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立体几何中的向量方法(二)——求空间角与距离 2019高考绝密资料

立体几何中的向量方法(二)——求空间角与距离 主标题:立体几何中的向量方法(二)——求空间角与距离 副标题:为学生详细的分析立体几何中的向量方法(二)——求空间角与距离的高考考 点、命题方向以及规律总结。 关键词:空间角,距离 难度:2 重要程度:4 考点剖析: 1.能用向量方法解决直线与直线,直线与平面,平面与平面的夹角的计算问题. 2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 命题方向:对立体几何中的向量方法部分,主要以解答题的方式进行考查,而且偏重在 第二问或者第三问中使用这个方法, 考查的重点是使用空间向量的方法进行空间角和距离等 问题的计算,把立体几何问题转化为空间向量的运算问题. 规律总结: 1.若利用向量求角,各类角都可以转化为向量的夹角来运算. (1)求两异面直线 a,b 的夹角 θ,须求出它们的方向 向量 a,b 的夹角,则 cos θ=|cos<a,b>|. (2)求直线 l 与平面 α 所成的角 θ,可先求出平面 α 的法向量 n 与直线 l 的方向向 量 a 的夹角,则 sin θ=|cos<n,a>|. (3)求二面角 α-l-β 的大小 θ,可先求出两个平面的法向量 n1,n2 所成的角,则 θ=<n1,n2>或 π-<n1,n2>. 2. (1)利用向量夹角转化为各空间角时, 一定要注意向量夹角与各空间角的定义、 范围不同. (2)求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角.根据向量坐标在图形中观 察法向量的方向,从而确定二面角与向量 n1,n2 的夹角是相等,还是互补,这 是利用向量求二面角的难点、易错点. 3.利用向量法求空间角要破“四关” 利用向量法求解空间角,可以避免利用定义法作角、证角、求角中的“一作、二证、三 计算”的繁琐过程,利用法向量求解空间角的关键在于“四破”.第一破“建系关”,第二 破“求坐标关”;第三破“求法向量关”;第四破“应用公式关”,熟记线面成的角与二面 角的公式,即可求出空间角. 知 识 梳 理 1.两条异面直线所成角的求法 设 a,b 分别是两异面直线 l1,l2 的方向向量,则 l1 与 l2 所成的角 θ 范围 求法 2.直线与平面所成角的求法 设直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n,直线 l 与平面 α 所成的角为 θ, |a· n| a 与 n 的夹角为 β.则 sin θ=|cos β|=|a||n|. 3.求二面角的大小 (1)如图①,AB,CD 是二面角 α-l-β 的两个面内与棱 l 垂直的直线,则二面角 → → 的大小 θ=<AB,CD>. π? ? ?0,2? ? ? |a· b| cos θ=|a||b| a 与 b 的夹角 β [0,π] a· b cos β=|a||b| (2)如图②③,n1,n2 分别是二面角 α-l-β 的两个半平面 α,β 的法向量,则二 面角的大小 θ 满足|cos θ|=|cos<n1,n2>|,二面角的平面角大小是向量 n1 与 n2 的 夹角(或其补角). 4.利用空间向量求距离(供选用) (1)两点间的距离 → 设点 A(x1, y1, z1), 点 B(x2, y2, z2), 则|AB|=|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2+?z1-z2?2. (2)点到平面的距离 如图所示,已知 AB 为平面 α 的一条斜线段,n 为平面 α 的法向量,则 B 到平面 → → |AB· n| α 的距离为|BO|= |n| . 导数在研究函数中的应用 主标题:导数在研究函数中的应用备考策略 副标题:通过考点分析高考命题方向,把握高考规律,为学生备考复习打通快速通道。 关键词:导数,极值,最值,备考策略 难度:4 重要程度:5 内容 考点一 利用导数研究函数的单调性 【例 1】设函数 f(x)=(x-1)ex-kx2. (1)当 k=1 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在 x∈[0,+∞)上是增函数,求实数 k 的取值范围. 解 (1)当 k=1 时,f(x)=(x-1)ex-x2, ∴f′(x)=ex+(x-1)ex-2x=x(ex-2). 令 f′(x)>0,即 x(ex-2)>0, ∴x>ln 2 或 x<0. 令 f′(x)<0,即 x(ex-2)<0,∴0<x<ln 2. 因此函数 f(x)的递减区间是(0,ln 2); 递增区间是(-∞,0)和(ln 2,+∞). (2)易知 f′(x)=ex+(x-1)ex-2kx=x(ex-2k). ∵f(x)在 x∈[0,+∞)上是增函数, ∴当 x≥0 时,f′(x)=x(ex-2k)≥0 恒成立. ∴ex-2k≥0,即 2k≤ex 恒成立. 1 由于 ex≥1,∴2k≤1,则 k≤2. 1 又当 k=2时,f′(x)=x(ex-1)≥0 当且仅当 x=0 时取等号. 1? ? 因此,实数 k 的取值范围是?-∞,2?. ? ? 【备考策略】 (1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号. 而 解答本题(2)问时,关键是分离参数 k,把所求问题转化为求函数的最小值问题. (2)若可导函数 f(x)在指定的区间 D 上单调递增(减),求参数范围问题,可转化为 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)恒成立问题,从而构建不等式,要注意“=”是否可以取 到. 考点二 利用导数研究函数的极值 1 3 【例 2】 设 f(x)=aln x+ + x+1,其中 a∈R,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的 2x 2 切线垂直于 y 轴. (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的极值. 审题路线 (1)由 f′(1)=0?求 a 的值. (2)确定函数定义域?对 f(x)求导,并求 f′(x)=0?判断根左,右 f′(x)的符号? 确定极值. 1 3 解 (1)由 f(x)=aln x+ + x+1, 2x 2 a 1 3 ∴f′(x)= x-2x2+2. 由