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等比数列的性质


2.4.2

等比数列的性质

1.在等比数列{an}中,已知 a2=2,a4a6=256,则 a8 等于( A ) A.128 B.64 C.32 D.512 2.等比数列{an}中,a5=3,则 a2·a8 等于( C )

A.5

B.6

C.9

D.12

2a1+a2 3.等比数列{an}的公比为 2,则2a +a 的值为( A ) 3 4

A.

1 4

B.

1 2

1 C. 8

D.1

4.将 20,50,100 这三个数加上相同的常数,使它们成为等 5 3 比数列,则其公比是____.
a1+a3+a5+a7 1 5.已知等比数列{an}的公比 q= - ,则 = 3 a2+a4+a6+a8

_____. -3

想 一 想

1.若 ?an ? 是等比数列,那么a1 ? a2 ? ??? ? an , an ?1 ? an ? 2 ? ??? ? a2 n , a2 n ?1 ? a2 n ? 2 ? ??? ? a3n 还是不是等比数列?

若a1 ? a2 ? ??? ? an ? 0,则Sn ,S2n -Sn ,S3n -S2n
2.已知数列?an ? 前n项的和为Sn ? aq n ? r , ? q ? 0, q ? 1? , 若 ?an ? 是等比数列,则r ? ?

仍成等比数列.

r ? ?a

重点

等比数列常用的判定方法

an+1 (1)定义法: a =q(常数). n (2)等比中项的定义:如果 an≠0,且 a2+=anan+2 对任意的 n 1

n∈N*都成立,则数列{an}是等比数列.
难点 等比数列的性质

a (1)若三个数成等比数列,一般设三数为q,a,aq.

(2)①若{an} 为等比数列,且 k+l=m+n(k、l、m、n∈N*) 则 akal=aman; ②若{an}是等比数列,且 m+n=2k(k、m、n∈N*),则 aman

=a2; k
③若{an}为等比数列,公比为 q,则{a2n}也是等比数列,公

比为 q2;
④若{an}为等比数列,公比为 q(q≠-1),则{a2n-1+a2n}也 是等比数列,公比为 q2; ⑤若{an}、{bn}是等比数列,则{anbn}也是等比数列.

等比数列性质

例 1:在等比数列{an}中,若 a2=2,a6=162,求 a10.
思维突破:可利用通项公式或等比数列的性质来求. 解法一:∵a6=a2q4,a2=2,a6=162, ∴q4=81,∴a10=a6q4=162×81=13 122. 解法二:∵2,6,10 三数成等差数列, ∴a2,a6,a10 成等比数列.
1 2 2 ∴a6=a2a10,∴a10=162 × =13 2 122.

已知a1与q,用a1qn-1可以求出等比数列 的任何一项,但不一定简单.本题两种解法都避开了求a1与q.

直接利用等比数列的性质求解,使问题更加简单明了.

1-1.在等比数列{an}中,若 an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25.

求 a3+a5 的值.
2 解:a2a4+2a3a5+a4a6=25, a2+2a3a5+a5=25, 即 3

∴(a3+a5)2=25, 又an>0,∴a3+a5=5.

等比数列性质的应用
a15 例 2:在等比数列{an}中,a5·a11=3,a3+a13=4,则 a5 = ( ) A.3 B. 1 3

1 3
1 3

C.3 或

D.-3 或-

思维突破:∵a5·a11=a3·a13=3,a3+a13=4, ∴a3=1,a13=3 或 a3=3,a13=1,

a15 a13 1 ∴ a = a =3 或3 5 3
答案:C

2-1.在各项都为正数的等比数列{an}中,a1=3,前三项的 和为 21,则 a3+a4+a5=( C ) A.33 B.72 C.84 D.189

2-2.在等比数列{an}中,若 a2·a8=36,a3+a7=15,则公 比 q 值的可能个数为( D ) A.1 B.2 C.3 D.4

等差、等比数列性质的综合应用

例 3:已知数列{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,且
a2=3,4S2=S4. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证数列{ 2 an }是等比数列; (3)求使得 Sn+2>2Sn 的成立的 n 的集合.

解:(1)设数列{an}的首项为 a1,公差为 d,
?a1+d=3 ? 由题意得:? ?4×?2a1+d?=4a1+6d ?



解得a1=1,d=2,∴an=2n-1.

2n 1 2 =2 =4, (2)依题意得, a - 22n 3 n ?1 2
an



∴数列{ 2 an }为首项为 2,公比为 4 的等比数列,
(3)由a1=1,d=2,an=2n-1,得Sn=n2,

∴Sn+2>2Sn?(n+2)2>2n2?(n-2)2<8,
∴n=1,2,3,4,故n 的集合为:{1,2,3,4}.

3-1.(2010 年湖北)已知等比数列{an}中,各项都是正数, a +a10 1 且 a1, a3,2a2 成等差数列,则 9 =( C ) 2 a7+a8
A.1+ 2 C.3+2 2 B.1- 2 D.3-2 2

例 4:在等比数列{an}中,a5、a9 是方程 7x2-18x+7=0 的 两个根,试求 a7.

错因剖析:根据a7 是a5 与a9 的等比中项求出a7 后易忽视
对a7 符号的讨论. 正解:∵a5、a9 是方程 7x2-18x+7=0 的两个根,

?a +a =18 ? 5 9 7 . ∴? ?a5a9=1 ?
又∵a7 是a5 和a9 的等比中项,

∴a2=a5a9=1,即 a7=± 1. 7 又由方程可得 a5>0,∴a7=a5q2>0,∴a7=1.

4-1.已知 1, a1, a2, 4 成等差数列,1, b1, b2, b3, 4 成等比数列, 5 a1+a2 2 则 b =____. 2

1.下标和性质:若数列?an ? 是等比数列,且m ? n ? p ? q ? s, 则am an ? ap aq ? as 2 . 2.片段和性质:若数列?an ? 是等比数列,且Sn ? 0, 那么 Sn ,S2n -Sn ,S3n -S2n 仍成等比数列. 奇数项同号,偶数项也同号. a 4.如果三个数成等比数列,则这三个数可设为 , a, aq. q 5.若数列?an ? 前n项的和Sn ? aq n ? r ? q ? 1, q ? 0 ? , 则 数列?an ? 为等比数列的充要条件是r ? ? a. 3.若数列?an ? 是等比数列,则an ? 0,公比q ? 0, 并且它的


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