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高中数学必修4知识点总结: 第二章 平面向量

高中数学必修 4 知识点总结 第二章 平面向量 16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式:a ? b ? a ? b ? a ? b . ⑷运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a ; ②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c ;③ a ? 0 ? 0 ? a ? a . ⑸坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C ? a ? ? ? ? b ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 设 ? 、? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? ,? x2 , y2 ? , 则? ?? ? ?x 1 x2 y ,1 ? y2 ?. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ?b ??C?? ??? C 19、向量数乘运算: ? ? ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ① ?a ? ? a ; ? ? ? ? ②当 ? ? 0 时,? a 的方向与 a 的方向相同; 当 ? ? 0 时,? a 的方向与 a 的方向相反; 当 ? ? 0 时,? a ? 0 . ⑵运算律:① ? ? ?a ? ? ? ?? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ?a ? ?a ;③ ? a ? b ? ? a ? ?b . ⑶坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ?a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? . 20、向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a . 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,其中 b ? 0 ,则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时,向量 a 、 b b ? 0 共线. 21、 平面向量基本定理: 如果 e1 、e2 是同一平面内的两个不共线向量, 那么对于这一平面内的任意向量 a , 有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a ? ?1e1 ? ? (不共线的向量 e1 、 e2 作为这一平面内所有向量的一组基 2e 2 . 底) 22、 分点坐标公式: 设点 ? 是线段 ?1?2 上的一点,?1 、?2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? ,? x2 , y2 ? , 当 ?1? ? ? ??2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ??? ? ???? 时,点 ? 的坐标是 ? ? x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ? 时,就为中点公式。) (当 ? ? 1 , ?. 1? ? ? ? 1? ? 23、平面向量的数量积: ⑴ a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 180 .零向量与任一向量的数量积为 0 . ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ? b ? a ? b ? 0 .②当 a 与 b 同向时,a ? b ? a b ;当 a 与 b 反 2 向时, a ? b ? ? a b ; a ? a ? a ? a 或 a ? a ? a .③ a ? b ? a b . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? ⑶运算律:① a ? b ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ;③ a ? b ? c ? a ? c ? b ? c . ⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 . 2 2 若 a ? ? x, y ? , 则 a ? x ? y , 或 a ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 x2 ? y 2 . 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , 则 ? ? ? a ? b ? 1 x 2x? ? 1 . y2 0 y ? 设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的 夹 角 , 则 ? ? ? ? ? ? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b cos ? ? ? ? ? . 2 2 a b x12 ? y12 x2 ?

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