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立体几何中的向量方法(二)——求空间角与距离备考策略 2019高考绝密资料

立体几何中的向量方法(二)——求空间角与距离备考策略 主标题:立体几何中的向量方法(二)——求空间角与距离备考策略 副标题:通过考点分析高考命题方向,把握高考规律,为学生备考复习打通快速通道。 关键词:空间角,距离,备考策略 难度:2 重要程度:4 内容 考点一 求异面直线所成的角 【例 1】 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥底面 ABCD, E 是 PC 的中点.已知 AB=2,AD=2 2,PA=2.求: (1)三角形 PCD 的面积. (2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小. 解 (1)因为 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥CD. 又 AD⊥CD,所以 CD⊥平面 PAD,从而 CD⊥PD. 因为 PD= 22+?2 2?2=2 3,CD=2, 1 所以三角形 PCD 的面积为2×2×2 3=2 3. 图1 (2)法一 如图 1,取 PB 中点 F,连接 EF,AF,则 EF∥BC,从而∠AEF(或其补 角)是异面直线 BC 与 AE 所成的角. 1 在△AEF 中,由于 EF= 2,AF= 2,AE=2PC=2. π 则△AEF 是等腰直角三角形,所以∠AEF=4. π 因此,异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是4. 图2 法二 如图 2,建立空间直角坐标系,则 B(2,0,0),C(2,2 2,0),E(1, 2,1), → AE=(1, → 2,1),BC=(0,2 2,0). → → 设AE与BC的夹角为 θ,则 → → AE· BC 4 2 π cos θ= = = 2 ,所以 θ=4. → → 2×2 2 |AE||BC| π 由此可知,异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是4. 【备考策略】本题可从两个不同角度求异面直线所成的角,一是几何法:作—证 —算;二是向量法:把角的求解转化为向量运算,应注意体会两种方法的特点, “转化”是求异面直线所成角的关键,一般地,异面直线 AC,BD 的夹角 β 的 → → |AC· BD| 余弦值为 cos β= . → → |AC||BD| 考点二 【例 2】 利用空间向量求直线与平面所成的角 如图,在直棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AD∥BC,∠BAD=90° ,AC⊥BD,BC= 1,AD=AA1=3. (1)证明:AC⊥B1D; (2)求直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值. 思路 由于在直棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,∠BAD=90° ,易于建立空间坐标系, → → 可利用向量法求解.第(1)问 AC⊥B1D 转化为判定AC· B1D=0;第(2)问可利用直 线 B1C1 的方向向量与平面 ACD1 的法向量的夹角求解. (1)证明 BD, ∴AC⊥平面 BB1D, 又 B1D?平面 BB1D,从而 AC⊥B1D. 法二 法一 因为 BB1⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD.∴AC⊥BB1,又 AC⊥ 易知,AB,AD,AA1 两两垂直.如图,以 A 为坐标原点,AB,AD,AA1 所在直 线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. 设 AB=t,则相关各点的坐标为 A(0,0,0),B(t,0,0),B1(t,0,3),C(t,1,0),C1(t,1,3), D(0,3,0),D1(0,3,3). → → → 从而B1D=(-t,3,-3),AC=(t,1,0),BD=(-t,3,0). → → 因为 AC⊥BD,所以AC· BD=-t2+3+0=0. 解得 t= 3或 t=- 3(舍去). → → 于是B1D=(- 3,3,-3),AC=( 3,1,0). → → 因为AC· B1D=-3+3+0=0, → → 所以AC⊥B1D,即 AC⊥B1D. (2)解 → → → 由(1)知,AD1=(0,3,3),AC=( 3,1,0),B1C1=(0,1,0). 设 n=(x,y,z)是平面 ACD1 的一个法向量, → ? ?n· AC=0, 则? → ? ?n· AD1=0, ? 3x+y=0, 即? ?3y+3z=0. 令 x=1,则 n=(1,- 3, 3). 设直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角为 θ,则 → ? n· → B1C1 ? 3 21 sin θ=|cos<n,B1C1>|=? = = 7 . → ? 7 ?|n|· |B1C1|? 【备考策略】 (1)本题求解时关键是结合题设条件进行空间联想,抓住垂直条件 有目的推理论证,在第 (2)问中,运用空间向量,将线面角转化为直线的方向向 量与平面法向量夹角,考查化归思想与方程思想. (2)利用空间向量求线面角有两种途径:一是求斜线和它在平面内射影的方向向 量的夹角(或其补角);二是借助平面的法向量. 考点三 利用向量求二面角 【例 3】 如图, 在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, 侧棱 A1A⊥底面 ABCD, AB∥DC, AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E 为棱 AA1 的中 点. (1)证明 B1C1⊥CE; (2)求二面角 B1-CE-C1 的正弦值; 2 (3)设点 M 在线段 C1E 上,且直线 AM 与平面 ADD1A1 所成角的正弦值为 6 ,求 线段 AM 的长. 思路 由条件特征,易建立空间坐标系,方便运用向量求解. (1)利用向量证明 → → B1C1· CE=0;(2)求平面 B1CE 与平面 CEC1 的法向量,进而求二面角的正弦值; → → (3)设出EM=λEC1,根据线面角求 λ,进一步求出 AM 的长. 解 如图,以点 A 为原点以 AD,AA1,AB 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间 直角坐标系, 依题意得 A(0,0,0), B(0, 0,2), C(1,0,1), B1(0,2,2), C1(1, 2,1), E(0,1,0). → → → → (1)证明:易得B