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邵阳市二中直升班数学考试题


2014 年二中直升班考试题
一、选择题(16×4=64 分) 1、已知 0<x<1,化简 A.2x B. —2x — C.—2 )个锐角. C.3 D.0

2、凸 n 边形的内角中至多有( A .5 B.4

D.以上都不对

3、二次函数 y=6x?—6x—

1 (—1<x<2)的最值为( ) 2 23 5 A. 最小值为—2,最大值为 B. 最小值为—2,最大值为 2 2 5 5 23 C. 最小值为 0,最大值为 D. 最小值为 ,最大值为 2 2 2

4、将抛物线 y=—2(x—4)?+5 沿 x 轴向右移动 5 个单位,再沿 y 轴向下移动 2 个单位,则 此时抛物线所对应的解析式是( ) A. y=—2(x—9)?+3 C. y=—2(x—9)?+7 B. y=—2(x+1)?+3 D. y=—2(x+1)?+7

5、如图,已知圆锥的母线长 OA=6,底面圆的半径为 2,一小虫在圆锥底面的点 A 处绕圆锥 侧面一周又回到点 A 处.则小虫所走的最短距离为( )

A.12 C. 6 2

B.4π D. 6 3

6、一群猴子分桃子,每只猴子分 4 个,则还剩 52 个,若每只猴子分 6 个,那么有一只猴子 分到的桃子不够 6 个,这群猴子所摘桃子的总数是( )个. A. 100 B. 162 C. 160 或 164 D. 160 或 162 )

7、一个等腰三角形的一条高等于腰长的一半,则这个等腰三角形的底角的度数是( A. 75°或 30° C. 30°或 15° B. 75°或 15° D. 75°或 30°或 15°

8、一元二次不等式—2x?—4x+6<的解为( A、—3<x<1 B. 空集



B. X>1 或 x<3 D. 全体实数

9、已知关于 x 的方程 2x?+(k—10)x+18=0 在 1<x<2 内有一实根,则实数 k 的取值范围为 ( ) A. —10<k<—3 C. K<—2 或 k>22 10、S= x ? 2 — B. 3<k<10 D. —3<k<—2

1 x ? x ? 2 ,且—1≤x≤2,则 S 的最大值与最小值的差是( 2
B. 1 C. 2 D. 3



A. 0

11、方程 2x—x?=

2 的正根的个数是( x
B. 1



A. 0

C. 2

D. 3

12、已知

a b c ? ? ? k ,则 k 的值等于( b?c c?a a?b
1 2
B. —1 C.



A.

1 或—1 2

D. 不确定

13、甲、乙、丙、丁 4 人打靶,每人打 4 枪,每人各自中靶的环数之积都是 72(中靶环数 最高为 10) , 且 4 人中靶的总环数恰为 4 个连续整数, 那么, 其中打中过 4 环的人数为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

14、二次函数 y=ax?+bx+c, 当 x=3 时取取最大值 10, 且它的图像在 x 轴上截得的弦长为 4, 试求二次函数的解析式为( ) A. y= ?

5 2 25 x ? 15 x ? 2 2

B. y=—5x?+30x—25 D. y=—5x?+15x—25

C. y=—x?+15x—25

15、五个互不相等自然数的平均数是 15,中位数是 18,则这 5 个数中,最大数的最大值为 ( ) A. 35 B. 36 C. 37 D. 38

16、直角三角形的周长为 8+3 3 ,斜边上的中线长为 3,则此三角形的面积为(



A.

12 3 ? 5 2

B.

12 3 ? 5 2

C.

12 3 ? 5 4

D.

12 3 ? 5 4

二、解答题(7×8=56 分)

17、已知 x1 、 x2 是关于 x 的方程 4x?—(3m—5)x—6m?=0 的两个实数根,且 求 m 的值。

x1 3 = , x2 2

18、已知 y ? y1 ? y2 ,且 y1 与 x?成反比例, y2 与(x+2)成正比例,且当 x=1 时,y=9; 当 x=—1 时,y=5,(1)求 y 关于 x 的关系式;(2)当 x=— 3 时,求 y 的值.

19、设 0°<a<45°,sina ? cosa=

3 7 ,求 sina. 16

20、如图,梯形 ABCD 中,AB∥CD,且 CD=3AB,EF∥CD,EF 将梯形 ABCD 分成面积相等的两 部分,则 AE:ED 等于多少?

21、已知 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D 点,DE∥BC,DF∥AC, 求证:
BF BC3 ? AE AC3

22、如图,在平面直角坐标系中,将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限,斜靠在两坐
标轴上,点 C 坐标为(-1,0), 反比例函数 的图象经过点 B. .一次函数 的图象经过点 B、C,

(1)求一次函数和反比例函数的关系式; (2)求当 x<0 时, 的解集;

(3)在 x 轴上找一点 M,使得 AM+BM 的值最小,并求出点 M 的坐标和 AM+BM 的最小值.

23、已知:抛物线 y=ax?+4ax+t 与 x 轴的一个交点为 A(—1,0); (1)求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标; (2)D 是抛物线与 y 轴的交点,C 是抛物线上的一点,且以 AB 为一底的梯形 ABCD 的面积 为 9,求此抛物线的解析式; (3)E 是第二象限内到 x 轴、y 轴的距离的比为 5:2 的点,如果点 E 在(2)中的抛物线上, 且它与点 A 在此抛物线对称轴的同侧,问:在抛物线的对称轴上是否存在点 P,使△ APE 的 周长最小?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

答案: 1.A 2.C 3.A 4.A 5.D 6.C 7.D 8.B 9. A 10.B 11.A 12.C 13.C 14.A 15.C 16.D 17.根的判别式=(3m-5)^2+96m^2>0 当 m 为任意实数时,方程都有两个实数根. |x1/x2|=3/2.x1=3/2*x2 或 x1=-3/2*x2 根据根与系数的关系得: x1+x2=(3m-5)/4,x1*x2=-3/2*m^2 所以,x2=(3m-5)/10,x2^2=-m^2 或者 x2=-(3m-5)/2,x2^2=m^2 所以,(3m-5)^2=-100m^2(无解) 或者(3m-5)^2=4m^2 所以,m1=5,m2=1. 18.(1)设 y1=k1x ,y2=k2/x? ∴ y=2k1x -k2/x?根据题意得 -2k1-k2=-4 2k1-k2=0 ∴k1=1 k2=2 ∴y=2x-2/x? (2)设 y1=k1(x-2) ,y2=k2/5x ∴y=2k1(x-2) +k2/5x 根据题意得 k2/10=9/10 -2k1+k2/5=1/5 ∴k1 k2=9 k1=4/5 ∴y=8/5(x-2)+9/5x 当 x=-1 时 原式=-8/15-9/5=-7/3 19.(sina)^2+(cosa)^2=1cosa=3√7/(16sina) 代入(sina)^2+63/[256(sina)^2]=1 令 k=(sina)^2 k+63/(256k)=1 256k^2-256k+63=0 (16k-9)(16k-7)=0 k=9/16,k=7/160<a<45 所以 0<sina<√2/2 0<(sina)^2<1/2 所以(sina)^2=k=7/16 sina=√7/4 20. AE:ED=

5 ?1 2

21.证明:由直角三角形射影定理,知 AC2=AD·AB,BC2=BD·AB,

所以



由△ADE∽△DBF,知



由△ADE∽△ABC,知



所以



·




;则 OC=1;在直 ,

22.⑴过 B 做 BD 垂直于 X 轴;点 C 坐标为(-1,0), 角 三 角 形 AOC 中 AO="OC" =2 , AC=

;在平面直角坐标系中,将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象 限 , 则 BC="AC=" ;易知 ;则 ,所以 ;

;在直角三角形 BCD 中 BD=1;CD=

所以 B 的坐标(-3,1),代入

,解得 m =-3,所以反比例函数的关系式



C 坐标为(-1,0),待定系数法解得一次函数的关系式

⑵ 不等式

的解集即是不等式

的解集,不等式

可把它

看成是一次函数的关系式与反比例函数的关系式 去找一次函数在反比例函数下方的 x 的范围即

, 则

的意思是在图象上

⑶ 作点 A 关于 x 轴的对称点 A′, 连接 B A′与 x 轴的交点即为点 M, 点 M 的坐标为 (-2,0) , AM+BM 的最小值为

23. 解:(1)依题意,抛物线的对称轴为 x=﹣2, ∵抛物线与 x 轴的一个交点为 A(﹣1,0), ∴由抛物线的对称性,可得抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标为(﹣3,0); (2)∵抛物线 y=ax2+4ax+t 与 x 轴的一个交点为 A(﹣1,0) ∴a(﹣1)2+4a(﹣1)+t=0 ∴t=3a ∴y=ax2+4ax+3a ∴D(0,3a)

∴梯形 ABCD 中,AB∥CD,且点 C 在抛物线 y=ax2+4ax+3a 上, ∵C(﹣4,3a) ∴AB=2,CD=4 ∵梯形 ABCD 的面积为 9 ∴ (AB+CD)·OD=9 ∴ (2+4)|3a|= (AB+CD)·OD=9 ∴a±1

∴所求抛物线的解析式为 y=x2+4x+3 或 y=﹣x2﹣4x﹣3;

(3)设点 E 坐标为(x0,y0),依题意,x0<0,y0>0,且

∴y0=﹣ x0 ①设点 E 在抛物线 y=x2+4x+3 上, ∴y0=x02+4x0+3

解方程组



, ∴点 E 坐标为( , ),

∵点 E 与点 A 在对称轴 x=﹣2 的同侧

设在抛物线的对称轴 x=﹣2 上存在一点 P,使△APE 的周长最小,

∵AE 长为定值, ∴要使△APE 的周长最小,只须 PA+PE 最小 ∴点 A 关于对称轴 x=﹣2 的对称点是 B(﹣3,0) ∴由几何知识可知,P 是直线 BE 与对称轴 x=﹣2 的交点 设过点 E、B 的直线的解析式为 y=mx+n



,解得

∴直线 BE 的解析式为 y= x+ ∴把 x=﹣2 代入上式,得 y= ∴点 P 坐标为(﹣2, ) ②设点 E 在抛物线 y=﹣x2﹣4x﹣3 上

∴y0=﹣x02﹣4x0﹣3,

解方程组 得 ∴△<0 ∴此方程无实数根,

消去 y0,

综上,在抛物线的对称轴上存在点 P(﹣2, ),使△APE 的周长最小。


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