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高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 . 命题及其关系、充分条件与必要条件练习 理创新


第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条 件练习 理
[A 组·基础达标练] 1.设 a,b 是向量,命题“若 a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是( A.若 a≠-b,则|a|≠|b| C.若|a|≠|b|,则 a≠-b 答案 D 解析 命题“若 a=-b,则|a|=|b|”的逆命题为“若|a|=|b|,则 a=-b”,故选 D. 2. [2015·洛阳二练]已知集合 A={1, m +1}, B={2,4}, 则“m= 3”是“A∩B={4}” 的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 A 解析 A∩B={4}? m +1=4? m=± 3, 故“m= 3”是“A∩B={4}”的充分不必要条 件. 3.[2015·马鞍山一模]已知 a,b,c∈R,命题“若 a+b+c=3,则 a +b +c ≥3”的 否命题是( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

B.若 a=-b,则|a|≠|b| D.若|a|=|b|,则 a=-b

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.若 a+b+c≠3,则 a +b +c <3 B.若 a+b+c=3,则 a +b +c <3 C.若 a+b+c≠3,则 a +b +c ≥3 D.若 a +b +c ≥3,则 a+b+c=3 答案 A 解析 否命题是原命题的条件和结论同时否定,故选 A. 4.已知 i 是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi) =2i”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案 A 解析 当 a=b=1 时,(a+bi) =(1+i) =2i;若(a+bi) =a -b +2abi=2i,则 a
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

-b =0,2ab=2,解得 a=1,b=1 或 a=-1,b=-1,故“a=b=1”是“(a+bi) =2i” 的充分不必要条件,故选 A. 5.[2014·陕西高考]原命题为“若 z1,z2 互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命 题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( A.真,假,真 C.真,真,假 答案 B 解析 原命题正确,所以逆否命题正确,模相等的两复数不一定互为共轭复数,同时因 ) B.假,假,真 D.假,假,假

1

为逆命题与否命题互为逆否命题,所以逆命题和否命题错误.故选 B. 6.[2015·沈阳一模]“x<0”是“ln (x+1)<0”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 设命题 p:x<0,命题 q:ln (x+1)<0,由对数函数的定义域和对数函数的单调性 可知?
?x+1>0 ? ? ?x+1<1

)

,所以-1<x<0,即命题 q 为-1<x<0.可知命题 q? p,而 p? / q.所以 p 是 q

的必要不充分条件,所以选 B. 7.[2016·青岛模拟]已知直线 m、n 和平面 α ,在下列给定的四个结论中,m∥n 的一个 必要但不充分条件是( A.m∥α ,n∥α C.m∥α ,n? α 答案 D 解析 m∥n? m,n 与 α 所成的角相等,反之 m,n 与 α 所成的角相等不一定推出 m∥n. 8.[2016·贵州七校联考]以下四个命题中,真命题的个数是( ①“若 a+b≥2,则 a,b 中至少有一个不小于 1”的逆命题. ②存在正实数 a,b,使得 lg (a+b)=lg a+lg b. ③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”. ④在△ABC 中,A<B 是 sinA<sinB 的充分不必要条件. A.0 C.2 答案 C 解析 ①原命题的逆命题为:若 a,b 中至少有一个不小于 1,则 a+b≥2,而 a=2,b =-2 满足条件 a,b 中至少有一个不小于 1,但此时 a+b=0,故是假命题;②根据对数的 运算性质,知当 a=b=2 时,lg (a+b)=lg a+lg b,故是真命题;③“所有奇数都是素数” 的否定为“至少有一个奇数不是素数”,③是真命题;④根据题意,结合边角的转换,以及 正弦定理,可知 A<B?a<b(a,b 为角 A,B 所对的边)?2RsinA<2RsinB(R 为△ABC 外接圆的半 径)?sinA<sinB,故可知 A<B 是 sinA<sinB 的充要条件,故是假命题.选 C. 9.设{an}是公比为 q 的等比数列,则“q>1”是“{an}为递增数列”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 答案 D 解析 解法一:(特殊值法):由 q>1 不能推出{an}是递增数列,如数列-2,-4,-8, -16,?; 由{an}是递增数列也不能推出公比 q>1,如数列-16,-8,-4,-2,?. 故“q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件.
2

) B.m⊥α ,n⊥α D.m、n 与 α 所成的角相等

)

B.1 D.3

)

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解法二:当数列{an}的首项 a1<0 时,若 q>1,则数列{an}是递减数列;当数列{an}的首项

a1<0 时,要使数列{an}为递增数列,则 0<q<1,所以“q>1”是“数列{an}为递增数列”的既
不充分也不必要条件.故选 D. 10.已知集合 A=?x?
? ? ? ?

?x-1 ?x+1

<0?,B={x|(x-b) <a},若“a=1”是“A∩B≠?”的充分
? ?

? ?

2

条件,则 b 的取值范围是________. 答案 (-2,2) 解析 由 A=?x?
? ?
2

? ?

?x-1 ?x+1

<0?={x|(x-1)·(x+1)<0}={x|-1<x<1},当 a=1 时,B=
? ? ?b+1>-1, ? ? ?b-1<1,
2

? ?

{x|(x-b) <1}={x|b-1<x<b+1},此时,A∩B≠?,所以?

解得-2<b<2.

11.[2015·衡水二模]下列四个结论:①命题“若 x≠1,则 x -3x+2≠0”的逆否命题 是“若 x -3x+2=0,则 x=1”;②若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题;③若命题 p: ? x0∈R,使得 x0+2x0+3<0,则綈 p:? x∈R,都有 x +2x+3≥0;④设 a,b 为两个非零向 量,则“a·b = |a|·|b|”是“a 与 b 共线”的充分必要条件.其中正确结论的序号是 ________. 答案 ①③ 解析 易知①③正确;p∧q 为假命题等价于 p、q 中至少有一个为假命题,故②是错误 的;对于④,若 a·b=|a|·|b|,则 a 与 b 方向相同,若 a 与 b 共线,则 a 与 b 方向相同或 相反,不一定有 a·b=|a|·|b|,故④是错误的. 12.已知两个关于 x 的一元二次方程 mx -4x+4=0 和 x -4mx+4m -4m-5=0,求两 方程的根都是整数的充要条件. 解 因为 mx -4x+4=0 是一元二次方程,所以 m≠0.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

又另一方程为 x -4mx+4m -4m-5=0,且两方程都要有实根,
? ?Δ 1=16?1-m?≥0, 所以? 2 2 ?Δ 2=16m -4?4m -4m-5?≥0, ?

? 5 ? 解得 m∈?- ,1?. ? 4 ?
因为两方程的根都是整数,故其根的和与积也为整数, 4 ? ?m∈Z, 所以? 4m∈Z, ? ?4m -4m-5∈Z.
2

所以 m 为 4 的约数.

? 5 ? 又因为 m∈?- ,1?,所以 m=-1 或 1. ? 4 ?
当 m=-1 时,第一个方程 x +4x-4=0 的根为非整数; 而当 m=1 时,两方程的根均为整数, 所以两方程的根都是整数的充要条件是 m=1.
3
2

[B 组·能力提升练] 1.[2016·河南八校联考]设 p:f(x)=x -2x -mx+1 在(-∞,+∞)上单调递增;q:
3 2

m<- ,则 p 是 q 的(
A.充要条件 C.必要不充分条件 答案 C

4 3

) B.充分不必要条件 D.以上都不对
2

解析 由题意知,f′(x)≥0 在(-∞,+∞)上恒成立,即 3x -4x-m≥0 在(-∞,+ 4 ? 2?2 4 2 2 ∞)上恒成立,∴m≤3x -4x 在(-∞,+∞)上恒成立.由于 3x -4x=3?x- ? - ≥- , 3 ? 3? 3 4 4 ∴m≤- ,即 p:m≤- . 3 3 4 又 q:m<- ,∴p? / q,但 q? p,故 p 是 q 的必要不充分条件. 3 2.[2015·南昌一模]给出下列命题: ①若(1-x) =a0+a1x+a2x +a3x +a4x +a5x ,则|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=32; ②若 α ,β ,γ 是三个不同的平面,则“γ ⊥α ,γ ⊥β ”是“α ∥β ”的充分条件; π? 1 ? ?π ? 7 ③已知 sin?θ - ?= ,则 cos? -2θ ?= . 6 3 3 ? ? ? ? 9 其中正确命题的个数为( A.0 C.2 答案 B 解析 对于①,由(1-x) =a0+a1x+a2x +a3x +a4x +a5x 得 a1<0,a2>0,a3<0,a4>0,
5 2 3 4 5 5 2 3 4 5

) B.1 D.3

a5<0,取 x=-1,得 a0-a1+a2-a3+a4-a5=(1+1)5=25,再取 x=0,得 a0=(1-0)5=1,
所以|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=-a1+a2-a3+a4-a5=31,所以①不正确;

对于②,在如图所示的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,令平面 ABB1A1、平面 ADD1A1、平面 ABCD 分别为 α ,β ,γ ,因为平面 ABB1A1⊥平面 ABCD,平面 ADD1A1⊥平面 ABCD,但平面 ABB1A1 与平面 ADD1A1 不平行,所以②不正确;

4

π? 1 π? π ?? ? ?π ? ? ? ? 对于③,因为 sin?θ - ?= ,所以 cos? -2θ ?=cos?2θ - ?=cos?2?θ - ??=1 6? 3 3? 6 ?? ? ?3 ? ? ? ? π? ?1?2 7 2? -2sin ?θ - ?=1-2×? ? = ,所以③正确. 6? ? ?3? 9 3.[2015·长沙模拟]r(x):已知 r(x)=sinx+cosx>m;s(x):x +mx+1>0.如果? x∈ R,r(x)与 s(x)有且仅有一个是真命题,则实数 m 的取值范围是________. 答案 (-∞,-2]∪[- 2,2)
2

? π? 解析 由 sinx+cosx= 2sin?x+ ?, 4? ?
得 sinx+cosx 的最小值为- 2. 若? x∈R 时,命题 r(x)为真命题,则 m<- 2.若命题 s(x)为真命题,即? x∈R,不等 式 x +mx+1>0 恒成立,则 Δ =m -4<0,解得-2<m<2.若命题 r(x)为真命题,命题 s(x)为 假命题,则 m≤-2;若命题 r(x)为假命题,命题 s(x)为真命题,则- 2≤m<2. 综上所述,实数 m 的取值范围是(-∞,-2]∪[- 2,2). 2? ? 2 2 4.已知(x+1)(2-x)≥0 的解为条件 p,关于 x 的不等式 x +mx-2m -3m-1<0?m>- ? 3? ? 的解为条件 q. (1)若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围; (2)若綈 p 是綈 q 的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围. 解 设条件 p 的解集为集合 A, 则 A={x|-1≤x≤2}, 设条件 q 的解集为集合 B,则 B={x|-2m-1<x<m+1}. (1)若 p 是 q 的充分不必要条件,则 A 是 B 的真子集,
2 2

m+1>2, ? ?-2m-1<-1, 故有? 2 m>- , ? ? 3

解得 m>1.

(2)若綈 p 是綈 q 的充分不必要条件,则 B 是 A 的真子集,

m+1≤2, ? ?-2m-1≥-1, 故有 ? 2 m>- ? ? 3
<m≤0.

m + 1 = 2 和- 2m - 1 =- 1 等号不能同时取得,解得-

2 3

5


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