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江苏省南通市2017届高三第一次模拟考试数学Word版含答案


南通市 2017 届高三第一次调研测试 数学Ⅰ
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........
? 1. 函数 y ? 2sin(3 x ? ) 的最小正周期为 ▲ . 3

3? , B ? ?a ? 2 , 5? , A ? B ? ?3? ,则 A ? B ? 2. 设集合 A ? ?1,
3. 复数 z ? (1+2i) 2 ,其中 i 为虚数单位,则 z 的实部为 ▲ . 4. 口袋中有若干红球、黄球和蓝球,从中摸出一只球.已知摸出 红球的概率为 0.48, 摸出黄球的概率为 0.35, 则摸出蓝球的概 率为 ▲ . 5. 如图是一个算法的流程图,则输出的 n 的值为 ▲ .

▲ . 开始
n ? 1 ,a ? 1
n?n?2

a ? 16

Y

a ? 3a ? 2

N 输出 n 结束
(第 5 题)

?2 x ? y ≤ 4, ? x ? 3 y ≤ 7, ? 6.若实数 x, y 满足 ? 则 z=3x+2y 的最大值为 ▲ . ? x ≥ 0, ? ? y ≥ 0,

7. 抽样统计甲、乙两名学生的 5 次训练成绩(单位:分) ,结果如下: 学生 甲 乙 第1次 65 80 第2次 80 70 第3次 70 75 第4次 85 80 第5次 75 70

则成绩较为稳定(方差较小)的那位学生成绩的方差为 ▲ . 8. 如图,在正四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 中, AB ? 3 cm ,
AA1 ? 1 cm ,则三棱锥 D1–A1BD 的体积为

D1 A1

C1



cm 3 .

D

B1

C

9. 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 2 x ? y ? 0 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0 , b ? 0) 的一条渐近线,则该双曲线 a 2 b2
的离心率为 ▲ .

A
(第 8 题)

B

10. 《九章算术》中的“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列, 上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则该竹子最上面一节的容积为 ▲ 升.

??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? sin A 11.在△ABC 中,若 BC ? BA ? 2 AC ? AB ? CA ? CB ,则 的值为 ▲ . sin C
π 12.已知两曲线 f ( x) ? 2sin x , g ( x) ? a cos x , x ? (0 , ) 相交于点 P.若两曲线在点 P 处的切线 2

互相垂直,则实数 a 的值为 ▲ . 13.已知函数 f ( x) ? x ? x ? 4 ,则不等式 f ( x2 ? 2) ? f ( x) 的解集用区间表示为 ▲ .
1) ,且 AB⊥AC,则 14.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 B,C 为圆 x2 ? y 2 ? 4 上两点,点 A(1 ,

线段 BC 的长的取值范围为 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答.解答时应写出文字说明、 ....... 证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 x 轴正半轴为始边作锐角 ? ,其终边与单位圆交于点 A. 以 OA 为始边作锐角 ? ,其终边与单位圆交于点 B,AB= (1)求 cos ? 的值;
5 (2)若点 A 的横坐标为 ,求点 B 的坐标. 13
2 5 . 5

y B β O A α 1 x

(第 15 题)

16. (本小题满分 14 分) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 四边形 ABCD 为平行四边形, AC, BD 相交于点 O, 点 E 为 PC 的中点, OP=OC, PA⊥PD. 求证:(1)直线 PA∥平面 BDE; (2)平面 BDE⊥平面 PCD. P E D O A
(第 16 题)

C B

17. (本小题满分 14 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 相应准线的距离为 1. (1)求椭圆的标准方程; (2)若 P 为椭圆上的一点,过点 O 作 OP 的垂线交直线
y ? 2 于点 Q,求

2 x2 y 2 ,焦点到 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 2 a 2 b2

y
2

Q

P O x

1 1 ? 的值. 2 OP OQ 2

(第 17 题)

18. (本小题满分 16 分) 如图,某机械厂要将长 6 m,宽 2 m 的长方形铁皮 ABCD 进行裁剪.已知点 F 为 AD 的中点, 点 E 在边 BC 上,裁剪时先将四边形 CDFE 沿直线 EF 翻折到 MNFE 处(点 C,D 分别落在 直线 BC 下方点 M,N 处,FN 交边 BC 于点 P),再沿直线 PE 裁剪. (1)当∠EFP=
? 时,试判断四边形 MNPE 的形状,并求其面积; 4

(2)若使裁剪得到的四边形 MNPE 面积最大,请给出裁剪方案,并说明理由. A F D

B N

P E

C

M
(第 18 题)

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? x ? lnx , a ? R .
3 (1)当 a ? 时,求函数 f ( x) 的最小值; 8

(2)若 ?1 ≤ a ≤ 0 ,证明:函数 f ( x) 有且只有一个零点; (3)若函数 f ( x) 有两个零点,求实数 a 的取值范围.

20. (本小题满分 16 分) 已知等差数列 ?an ? 的公差 d 不为 0,且 ak1, ak2, ?, akn , ?( k1 ? k2 ? ? ? kn ? ?)成等比数列, 公比为 q . (1)若 k1 ? 1 , k2 ? 3 , k3 ? 8 ,求 (2)当
a1 的值; d

a1 为何值时,数列 ?kn ? 为等比数列; d

(3)若数列 ?kn ? 为等比数列,且对于任意 n ? N? ,不等式 an ? akn ? 2kn 恒成立,求 a1 的取值 范围.

21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答 . ................... 若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修 4-1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 已知圆 O 的直径 AB ? 4 ,C 为 AO 的中点,弦 DE 过 点 C 且满足 CE=2CD,求△OCE 的面积. A D
(第 21-A 题)

E

C O

B

B.[选修 4-2:矩阵与变换](本小题满分 10 分)
?1 ? 已知向量 ? ? 是矩阵 A 的属于特征值–1 的一个特征向量.在平面直角坐标系 xOy 中,点 ? ?1?
? 3, ,求矩阵 A. P ( 1,) 1 在矩阵 A 对应的变换作用下变为 P ( 3)

C.[选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 在极坐标系中,求直线 ? ?
π ( ? ? R) 被曲线 ? ? 4sin ? 所截得的弦长. 4

D.[选修 4-5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 求函数 y ? 3sin x ? 2 2 ? 2cos 2x 的最大值.

【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出 ....... 文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD–A1B1C1D1 中,P 为棱 C1D1 的中点,Q 为棱 BB1 上的点, 且 BQ ? ? BB1 (? ? 0) . (1)若 ? ?
1 ,求 AP 与 AQ 所成角的余弦值; 2

A1 B1 P C1

D1

(2)若直线 AA1 与平面 APQ 所成的角为 45°, 求实数 ? 的值.

Q

A

D C

B

(第 22 题)

23. (本小题满分 10 分)
1) 到焦点 F 的距离为 2. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 上的点 M (m ,

(1)求抛物线的方程; (2)如图,点 E 是抛物线上异于原点的点,抛物线在点 E 处的切线与 x 轴相交于点 P,直 线 PF 与抛物线相交于 A,B 两点,求△EAB 面积的最小值.
y
y = f(x )

A E F O B P x

(第 23 题)

南通市 2017 届高三第一次调研测试 数学学科参考答案及评分建议
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.
? 1. 函数 y ? 2sin(3 x ? ) 的最小正周期为 ▲ . 3

【答案】

2? 3

3? , B ? ?a ? 2 , 5? , A ? B ? ?3? ,则 A ? B ? 2. 设集合 A ? ?1, 3 5? 【答案】 ?1,,
3. 复数 z ? (1+2i) 2 ,其中 i 为虚数单位,则 z 的实部为 ▲ . 【答案】 ?3 4. 口袋中有若干红球、黄球和蓝球,从中摸出一只球.摸出红球 的概率为 0.48, 摸出黄球的概率为 0.35, 则摸出蓝球的概率为

▲ .

开始
n ? 1 ,a ? 1
n?n?2

a ? 16

Y

a ? 3a ? 2

▲ . 【答案】0.17 5. 如图是一个算法的流程图,则输出的 n 的值为 ▲ 【答案】5
?2 x ? y ≤ 4, ? x ? 3 y ≤ 7, ? 6.若实数 x, y 满足 ? 则 z=3x+2y 的最大值为 ▲ . ? x ≥ 0, ? ? y ≥ 0,

N 输出 n . 结束
(第 5 题)

【答案】7 7. 抽样统计甲、乙两名学生的 5 次训练成绩(单位:分) ,结果如下: 学生 甲 乙 第1次 65 80 第2次 80 70 第3次 70 75 第4次 85 80 第5次 75 70

则成绩较为稳定(方差较小)的那位学生成绩的方差为 ▲ . 【答案】20 8. 如图,在正四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 中, AB ? 3 cm ,
AA1 ? 1 cm ,则三棱锥 D1–A1BD 的体积为

D1 A1

C1



cm 3 .

D

B1

C

A
(第 8 题)

B

【答案】

3 2

9. 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 2 x ? y ? 0 为双曲 线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0 , b ? 0) 的一条渐近线,则该双曲线的离心率为 ▲ . a 2 b2

【答案】 5 10. 《九章算术》中的“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列, 上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则该竹子最上面一节的容积为 ▲ 升. 【答案】
13 22

??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? sin A 11.在△ABC 中,若 BC ? BA ? 2 AC ? AB ? CA ? CB ,则 的值为 ▲ . sin C
【答案】 2
π 12.已知两曲线 f ( x) ? 2sin x , g ( x) ? a cos x , x ? (0 , ) 相交于点 P.若两曲线在点 P 处的切线 2

互相垂直,则实数 a 的值为 ▲ . 【答案】
2 3 3

13.已知函数 f ( x) ? x ? x ? 4 ,则不等式 f ( x2 ? 2) ? f ( x) 的解集用区间表示为 ▲ . 【答案】 (??, ? 2) ? ( 2, ? ?)
1) ,且 AB⊥AC,则 14.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 B,C 为圆 x2 ? y 2 ? 4 上两点,点 A(1 ,

线段 BC 的长的取值范围为 ▲ . 【答案】 [ 6 ? 2 , 6 ? 2]

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15. (本小题满分 14 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 x 轴正半轴为始边作锐角 ? ,其终边与单位圆交于点 A. 以 OA 为始边作锐角 ? ,其终边与单位圆交于点 B,AB= (1)求 cos ? 的值; (2)若点 A 的横坐标为
5 ,求点 B 的坐标. 13
2 5 . 5

y B β O A α 1 x

【解】 (1)在△AOB 中,由余弦定理得,

(第 15 题)

AB 2 ? OA2 ? OB 2 ? 2OA ? OB cos ?AOB ,所以

cos ?AOB ?

OA2 ? OB2 ? AB2 2OA ? OB

?????2 分

?

12 ? 12 ? (

2 5 2 ) 3 5 ? , 2 ? 1? 1 5

即 cos ? ? . ???????????????????????????6 分
π 3 (2)因为 cos ? ? , ? ? (0 , ) , 2 5

3 5

所以 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? ( ) 2 ? 因为点 A 的横坐标为

3 5

4 . 5

????????????????8 分

5 5 ,由三角函数定义可得, cos ? ? , 13 13
5 13 12 . ????????10 分 13

因为 ? 为锐角,所以 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? ( ) 2 ? 所以 cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?
sin n ?? ? ?? ? s i? c? o? s

5 3 12 4 33 ? ? ? ? ? ,??????12 分 13 5 13 5 65 12 13 3 5 5 4 56 . ? ? ? 13 5 65

? cos ? ? s i n?

所以点 B(? 16. (本小题满分 14 分)

33 56 , ) . ??????????????????????14 分 65 65

如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 四边形 ABCD 为平行四边形, AC, BD 相交于点 O, 点 E 为 PC 的中点, OP=OC, PA⊥PD. 求证:(1)直线 PA∥平面 BDE; (2)平面 BDE⊥平面 PCD. 【证明】 (1) 连结 OE , 因为 O 为平行四边形 ABCD 对 角线的交点,所以 O 为 AC 中点. 又因为 E 为 PC 的中点, 所以 OE ∥ PA . ????????4 分 又因为 OE ? 平面 BDE , PA ? 平面 BDE , 所以直线 PA ∥平面 BDE . ????????????????????6 分 (2)因为 OE ∥ PA , PA ? PD ,所以 OE ? PD . ????????????8 分 因为 OP ? OC , E 为 PC 的中点,所以 OE ? PC . ??????????10 分 又因为 PD ? 平面 PCD , PC ? 平面 PCD , PC ? PD ? P , 所以 OE ? 平面 PCD . ??????????????????????12 分 A
(第 16 题)

P E D O B C

又因为 OE ? 平面 BDE ,所以平面 BDE ? 平面 PCD . ????????14 分 17. (本小题满分 14 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 相应准线的距离为 1. y (1)求椭圆的标准方程; (2)若 P 为椭圆上的一点,过点 O 作 OP 的垂线交直线
1 1 ? 的值. y ? 2 于点 Q,求 2 OP OQ 2
2

2 x2 y 2 ,焦点到 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 2 a 2 b2

Q

P O x

【解】 (1)由题意得,

c 2 a ? , ? c ? 1 , ????2 分 a 2 c

2

解得 a ? 2 , c ? 1 , b ? 1 . 所以椭圆的方程为
x2 ? y2 ? 1 . 2

(第 17 题)

???????????????????4 分

(2)由题意知 OP 的斜率存在. 当 OP 的斜率为 0 时, OP ? 2 , OQ ? 2 ,所以
1 1 ? ?1. 2 OP OQ 2

????6 分

当 OP 的斜率不为 0 时,设直线 OP 方程为 y ? kx .
? x2 2k 2 2 ? ? y 2 ? 1, 由? 2 得 ? 2k 2 ? 1? x2 ? 2 ,解得 x 2 ? 2 ,所以 y 2 ? 2 , 2k ? 1 2k ? 1 ? y ? kx , ?

所以 OP 2 ?

2k 2 ? 2 . ????????????????????????9 分 2k 2 ? 1
1 k

因为 OP ? OQ ,所以直线 OQ 的方程为 y ? ? x .
?y ? 2 , ? 2 2 由? 1 得 x ? ? 2k ,所以 OQ ? 2k ? 2 . ????????????12 分 y ? ? x ? k ?

所以

1 1 2k 2 ? 1 1 ? ? ? 2 ? 1. 2 2 2 OP OQ 2k ? 2 2k ? 2
1 1 ? ?1. OP 2 OQ 2

综上,可知 18. (本小题满分 16 分)

????????????????????14 分

如图,某机械厂要将长 6 m,宽 2 m 的长方形铁皮 ABCD 进行裁剪.已知点 F 为 AD 的中点, 点 E 在边 BC 上,裁剪时先将四边形 CDFE 沿直线 EF 翻折到 MNFE 处(点 C,D 分别落在 直线 BC 下方点 M,N 处,FN 交边 BC 于点 P),再沿直线 PE 裁剪.

(1)当∠EFP=

? 时,试判断四边形 MNPE 的形状,并求其面积; 4

(2)若使裁剪得到的四边形 MNPE 面积最大,请给出裁剪方案,并说明理由. 【解】 (1)当∠EFP=
? 时,由条件得 4 ? . 4

A

F

D

∠EFP=∠EFD=∠FEP= 所以∠FPE=

? .所以 FN⊥BC, 2

B N

P E

C

四边形 MNPE 为矩形.?? 3 分 所以四边形 MNPE 的面积
S=PN ? MN =2 m2.???? 5 分

M
(第 18 题)

(2)解法一:
? 设 ?EFD ? ? (0 < ? < ) ,由条件,知∠EFP=∠EFD=∠FEP= ? . 2

所以 PF=

2 2 , ? sin (? ? ??) sin ?? 2 , P ?F 3 ? sin ??

N P = N? F ME ? 3 ?

2 . ????????????????????????8 分 tan ?

2 2 ? ? ?3 ? sin ?? ? 0, ?sin ?? ? 3 , ? ? 2 2 ? ? 由 ?3 ? 得 ? 0, ? tan ? ? , (?) 3 ? tan ? ? ? ? ? ? ?0 < ? < 2 , ?0 < ? < 2 . ? ?

所以四边形 MNPE 面积为
1 S= ( NP ? ME)MN 2 1? 2 2 ? ? ?(3 ? )+(3 ? ) ?2 2? sin ?? tan ? ? ? =6 ? 2 2 ? tan ? sin 2?

=6 ?

2 2(sin 2 ? ? cos2 ? ) ? tan ? 2sin ? cos? 3 ? 6 ? (tan ? ? ) ?????????????????????12 分 tan ?
3 ?6?2 3. tan ?

≤ 6 ? 2 tan ?

当且仅当 tan ? =
( ?) 此时, 成立.

3 ? ,即 tan ? = 3 ,? = 时取“=”.??????14 分 tan ? 3

答:当 ?EFD ?

? 时,沿直线 PE 裁剪,四边形 MNPE 面积最大, 3

最大值为 6 ? 2 3 m2. ??????????????????????16 分 解法二: 设 BE ? t m, 3 < t < 6 ,则 ME ? 6 ? t .
2 因为∠EFP=∠EFD=∠FEP,所以 PE=PF,即 (3 ? BP) ? 22 ? t ? BP .

所以 BP=

13 ? t 2 13 ? t 2 , NP=3 ? PF=3 ? PE=3 ? . ???8 分 (t ? BP) =3 ? t ? ( 2 3 ? t) ( 2 3 ? t)

? ?3 < t < 6, ?3 < t < 6, ? 2 ? ? 13 ? t ? 0, 由? 得 ?t ? 13, (?) ( 2 3 ? t ) ? ?2 ?t ? 12t ? 31 ? 0. ? 13 ? t 2 ? 0, ?3 ? t ? ( 2 3 ? t) ?

所以四边形 MNPE 面积为
1 S= ( NP ? ME)MN 2
? 1? 13 ? t 2 ? ( ) + (6 ? t) ? 3?t ? ??2 2? ( 2 3 ? t) ?

3t 2 ? 30t ? 67 ??????????????????????12 分 ( 2 3 ? t) 2 ? ?3 ? 6 ? ? (t ? 3) + ≤ 6 ? 2 3. t ? 3? ?2 ? ?
4 2 3 3 2 ? 3? 当且仅当 (t ? 3) ,即 t = 3 + 时取“=”. ???14 分 = 3 3 2 t ?3

( ?) 此时, 成立.

答:当点 E 距 B 点 3 ?

2 3 m 时,沿直线 PE 裁剪,四边形 MNPE 面积最大, 3

最大值为 6 ? 2 3 m2. ??????????????????????16 分 19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? x ? lnx , a ? R .
3 (1)当 a ? 时,求函数 f ( x) 的最小值; 8

(2)若 ?1 ≤ a ≤ 0 ,证明:函数 f ( x) 有且只有一个零点; (3)若函数 f ( x) 有两个零点,求实数 a 的取值范围.
3 3 【解】 (1)当 a ? 时, f ( x) ? x2 ? x ? lnx . 8 8

所以 f ?( x) ? 3 x ? 1 ? 1 ? 4 x 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 2 ,

(3x ? 2)( x ? 2) , (x>0) . 4x

???????????2 分

当 x ? (0,2) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (2,? ?) 时, f ?( x) ? 0 , 所以函数 f ( x) 在 (0,2) 上单调递减,在 (2,? ?) 上单调递增. 所以当 x ? 2 时, f ( x) 有最小值 f (2) ? ? 1 ? ln 2 .????????????4 分 2
2 x ?0. (2)由 f ( x) ? ax2 ? x ? lnx ,得 f ?( x) ? 2ax ? 1 ? 1 ? 2ax ? x ? 1, x x 2 所以当 a ≤ 0 时, f ?( x) ? 2ax ? x ? 1 < 0 , x

函数 f ( x) 在 (0,+?) 上单调递减, 所以当 a ≤ 0 时,函数 f ( x) 在 (0,+?) 上最多有一个零点.????????6 分
2 ?a >0, 因为当 -1 ≤ a ≤ 0 时, f (1) ? a ? 1 < 0 , f ( 1 ) ? e ? e e e2

所以当 -1 ≤ a ≤ 0 时,函数 f ( x) 在 (0,+?) 上有零点. 综上,当 -1 ≤ a ≤ 0 时,函数 f ( x) 有且只有一个零点. ?????????8 分 (3)解法一: 由(2)知,当 a ≤ 0 时,函数 f ( x) 在 (0,+?) 上最多有一个零点. 因为函数 f ( x) 有两个零点,所以 a > 0 . ???????????????9 分 由 f ( x) ? ax2 ? x ? lnx ,得 f ?( x) ? 因为 g (0) ? ?1 ? 0 , 2a > 0 ,
? ?) 上只有一个零点,设为 x0 . 所以函数 g ( x) 在 (0,

2ax2 ? x ? 1 , ( x ? 0) ,令 g ( x) ? 2ax2 ? x ? 1 . x

当 x ? (0,x0 ) 时, g ( x) ? 0,f ?( x) ? 0 ;当 x ? ( x0, ? ?) 时, g ( x) ? 0,f ?( x) ? 0 . 所以函数 f ( x) 在 (0,x0 ) 上单调递减;在 ( x0, ? ?) 上单调递增. 要使得函数 f ( x) 在 (0,+?) 上有两个零点,
2 ? x0 ? ln x0 ? 0 . 只需要函数 f ( x) 的极小值 f ( x0 ) ? 0 ,即 ax0

2 ? x0 ? 1 ? 0 ,所以 2ln x0 ? x0 ? 1 ? 0 , 又因为 g ( x0 ) ? 2ax0

又因为函数 h( x)=2ln x ? x ? 1 在 (0,+?) 上是增函数,且 h(1)=0 , 所以 x0 ? 1 ,得 0 ?
1 ? 1. x0 1 2 1 1 1 1 ) ? ? ( ? )2 ? , x0 x0 x0 2 4

2 ? x0 ? 1 ? 0 ,得 2a ? ( 又由 2ax0

所以 0 ? a ? 1 . ??????????????????????????13 分 以下验证当 0 ? a ? 1 时,函数 f ( x) 有两个零点.
1 2a 1 1? a 当 0 ? a ? 1 时, g ( ) ? 2 ? ? 1 ? ?0, a a a a

所以 1 ? x0 ?

1 . a

1 a 1 e2 ? e ? a 因为 f ( ) ? 2 ? ? 1 ? ? 0 ,且 f ( x0 ) ? 0 . e e e e2 1 所以函数 f ( x) 在 ( ,x0 ) 上有一个零点. e
2 4a 2 2 2 2 又因为 f ( ) ? 2 ? ? ln ≥ ? ( ? 1) ? 1 ? 0 (因为 ln x ≤ x ? 1 ) ,且 f ( x0 ) ? 0 . a a a a a a 2 所以函数 f ( x) 在 ( x0, ) 上有一个零点. a 1 2 所以当 0 ? a ? 1 时,函数 f ( x) 在 ( , ) 内有两个零点. e a
1) . ?????????????????16 分 综上,实数 a 的取值范围为 (0 ,

下面证明: ln x ≤ x ? 1 . 设 t ( x) ? x ? 1 ? lnx ,所以 t ?( x) ? 1 ? 令 t ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 .
1) 时, t ?( x) ? 0 ;当 x ? (1,? ?) 时, t ?( x) > 0 . 当 x ? (0, 1) 上单调递减,在 (1,? ?) 上单调递增. 所以函数 t ( x ) 在 (0,

1 x ?1 , (x>0) . ? x x

所以当 x ? 1 时, t ( x ) 有最小值 t (1) ? 0 . 所以 t ( x) ? x ? 1 ? lnx ≥ 0 ,得 ln x ≤ x ? 1 成立. 解法二: 由(2)知,当 a ≤ 0 时,函数 f ( x) 在 (0,+?) 上最多有一个零点. 因为函数 f ( x) 有两个零点,所以 a > 0 . ???????????????9 分

x, 由 f ( x) ? ax2 ? x ? lnx ? 0 ,得关于 x 的方程 a ? x ? ln (x>0)有两个不等 x2
的实数解.

又因为 ln x ≤ x ? 1 ,

x ≤ 2 x ? 1 ? ?( 1 ? 1)2 ? 1 , 所以 a ? x ? ln (x>0) . x x2 x2
因为 x>0 时, ?( 1 ? 1)2 ? 1 ≤1 ,所以 a ≤ 1 . x

x 有且只有一个实数解. 又当 a =1 时, x =1 ,即关于 x 的方程 a ? x ? ln x2
所以 0 < a < 1 . ??????????????????????????13 分 (以下解法同解法 1) 20. (本小题满分 16 分) 已知等差数列 ?an ? 的公差 d 不为 0,且 ak1, ak2, ?, akn , ?( k1 ? k2 ? ? ? kn ? ?)成等比数列, 公比为 q . (1)若 k1 ? 1 , k2 ? 3 , k3 ? 8 ,求 (2)当
a1 的值; d

a1 为何值时,数列 ?kn ? 为等比数列; d

(3)若数列 ?kn ? 为等比数列,且对于任意 n ? N? ,不等式 an ? akn ? 2kn 恒成立,求 a1 的取值 范围. 【解】 (1)由已知可得: a1 , a3 , a8 成等比数列,所以 (a1 ? 2d ) 2 ? a1 (a1 ? 7d ) , ???2 分 整理可得: 4d 2 ? 3a1d .因为 d ? 0 ,所以 (2)设数列 ?kn ? 为等比数列,则 k22 ? k1k3 . 又因为 ak1 , ak2 , ak3 成等比数列, 所以 ?a1 ? (k1 ? 1)d ??a1 ? (k3 ? 1)d ? ? ?a1 ? (k2 ? 1)d ? .
2

a1 4 ? . ???????????4 分 d 3

整理,得 a1 (2k2 ? k1 ? k3 ) ? d (k1k3 ? k22 ? k1 ? k3 ? 2k2 ) . 因为 k22 ? k1k3 ,所以 a1 (2k2 ? k1 ? k3 ) ? d (2k2 ? k1 ? k3 ) . 因为 2k2 ? k1 ? k3 ,所以 a1 ? d ,即 当
a1 ? 1 .???????????????6 分 d

a1 ? 1 时, an ? a1 ? (n ? 1)d ? nd ,所以 akn ? kn d . d

又因为 akn ? ak1 qn?1 ? k1dqn?1 ,所以 kn ? k1q n ?1 .

所以

kn ?1 k qn ? 1 n ?1 ? q ,数列 ?kn ? 为等比数列. kn k1q

综上,当

a1 ? 1 时,数列 ?kn ? 为等比数列.???????????????8 分 d

(3)因为数列 ?kn ? 为等比数列,由(2)知 a1 ? d , kn ? k1qn?1 (q ? 1) .

akn ? ak1 qn?1 ? k1dqn?1 ? k1a1qn?1 , an ? a1 ? (n ? 1)d ? na1 .
因为对于任意 n ? N? ,不等式 an ? akn ? 2kn 恒成立. 所以不等式 na1 ? k1a1qn?1 ? 2k1q n?1 , 即 a1 ?
2k1q n ?1 1 n ? k1q n ?1 1 q n 0 ? ? ? ? , 恒成立.????????10 分 n ?1 n ?1 n ? k1q a1 2k1q 2 2k1 q n

下面证明:对于任意的正实数 ε (0 ? ε ? 1) ,总存在正整数 n1 ,使得 要证
n1 ? ε ,即证 ln n1 ? n1 ln q ? ln ε . q n1
1 1

n1 ?ε. q n1

1 1 因为 ln x ≤ x ? x ,则 ln n1 ? 2ln n1 2 ? n1 2 , e 2
解不等式 n1 2 ? n1 ln q ? ln ε ,即 (n1 2 )2 ln q ? n1 2 ? ln ε ? 0 , 可得 n1 2 ?
1

1

1

1

1 ? 1 ? 4ln q ln ε 1 ? 1 ? 4ln q ln ε 2 ) . ,所以 n1 ? ( 2ln q 2ln q

? 1 ? 1 ? 4ln q ln ε 2 ? ) ? ? 1 ,则当 n1 ? n0 时,原式得证. 不妨取 n0 ? ?( 2ln q ? ? ? ?
所以 0 ?

1 1 ≤ ,所以 a1 ≥ 2 ,即得 a1 的取值范围是 ? 2, ? ? ? . ?????16 分 a1 2

21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答 . ................... 若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修 4-1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 已知圆 O 的直径 AB ? 4 ,C 为 AO 的中点,弦 DE 过点 C 且满足 CE=2CD,求△OCE 的面积. 【解】设 CD ? x ,则 CE ? 2 x . 因为 CA ? 1 , CB ? 3 , 由相交弦定理,得 CA ? CB ? CD ? CE , 所以 1 ? 3 ? x ? 2 x ? 2 x 2 ,所以 x ?
6 .????2 分 2

E H O D
(第 21-A 题)

A

C

B

取 DE 中点 H ,则 OH ? DE .
3 5 因为 OH 2 ? OE 2 ? EH 2 ? 4 ? ( x)2 ? , 2 8

所以 OH ?

10 .????????????????????????????6 分 4

又因为 CE ? 2 x ? 6 ,
1 1 10 15 ? 6? 所以△OCE 的面积 S ? OH ? CE ? ? . ??????????10 分 2 2 4 4

B.[选修 4-2:矩阵与变换](本小题满分 10 分)
?1 ? 已知向量 ? ? 是矩阵 A 的属于特征值–1 的一个特征向量.在平面直角坐标系 xOy 中,点 ? ?1?
? 3, ,求矩阵 A. P ( 1,) 1 在矩阵 A 对应的变换作用下变为 P ( 3)

?a b ? 【解】设 A ? ? ?, ?c d ? ?1 ? 因为向量 ? ? 是矩阵 A 的属于特征值–1 的一个特征向量, ? ?1?

?a ? b ? ?1, ?a b ? ? 1 ? ? 1 ? ? ?1? 所以 ? ????????????4 分 ? (?1) ? ? ? ? ? .所以 ? ? ? ? ?c ? d ? 1. ? c d ? ? ?1? ? ?1? ? 1 ?
? 3, 因为点 P , ( 1,) 1 在矩阵 A 对应的变换作用下变为 P ( 3)

? a +b ? 3, ? a b ? ?1? ?3? 所以 ? c d ? ?1? ? ?3? .所以 ?c +d ? 3.???????????????????8 分 ? ? ?? ? ? ?
?1 2 ? 解得 a ? 1 , b ? 2 , c ? 2 , d ? 1 ,所以 A ? ? ? .????????????10 分 ?2 1 ?

C.[选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 在极坐标系中,求直线 ? ? 【解】解法一: 在 ? ? 4sin ? 中,令 ? ? 解法二: 以极点 O 为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系.
π π ,得 ? ? 4sin =2 2 ,即 AB = 2 2 . ???????10 分 4 4 π ( ? ? R) 被曲线 ? ? 4sin ? 所截得的弦长. 4

直线 ? ?

π ( ? ? R) 的直角坐标方程为 y ? x ①, ???????????????3 分 4

曲线 ? ? 4sin ? 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 ②.

???????????6 分

? x ? 0, ? x ? 2, 由①②得 ? 或? ???????????????????????8 分 ? y ? 0, ? y ? 2,

0) , B(2, 2) , 所以 A(0,

所以直线 ? ?

π ( ? ? R) 被曲线 ? ? 4sin ? 所截得的弦长 AB = 2 2 . ??????10 分 4

D.[选修 4-5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 求函数 y ? 3sin x ? 2 2 ? 2cos 2x 的最大值. 【解】 y ? 3sin x ? 2 2 ? 2cos2x =3sin x ? 4 cos2 x ????????????????2 分 由柯西不等式得
y2 ? (3sin x ? 4 cos2 x )2 ≤ (32 ? 42 )(sin 2 x ? cos2 x) ? 25 ,???????????8 分

3 所以 ymax ? 5 ,此时 sin x = . 5
所以函数 y ? 3sin x ? 2 2 ? 2cos 2x 的最大值为 5. ?????????????10 分 【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出 ....... 文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD–A1B1C1D1 中,P 为棱 C1D1 的中点,Q 为棱 BB1 上的点, 且 BQ ? ? BB1 (? ? 0) . (1)若 ? ?
1 ,求 AP 与 AQ 所成角的余弦值; 2

z A1 B1 P C1

D1

(2)若直线 AA1 与平面 APQ 所成的角为 45°, 求实数 ? 的值.

??? ? ???? ???? 【解】以 AB , AD , AA1 为正交基底,建立如图所示空

?

?

Q

A C
(第 22 题)

D y

间直角坐标系 A ? xyz .

B x

??? ? ???? ,, 2 2) , AQ=(2,, 0 1) , (1)因为 AP=(1

??? ? ???? ??? ? ???? AP ? AQ 1 ? 2 ? 2 ? 0 ? 2 ? 1 4 5 ? ???? ? ? AQ ? = ??? 所以 cos ? AP, . 15 9? 5 | AP|| AQ |

所以 AP 与 AQ 所成角的余弦值为

4 5 .???????????????4 分 15

???? ???? 0 2) , AQ=(2,, 0 2?) . (2)由题意可知, AA1 =(0,,
y z? , 设平面 APQ 的法向量为 n ? ? x,,
??? ? ? ?n ? AP ? 0, ? x ? 2 y ? 2 z ? 0, 则 ? ???? 即? ?2 x ? 2? z ? 0. n ? AQ ? 0 , ? ?

令 z ? ?2 ,则 x ? 2? , y ? 2 ? ? .
2 ? ?, ? 2) .??????????????????????6 分 所以 n ? (2?,

又因为直线 AA1 与平面 APQ 所成角为 45°,

???? ???? n ? AA1 所以|cos<n, AA1 >| = ???? = |n|| AA1 | 2

4

? 2? ?

2

? ? 2 ? ? ? ? ? ?2 ?
2

2

?

2 , 2

可得 5? 2 ? 4? ? 0 ,又因为 ? ? 0 ,所以 ? ? 23. (本小题满分 10 分)

4 . ???????????10 分 5

1) 到焦点 F 的距离为 2. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 上的点 M (m ,

(1)求抛物线的方程; (2)如图,点 E 是抛物线上异于原点的点,抛物线在点 E 处的切线与 x 轴相交于点 P,直 线 PF 与抛物线相交于 A,B 两点,求△EAB 面积的最小值. 【解】 (1)抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的准线方程为
y = f(x )

y

y??

p , 2

A E F O B P x

1) ,由抛物线定义,知 因为 M ( m,

MF ? 1 ?

p , 2

所以 1 ?

p ? 2 ,即 p ? 2 , 2

(第 23 题)

所以抛物线的方程为 x 2 ? 4 y .????????????????????3 分 (2)因为 y ?
1 2 1 x ,所以 y ? ? x . 4 2

t2 t2 1 设点 E(t, ), t ? 0 ,则抛物线在点 E 处的切线方程为 y ? ? t(x ? t) . 4 4 2 t t 令 y ? 0 ,则 x ? ,即点 P( , 0) . 2 2

t 2 t 1) ,所以直线 PF 的方程为 y ? ? ( x ? ) ,即 2 x ? ty ? t ? 0 . 因为 P( , 0) , F (0, 2 t 2
2t ? t3 ?t 4 4 ? t2 4

t2 则点 E(t, ) 到直线 PF 的距离为 d ? 4

4 ? t2

?

t

.???????5 分

? x2 ?y ? , 联立方程 ? 消元,得 t 2 y 2 ? (2t 2 ? 16) y ? t 2 ? 0 . 4 ? 2 x ? ty ? t ? 0, ?

因为 ? ? (2t 2 ? 16)2 ? 4t 4 ? 64(t 2 ? 4) ? 0 ,
2t 2 ? 16 ? 64(t 2 ? 4) 2t 2 ? 16 ? 64(t 2 ? 4) y ? , , 2 2t 2 2t 2

所以 y1 ?

所以 AB ? y1 ? 1 ? y2 ? 1 ? y1 ? y2 ? 2 ?

2t 2 ? 16 4(t 2 ? 4) . ??????7 分 ? 2 ? t2 t2
4 ? t2 4 1 (t 2 ? 4) 2 ? ? . 2 t
1
3

1 4(t 2 ? 4) t ? 所以△EAB 的面积为 S ? ? 2 t2
3

( x2 ? 4) 2 ( x2 ? 4) 2 ( x ? 0) ,则 g ?( x) ? 不妨设 g ( x) ? (2 x2 ? 4) . x x2

因为 x ? (0, 2) 时, g ?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (0, 2) 上单调递减;
g ?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 ( 2, x ?( 2 ,? ?上, ) ? ?) 上单调递增.

所以当 x ? 2 时, g ( x)min ?

(2 ? 4) 2 2

3

?6 3.

所以△EAB 的面积的最小值为 3 3 .?????????????????10 分


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