????????12 分 所以不超过 P 2014 的最大的整数是
20. (文科 本题满分 13 分) 解证: (Ⅰ)由题意得 e ?

c 1 3c ? , ? 1 ,???????????2 分 2 a 2 3 ? 42

x2 y2 a ? 2 ? ? 1 . ???????? 4 分 所以 c ? 1 , ,所求椭圆方程为 4 3
(Ⅱ)设过点 P ?1,0 ? 的直线 l 方程为: y ? k ( x ? 1) , 设点 E ( x1 , y1 ) ,点 F ( x2 , y 2 ) 将直线 l 方程 y ? k ( x ? 1) 代入椭圆 C :
2 2 2 2

?????????????5 分

x2 y2 ? ?1 4 3

整理得: (4k ? 3) x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 ????????????? 6 分 因为点 P 在椭圆内,所以直线 l 和椭圆都相交, ? ? 0 恒成立, 且 x1 ? x 2 ?

8k 2 4k 2 ? 3

x1 ? x 2 ?

4k 2 ? 12 4k 2 ? 3

??????????7 分

直线 AE 的方程为: y ?

y1 y2 ( x ? 2) ,直线 AF 的方程为: y ? ( x ? 2) x1 ? 2 x2 ? 2
8

令 x ? 3 ,得点 M ? 3,

? ?

? y1 ? y2 ? ? , N ? 3, ?, x1 ? 2 ? x ? 2 ? 2 ?
????????????? 9 分

所以点 P 的坐标 ? 3, ? ?

? ?

y ?? 1 ? y1 ? 2 ?? 2 ? x1 ? 2 x2 ? 2 ? ? ?

y2 1 y1 ( ? )?0 2 x1 ? 2 x2 ? 2 y2 1 y 直线 PF2 的斜率为 k ' ? ? ( 1 ? ) 3 ?1 4 x1 ? 2 x2 ? 2

?

1 y 2 x1 ? x2 y1 ? 2( y1 ? y 2 ) 1 2kx1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 4k ? ? ??? 11 分 4 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 4 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4
8k 2 4k 2 ? 12 , x x ? 代入上式得: 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

将 x1 ? x 2 ?

4k 2 ? 12 8k 2 ? 3 k ? ? 4k 2 2 1 3 4 k ? 3 4 k ? 3 k'? ? ?? 2 2 4k ? 12 8k 4 4k ?2 2 ?4 2 4k ? 3 4k ? 3 3 所以 k ? k ' 为定值 ? ????????????? 13 分 4 2k ?
21. (文科 本题满分 14 分) 解: (Ⅰ) f ?( x) ? ln x ? 1 ,所以斜率 k ? f ?(1) ? 1 ??????????2 分 又 f (1) ? 0 ,曲线在点(1, 0 )处的切线方程为 y ? x ? 1 ????3 分 由?

? y ? ? x 2 ? ax ? 2 ? y ? x ?1
2 2

? x 2 ? (1 ? a) x ? 1 ? 0

????????4 分

由△= (1 ? a) ? 4 ? a ? 2a ? 3 可知: 当△> 0 时,即 a ? ?1 或 a ? 3 时,有两个公共点; 当△= 0 时,即 a ? ?1 或 a ? 3 时,有一个公共点; 当△< 0 时,即 ? 1 ? a ? 3 时,没有公共点 (Ⅱ) y ? f ( x) ? g ( x) = x 2 ? ax ? 2 ? x ln x , 由 y ? 0得a ? x ? 令 h( x ) ? x ?

????????7 分

2 ( x ? 1)( x ? 2) ? ln x ,则 h?( x) ? x x2
9

2 ? ln x x

????????8 分

当 x ? ? , e ? ,由 e

?1 ?

? ?

h?( x) ? 0 得 x ? 1

???????10 分

所以, h( x) 在 ? ,1? 上单调递减,在 ?1, e? 上单调递增 因此, hmin ( x) ? h(1) ? 3 由 h( ) ? ????????11 分

?1 ? ?e ?

1 2 1 ? 2e ? 1 , h(e) ? e ? ? 1 比较可知 h( ) ? h(e) e e e 2 所以,当 3 ? a ? e ? ? 1 时,函数 y ? f ( x) ? g ( x) 有两个零点.?????14 分 e

1 e

10


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