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丰城中学2013届高三下学期(理)数学周练一 (2)


丰城中学 2013 届高三下学期(理)数学周练一
命题人;黄林飞 审题人:徐小平 考试时间:13.2.18 一、 选择题 (10×5 分=50 分) 2 2 2 1.设 x,y 是关于 m 的方程 m ?2am+a+6=0 的两个实根,则(x?1) +(y?1) 的最小值是 (A)?1225 (B)18 (C) 8 (D)无最小值 2.与圆(x-2)2+(y+1)2=1 关于直线 x-y+3=0 成轴对称的曲线的方程是( A.(x-4)2+(y+5)2=1 B.(x-4)2+(y-5)2=1 C.(x+4)2+(y+5)2=1 ) D.(x+4)2+(y-5)2=1

3.把直线 x-2y+λ=0 向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位后,与曲线 x2+y2+2x-4y =0 正好相切,则实数 λ 的值为 ( A.-13 或 3
2 2

) C.13 或 3 D.-13 或-3 )

B.13 或-3

4.椭圆 x ? my ? 1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为( A.

1 4

B.

1 2

C. 2

D.4

5.已知双曲线

x2 y2 2 ? 2 ? 1 的一个焦点与抛物线 y ? 4 x 的焦点重合,且双曲线的离心率等 2 a b
( ) C.

于 5 ,则该双曲线的方程为 A. 5 x 2 ? 4 y ? 1 5
2

2 2 B. x ? y ? 1

5

4

y2 x2 ? ?1 5 4
2

D. 5 x 2 ?

5y2 ?1 4

6.如图, D 是图中边长为 4 的正方形区域, 是 D 内函数 y = x 图象下方的点构成的区域, 设 E 向 D 中随机投一点,则该点落入 E 中的概率为 A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D

1 5

7.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1 的直线,该直线与双曲线的 a 2 b2

两条渐近线的交点分别为 B, C .若 AB ? A. 2
2

??? ?

B. 3

? 1 ??? BC ,则双曲线的离心率是 ( 2 C. 5 D. 10

)

8.若曲线 y ? x ? ax ? b 在点 (0, b) 处的切线方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,则

1

(A) a ? ?1, b ? 1 (C) a ? 1, b ? ?1 9.若抛物线 y ?
2

(B) a ? ?1, b ? ?1 (D) a ? 1, b ? 1

1 x2 y2 x 的焦点与椭圆 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为 2p 6 2
B.





A.

1 16
2

1 8

C. ?4

D.4

10.设抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F,过点 M(-1,0)的直线在第一象限交抛物线于 A、B, 使 AF ? BF ? 0 ,则直线 AB 的斜率 k ?

??? ??? ? ?





A. 2

B.

2 2

C. 3

D.

3 3

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上.) 11.直线 y ?

1 x ? b 是曲线 y ? ln x ? x ? 0 ? 的一条切线,则实数 b= 2
2



2 y x 12.已知 F 是双曲线 ,P ? ? 1 的左焦点,定点 A(1,4) 是双曲线右支上的动点,则 4 12

| PF | ? | PA | 的最小值为_________.

13.过椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左焦点 F1 的弦 AB 的长为 3, AF2 ? 4 且 AB ? AF2 ? 0 ,则该 a2 b

椭圆的离心率为 。 14.下图展示了一个由角的区间(0, ? )到实数集 R 的映射过程: 区间(0, ? )中的角 ? 始边落 在 OA 上,则终边对应半圆弧 AB 上的点 M, 如图 1; 将半圆弧 AB 围成一个椭圆, 使两端点 A、

B 恰好重合,如图 2;再将这个椭圆放在平面直角坐标系中,使其椭圆中心在 y 轴上,点 A
的坐标为 (0,1) , 如图 3 中直线 AM 与 x 轴交于点 N (n, 0), ? 的象就是 n, 则 记作 f (? ) ? n .
M

B

O

A

下列说法中正确命题的序号是 ①f?

.(填出所有正确命题的序号) ③ f ? x ? 是定义域上的单调函数;

?1? ? ? 1; ?4?

② f ? x ? 是奇函数;

2

④ f ? x ? 的图象关于点 (

?
2

,0) 对称 ;

⑤ f ? x ? 的图象关于 y 轴对称

丰城中学 2013 届高三(理 )数学周练十二 答题卡
题号 答案 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上.) 11. 14. 三、解答题: (10+10+10=30 分.解答应写出文字说明或演算步骤.) 12. 13. 1 2 3 4

班级
5 6

姓名

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.) 7 8 9 10

15.已知椭圆

6 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,短轴的一个端点到右焦点的 2 3 a b

距离为 3 ,直线 l : y ? kx ? m 交椭圆于不同的两点 A , B (Ⅰ)求椭圆的方程 (Ⅱ)若坐标原点 O 到直线 l 的距离为

3 ,求 ?AOB 面积的最大值 2

16.已知点 P 是⊙ O : x2 ? y 2 ? 9 上的任意一点,过 P 作 PD 垂直 x 轴于 D ,动点 Q 满足

???? 2 ??? ? (1)求动点 Q 的轨迹方程; (2)已知点 E (1,1) ,在动点 Q 的轨迹上 DQ ? DP 。 3 ??? 1 ???? ???? ? ? 是否存在两个不重合的两点 M 、N , OE ? (OM ? ON ) (O 是坐标原点), 使 若存在, 2
求出直线 MN 的方程,若不存在,请说明理由。

3

17. 若 椭 圆 C1 :

x2 y2 3 ? 2 ? 1 (0 ? b ? 2) 的 离 心 率 等 于 , 抛 物 线 C2 : 2 4 b

x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的焦点在椭圆的顶点上。
(Ⅰ)求抛物线 C 2 的方程; (Ⅱ)过 M (?1,0) 的直线 l 与抛物线 C 2 交 P 、Q 两点,又过 P 、Q 作抛物线 C 2 的切线 l1 、

l 2 ,当 l1 ? l 2 时,求直线 l 的方程

4

参考答案:1-5CDCAD 11 ln2-1. 12. 9 13.

6-10BCDAB

5 14③④ 3

?c 6 ? ? 15 解:解: (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ? a 3 ,解得 c ? 2 . ?a? 3 ?
由a
2

? b2 ? c2,得b=1.

x2 2 ?所求椭圆方程为 ? y ? 1. 3
(Ⅱ)由已知

m 1? k
2

?

3 3 , 可得 m2 ? (k 2 ? 1) . 2 4

将y ? kx ? m 代入椭圆方程 ,
整理得(1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6kmx ? 3m2 ? 3 ? 0 .

? ? ? 6km ? ? 4 ?1 ? 3k 2 ?? 3m 2 ? 3? ? 0 (?)
2

? x1 ? x2 ?
2

?6km 3m2 ? 3 , x1 ? x2 ? . 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2
36k 2 m2 12(m2 ? 1) ? ] (3k 2 ? 1)2 3k 2 ? 1

? AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ? (1 ? k 2 )[

?

12(k 2 ? 1)(3k 2 ? 1 ? m 2 ) 3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) ? (3k 2 ? 1) 2 (3k 2 ? 1) 2

? 3?

12k 2 12 12 ? 3? ? 3? ? 4 (k ? 0) 4 2 1 9k ? 6k ? 1 2?3 ? 6 2 9k ? 2 ? 6 k

3 1 即k ? ? 时等号成立 . 2 , 3 k 3 经检验,k ? ? 满足(*)式 . 3 当k ? 0时, ? 3 . AB
当且仅当9k 2 ?
综上可知 AB max ? 2 ,

1 3 3 ?当 AB 最大时,?AOB的面积取最大值S ? ? 2 ? ? 2 2 2 .
5

16 解: (1)设 P( x0 , y0 ), Q ? x, y ? ,依题意,则点 D 的坐标为 D( x0 , 0) ……1 分 ∴ DQ ? ( x ? x0 , y ), DP ? (0, y0 ) 分

????

??? ?

………………………2



? ? ? ? 2 ? ? ?? D Q? D P ∴ 3

? x ? x0 ? 0 ? x0 ? x ? ? 即? ? 2 3 ? y ? 3 y0 ? y0 ? 2 y ? ?
x2 y 2 ? ?1 9 4

………………………4

分 ∵ P 在⊙ O 上,故 x0 2 ? y0 2 ? 9 分 ∴ 点 Q 的轨迹方程为 (2)假设椭圆 ∴ ………………………5

x2 y 2 ? ?1 9 4

………………………6 分

x2 y 2 ? ? 1上存在两个不重合的两点 M ( x1 , y1 ), N ? x2 , y2 ? 满足 9 4

? x1 ? x2 ??? 1 ???? ???? ? ? ? 2 ? 1 ? x1 ? x2 ? 2 ? 即? …9 分 OE ? (OM ? ON ) ,则 E (1,1) 是线段 MN 的中点,且有 ? y1 ? y2 2 ? y1 ? y2 ? 2 ? ?1 ? 2 ?
又 M ( x1 , y1 ), N ? x2 , y2 ? 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1上 9 4



? x12 y12 ?1 ? ? ? 9 4 两式相减,得 ? 2 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? 9 4 ?


? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ?
9 ? 4

? 0 ……12



kMN ?

y1 ? y2 4 ?? x1 ? x2 9

∴ 直线 MN 的方程为 4 x ? 9 y ? 13 ? 0

∴ 椭圆上存在点 M 、 N 满足 OE ?

??? ?

? 1 ???? ???? (OM ? ON ) ,此时直线 MN 的方程为 2
…………………………14 分

4 x ? 9 y ? 13 ? 0
17A. 解: (I)设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ),

?4 x 2 ? y 2 ? 4 由? , 得(4 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 3 ? 0, ? y ? kx ? 1 ? ? 4k 2 ? 12(4 ? k 2 ) ? 16k 2 ? 48,

6

2k ?3 , x1 x2 ? , 2 4?k 4 ? k2 1 由已知 E (? , 0), F (0,1). k x1 ? x2 ? ?

…………3 分

1 1 ? x1 ? x2 ,即x2 ? x1 ? ? k k ?2k 1 所以 ? ? ,解得k= ? 2 , k 4 ? k2
所以 ? 符合题意,

…………5 分 …………6 分

所以,所求直线 l 的方程为 2 x ? y ? 1 ? 0或2 x ? y ? 1 ? 0 …………7 分 (II) k1 ?

y2 y , k2 ? 1 , k1 : k2 ? 2 :1 , x1 ? 1 x1 ? 1
…………8 分

所以

y2 ( x1 ? 1) 2 ? , y1 ( x2 ? 1) 1
2 y2 ( x1 ? 1) 2 ? 4, y12 ( x2 ? 1) 2

平方得

…………9 分

又x12 ?

y12 2 2 ? 1, 所以y12 ? 4(1 ? x12 ),同理y2 ? 4(1 ? x2 ), 代入上式, 4
(1 ? x2 )(1 ? x1 ) ? 4, 即3x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 3 ? 0, …………11 分 (1 ? x1 )(1 ? x2 )
2

计算得

所以 3k ? 10k ? 3 ? 0, 解得k ? 3或k ? 因为

1 , 3

…………13 分

y2 ( x1 ? 1) 2 1 ? , x1 , x2 ? (?1,1), 所以y1 , y2 异号, 故舍去k ? , y1 ( x2 ? 1) 1 3
…………14 分

所以 k=3 17B 解:(1)由椭圆方程得 a ? 2 , e ?

c 3 2 2 ? ,所以 c ? 3 , b ? a ? c ? 1 …2 分 a 2
…………………3 分 …………………5 分

由题意得:抛物线的焦点应为椭圆的上顶点,即 (0,1) 所以 p ? 2 抛物线方程为 x ? 4 y
2

(2) 可判断直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1)
7

设 P 、 Q 坐标为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ), 联立 ?

…………………6 分

? y ? k ( x ? 1)
2 ?x ? 4 y

整理得

x 2 ? 4kx ? 4k ? 0

………………8 分

所以 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4k 由 x ? 4y
2

………………10 分 所以 k l1 ?

得 y/ ?

x 2

x1 x , k l2 ? 2 2 2

………………12 分

由 k l1 ? k l2 ?

x1 x 2 ? ? ?k ? ?1 2 2

所以直线 l 的方程为 y ? x ? 1

……………14 分

8


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