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2.4等比数列的性质


复习旧知
等差数列
一般地,如果一个数列 从第二项起,每一项减 去它的前一项所得的差 都等于同一个常数,那 么这个数列叫做等差数 列

等比数列

定义

一般地,如果一个数列 从第二项起,每一项与 它的前一项的比都等于 同一个常数,那么这个 数列叫做等比数列

符号 a ? a ? d ?n ? N ? n?1 n ? 语言
通项 公式

an?1 ? q?n ? N ? , q ? 0? an

an ? a1 ? ?n ?1?d

an ? a1q

n ?1

1.在等比数列?an ?中已知a3 ? 20, a6 ? 160, 求an . ,

解:设等比数列的公比为q,那么 ? a1q 2 ? 20 ① ? 5 ?a1q ? 160 ②
? q =2 解得 ? ?a1 ? 5

所以an ? a1q

n?1

? 5? 2 .

n?1

思考:能否不求出首项a1, 而将an求出?

证明: 设等比数列?an ? 的首项为a1 , 公比为q,
则有an ? a1q n ?1 , am ? a1q m ?1 an n?m n?m 从而 ? q , 即a n ? a m q . am
n?m

性质1:设 an , am为等比数列 ?an ? 中任意两项, 且公比为 q,则 an ? am q .

注:在已知等比数列中任意两项的 前提下,可以使用此性质求出等比 数列中的任意一项

设数列 ?an ?为等差数列,且 m, n, p, q ? N ?, 若m ? n ? p ? q , 则a m ? a n ? a p ? a q .

若m ? n ? 2 p, 则am ? an ? 2a p .
思考:等比数列有没有同样的性质?

2.在等比数列?an ?中,a2 a8 ? a3a7是否成立? a5 ? a1a9是否成立?
2

思考:你能得到更一般的结论吗?

证明: 设等比数列?an ?首项为 a1 , 公比为 q

则an ? a1q , am ? a1q ,
n ?1 m?1

从而an am ? a1 q
2

m? n ?2
2 s ?t ? 2

同理可得 as at ? a1 q
又因为m ? n ? s ? t 所以am an ? as at .

性质2:设数列?an ?为等比数列,且 m, n, s, t ? N ?, 若m ? n ? s ? t , 则am an ? as at .

若m ? n ? 2 s, 则am an ? as .
2

3.已知等比数列?an ?的首项为a1 , 公比为q,依次取出数列?an ? 中所有奇数项,组成一个新数列,这个数列还是等比数列吗?

变式1:如果依次取出a1 , a4 , a7 , a10 ,?构成一个新数列, 该数列是否还是等比数列?

思考:你能得到更一般的结论吗?

性质3:在等比数列中,序号成等差数列的项 依原序构成的新数列是等比数列。

练习:已知等比数列?an ?

?1? 若an>0,a2 a4 ? 2a3a5 ? a4 a6 ? 25, 求a3 ? a5的值。

? 2? a6 ? 6, a9 ? 9, 求a3的值.

?3? an>0, a1a100 ? 100, 求lg a1 ? lg a2 ??? lg a100的值。
活用性质,数列性质与其项数(下标)密切相关

课堂小结: 性质1:设 an , am为等比数列 ?an ? 中任意两项,
且公比为 q,则 an ? am q
n?m

.

性质2:设数列?an ?为等比数列,且 m, n, s, t ? N ?, 若m ? n ? s ? t , 则am an ? as at .

若m ? n ? 2 s, 则am an ? as .
2

性质3:在等比数列中,序号成等差数列的项 依原序构成的新数列是等比数列。


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