当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学必修2(北师版)第二章2.2 圆与圆的方程(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案


高中数学必修2(北师版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 解析几何初步 2.2 圆与圆的方程

一、知识清单
圆的基本量与方程 圆与圆的位置关系 曲线系 圆的切线 圆与圆的公共弦 直线被圆截得的弦长 直线与圆的位置关系

二、知识讲解
1.圆的基本量与方程 描述: 圆的标准方程 在直角坐标系中,圆心 A 的位置用坐标 (a, b) 表示,半径 r 的大小等于圆上任意点 M (x, y) 与圆心 A(a, b) 的距离,圆心为 A 半径为 r 的圆就是集合

P = {M ||MA| = r}.
由两点间的距离公式,点M 的坐标适合的条件可以表示为

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? √( x ? a ) 2 + ( x ? b ) 2 = r .
两边同时平方,得

( x ? a) 2 + ( y ? b) 2 = r 2

??①

若点 M (x, y) 在圆上,由上述可知,点 M 的坐标适合方程 ①;反之,若点 M (x, y) 的坐标 适合方程 ①,这说明点 M 与圆心 A 的距离为 r ,即点 M 在圆心为 A 半径为 r 的圆上. 我们把方程 ① 称为以 A(a, b) 为圆心,以 r 为半径的圆的标准方程(standard equation of circle).

圆的一般方程 将方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0

? ? ② 左边配方,并把常数项移到右边,得

(x +
1.

D 2 E D 2 + E 2 ? 4F . ) + (y + )2 = 2 2 4

D E 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , ? ) 为圆心, √D 2 + E 2 ? 4F 为半径长的圆; 2 2 2 D E 2. 当 D 2 + E 2 ? 4F = 0 时,方程 ② 只有实数解 x = ? ,y = ? ,它表示一个点 2 2 D E (? , ? ); 2 2 3. 当 D 2 + E 2 ? 4F < 0 时,方程 ② 没有实数解,它不表示任何图形. (?
  因此,当 D 2 + E 2 ? 4F > 0 时,方程 ② 表示一个圆,此方程叫做圆的一般 式方程(general equation of circle). 例题: 分别写出下列方程所表示的圆的圆心和半径. (1)(x ? 2)2 + (y ? 2)2 = 8; (2)(x + 4)2 + y 2 = 4; (3)(x + m)2 + (y ? n)2 = p 2 (p ≠ 0). 解:(1)原方程可化为

当 D 2 + E 2 ? 4F > 0 时,比较方程 ② 和圆的标准方程,可以看出 ② 表示以

(x ? 2)2 + (y ? 2)2 = (2√2 )2 ,
所以圆心 (2, 2),半径 r = 2√2 . (2)原方程可化为

[x ? (?4)] 2 + (y ? 0)2 = 2 2 ,
所以圆心 (?4, 0) ,半径 r = 2. (3)原方程可化为

[x ? (?m)] 2 + (y ? n)2 = p 2 ,
所以圆心 (?m, n),半径 r = |p|. 求下列各圆的标准方程. (1)圆心在直线 y = 0 上且过两点 A(1, 4),B(3, 2); (2)圆心在直线 5x ? 3y = 8 上且与两坐标轴相切. 解:(1)设圆心的坐标为 (a, b),半径为 r ,则所求圆的方程为

( x ? a) 2 + ( y ? b) 2 = r 2 .
因为圆心在 y = 0 上,所以 b = 0 ,所以圆的方程为

( x ? a) 2 + y 2 = r 2 .
又因为该圆过点 A(1, 4),B(3, 2) 两点,所以

{

(1 ? a)2 + 16 = r2 , a = ?1, 解得 { 2 2 2 r = 20, (3 ? a) + 4 = r ,

所以所求圆的标准方程为 (x + 1)2 + y 2 = 20 .

所以所求圆的标准方程为 (x + 1) + y = 20 . (2)设所求圆的标准方程为 (x ? a)2 + (y ? a)2 = r2 . 因为圆与两坐标轴相切,所以 a = ±b ,r = |a|. 又圆心在直线 5x ? 3y = 8 上,所以 5a ? 3b = 8 . 由

? a = ±b, ? 5a ? 3b = 8, ? r = |a|,


? a = 4, ? a = 1, ? b = 4, 或 ? b = ?1, ? ? r = 4, r = 1.
所以所求圆的标准方程为 (x ? 4)2 + (y ? 4)2 = 16 或 (x ? 1)2 + (y + 1)2 = 1. 已知点 (1, 1) 在圆 (x ? a)2 + (y + a)2 = 4 的外部,则 a 的取值范围为______. 解:(?∞, ?1) ∪ (1, +∞). 由题意知 (1 ? a)2 + (1 + a)2 > 4,所以 a > 1 或 a < ?1 . 判断下列方程是否表示圆,若是,化成标准方程. (1)x 2 + y 2 + 2x + 1 = 0; (2)x 2 + y 2 + 2ay ? 1 = 0 ; (3)x 2 + y 2 + 20x + 121 = 0 ; (4)x 2 + y 2 + 2ax = 0. 解:(1)原方程可化为

(x + 1)2 + y 2 = 0,
它表示点 (?1, 0) ,不表示圆. (2)原方程可化为

x2 + (y + a)2 = a2 + 1,
它表示圆心在 (0, ?a),半径为 √a2 + 1 的圆,标准方程为

? ? ? ? ?

? ? ? ? ? x2 + (y + a)2 = (√a2 + 1)2 .
(3)原方程可化为

(x + 10)2 + y 2 = ?21 < 0,
此方程不表示任何曲线,故不表示圆. (4)原方程可化为

( x + a) 2 + y 2 = a2 .
①当 a = 0 时,方程表示点 (0, 0),不表示圆; ②当 a ≠ 0 时,方程表示以 (?a, 0) 为圆心,以 |a| 为半径的圆,标准方程为 ( x + a) 2 + y 2 = a2 .
2

+

2

+ ax + 2ay + 2

2

+a?1 = 0

若方程 x 2 + y 2 + ax + 2ay + 2a2 + a ? 1 = 0 表示圆,则 a 的取值范围为______. 解:?2 < a < 配方得 (x +

3a 2 3a2 2 a 2 ? a + 1,由 ? ? a + 1 > 0 得 ?2 < a < . ) + ( y + a) 2 = ? 4 4 3 2

2 . 3

△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(?1, 5) 、B(?2, ?2)、C (5, 5) ,求其外接圆方程. 解:设所求圆的方程为 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0,由题设得方程组 ? ?D + 5E + F + 26 = 0, ? D = ?4, 解得 ? ?2D ? 2E + F + 8 = 0, ? E = ?2, ? ? 5D + 5E + F + 50 = 0, F = ?20.

所以 △ABC 的外接圆方程为 x 2 + y 2 ? 4x ? 2y ? 20 = 0 . 已知一个圆关于直线 2x + 3y ? 6 = 0 对称,且经过点 A(3, 2),B(1, ?4) ,求圆的方程. 解:AB 的垂直平分线为 y + 1 = ? 因为圆心在弦 AB 的垂直平分线上,也在对称轴上,则

3?1 (x ? 2),即 x + 3y + 1 = 0. 2+4

? x = 7, { 2x + 3y ? 6 = 0, 得 ? ?y = ? 8 . x + 3y + 1 = 0, 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 8 340 8 2 即圆心为 (7, ? ) ,又半径为 r = √(7 ? 3) + (? ? 2) = √ . 3 9 3
所以圆的方程为 (x ? 7)2 + (y +

340 8 2 . ) = 9 3

2.圆的切线 描述: 圆的切线长 过圆外一点 P (x 0 , y 0 ) 向圆 M 作两条切线,其中圆心 M

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? |P M | = √(x0 ? a)2 + (y 0 ? b)2 ,切线长 |P H | = √|P M | 2 ? r2 .

的坐标为 (a, b)

,如图,

圆的切线方程 过圆外一点 P (x 0 , y 0 ) 的圆的切线方程:设切线方程为 y ? y 0 = k(x ? x0 ),与圆的方 程联立,根据 Δ 即可求出 k 的值;也可根据圆心到直线的距离等于半径求出 k 的值.特别 要注意若解出一个 k ,则还有一条斜率不存在的直线. 2. 过圆 (x ? a)2 + (y ? b)2 = r2 上一点 P (x 0 , y 0 ) 的切线方程:过圆心和点 P (x0 , y 0 ) 1.

?b

( x ? a) + ( y ? b) =
的直线 l 1

点斜式即可求得切线方程. 结论:过圆 (x ? a)2 + (y ? b)2 = r2 上一点 P (x0 , y 0 ) 的切线方程是 (x0 ? a)(x ? a) + (y 0 ? b)(y ? b) = r2. 例题: 已知圆 C :(x ? 1)2 + (y ? 2)2 = 2,求过点 P (2, 3) 的圆的切线方程. 解法一:因为 (2 ? 1)2 + (3 ? 2)2 = 2,所以点 P 在圆 C 上. 由圆的方程可得圆心 C (1, 2) ,由斜率公式得 KCP =

P ( 0 , y0 ) P ( 0 , y0 ) y0 ? b 的斜率为 k1 = ,又切线与直线 l 1 垂直,故可求出切线的斜率,利用 x0 ? a

直,可知所求切线的斜率为 ?1. 由直线的点斜式方程得所求切线的方程为 y ? 3 = ?(x ? 2),即 x + y ? 5 = 0. 解法二:由点 P (2, 3) 在圆 C 上,故利用结论得,切线方程为 (2 ? 1)(x ? 1) + (3 ? 2)(y ? 2) = 2,整理得 x + y ? 5 = 0. 求过点 P (3, 2) 的圆 x 2 + y 2 = 9 的切线方程. 解:当切线斜率存在时,设所求切线的方程为 y ? 2 = k(x ? 3),即

3?2 = 1 ,因所求切线与直线 CP 垂 2?1

kx ? y + 2 ? 3k = 0.
又圆心为 O(0, 0),半径 r = 3,而圆心到切线的距离为

d=
即 |3k ? 2| = 3√k2 + 1 ,所以 k = ?

| ? 3k + 2| ? ? ? ? ? = 3, √k2 + 1

? ? ? ? ?

5 ,所以方程为 12

?

5 5 x?y+2+3× = 0, 12 12

即 5x + 12y ? 39 = 0. 当切线斜率不存在时,方程为x = 3,可知圆心到直线的距离为 3 ,所以 x = 3 也为圆的切线. 故所求切线方程为 x = 3 或 5x + 12y ? 39 = 0. 过直线 x ? y + 4 = 0 上任意一点 P (x, y) 向圆 x2 + y 2 = 1 引切线,求切线长的最小值. 解:如图,过圆 O 点向直线 x ? y + 4 = 0 引垂线,垂足为 P ,过 P 作圆 x2 + y 2 = 1 的 一条切线 P A ,A 为切点,此时 P 点是直线上所有点中到 O 点的距离最小的点,又
2 2 2 2 2

4 |P A| = |P O| ? |AO| ,|OA| = 1 ,所以 |P A| = ( ) ? 1 = 7.所以 |P A| = √7 ,故 √2 切线长的最小值为 √7 .

3.直线被圆截得的弦长

描述: 设直线与圆交于 A(x 1 , y 1 )、B(x 2 , y 2 ) 两点,弦长为 |AB|.

1. 以

几何法:直线被圆截得的半弦长

l l 、弦心距 d 和圆的半径 r 满足 r2 = ( )2 + d 2 .所 2 2 ? ? ? ? ? ? l = 2√r2 ? d 2 .

2. 弦长公式:

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 |AB| = √1 + k2 ? √(x1 + x2 )2 ? 4x1 x2 = √1 + ? √(y 1 + y 2 )2 ? 4y 1 y 2 . k2
将直线方程与圆的方程联立消去 y 或 x ,得关于 x 或 y 的一元二次方程,然后求出两根之 和,两根之积,最后将其代入弦长公式,其中,k 为直线AB 的斜率.

其中,圆的弦长问题,常用几何法,后两种方法较为复杂,一般不用;但是在圆锥曲线学 习中,弦长公式运用较广,也同样需要掌握. 例题: 求直线 l :3x + y ? 6 = 0 被圆 C :x2 + y 2 ? 2y ? 4 = 0 截得的弦长. 解:法一:圆 C :x 2 + y 2 ? 2y ? 4 = 0 可化为 x2 + (y ? 1)2 = 5,圆心坐标为 (0, 1),半径 为 √5 ,点 (0, 1) 到直线 l 的距离为

d=

? ? |3 × 0 + 1 ? 6| √10 = . ? ? ? ? ? 2 √? 32 + 12

设直线 l 与圆 C 的交点为 A 、B ,则

? 所以弦长 |AB| = √? 10 .

? |AB| ? ? ? ? ? ? √? 10 = √r2 ? d 2 = , 2 2

|AB| = √ 法二:联立直线 l 、圆 C 的方程,得 + y ? 6 = 0, = 1, { x2 = 2, { 3x 解得 { x 1 2 2 = y 1 3, y 2 = 0. x + y ? 2y ? 4 = 0,
则直线 l 与圆 C 的交点的坐标为 A(1, 3),B(2, 0). ? 直线 l :3x + y ? 6 = 0 被圆 x 2 + y 2 ? 2y ? 4 = 0 截得的弦长 |AB| = √? 10 . 过圆 x 2 + y 2 = 8 内的点 P (?1, 2) 作直线 l 交圆于 A 、B 两点,若直线 l 的倾斜角为 135 ? ,求弦 AB 的长. 解:法一:(直接法) 由题意知直线 l 的方程为 y ? 2 = ?(x + 1),即 x + y ? 1 = 0. 圆心 O(0, 0) 到直线 l 的距离是

d=
则有

| ? 1| √2

=

√2 , 2

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ?. |AB| = 2√r2 ? d 2 = 2√8 ? = √? 30 2
由题意知直线 l 的方程为 y ? 2 = ?(x + 1),即 x + y ? 1 = 0. 法二:(弦长公式) 由题意知直线 l 的方程为 y ? 2 = ?(x + 1),即 x + y ? 1 = 0. 由

1 = 0, { x2+ y ? 2 x + y = 8,
消去 y ,得 2x 2 ? 2x ? 7 = 0. 设 A(x 1 , y 1 ),B(x 2 , y 2 ) ,所以 x1 + x2 = 1 ,x1 x2 = ? 所以

7 . 2

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? |AB| = √1 + k2 √(x1 + x2 )2 ? 4x1 x2 ? ?? ? ? ? ? ? 7 ? ? ? ? = √? 1? + 1 ? √1 2 + 4 ? = √30 . 2

直线 l 经过点 P (5, 5) ,且和圆 C :x2 + y 2 = 25 相交于 A ,B 两点,截得的弦长为 4√5 , 求直线 l 的方程. 解:若直线 l 的斜率不存在,则 l :x = 5,与圆 C 相切,不合题意,所以直线 l 的斜率存 在. 设直线 l 的方程为 y ? 5 = k(x ? 5),即 kx ? y + 5(1 ? k) = 0. 如图所示, |OH | 是圆心到直线 l 的距离, |OA| 是圆的半径, |AH | 是弦长 |AB| 的一半. 在 Rt△AHO 中, |OA| = 5 ,|OH | = √|OA| 2 ? |AH | 2 = √5 .

? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

|5(1 ? k)| 1 或 k = 2. = √5 ,解得 k = ? ? ? ? ? 2 √k2 + 1 所以直线 l 的方程为 x ? 2y + 5 = 0 或 2x ? y ? 5 = 0.
所以

4.圆与圆的位置关系 描述: 圆与圆的位置关系 平面上两圆的位置关系有五种:

判断两圆的位置关系 判断圆 C1 :(x ? a1 )2 + (y ? b 1 )2 = r2 与圆 C2 :(x ? a2 )2 + (y ? b 2 )2 = r2 的位置关系, 1 2 主要有两种方法: 几何法:比较圆心距与两圆半径的关系,设两圆的圆心距为 d , 当 d > r1 + r2 时,两圆外离; 当 d = r1 + r2 时,两圆外切; 当 |r1 ? r2 | < d < r1 + r2 时,两圆相交; 当 d = |r1 ? r2 | 时,两圆内切; 当 0 ? d < |r1 ? r2 | 时,两圆内含. 例题: a 为何值时,两圆 C1 :x 2 + y 2 ? 2ax + 4y + a2 ? 5 = 0 和 C2 : x2 + y 2 + 2x ? 2ay + a2 ? 3 = 0 . (1)外切;(2)相交;(3)外离. 解:将两圆方程写成标准方程,

C1 : (x ? a)2 + (y + 2)2 = 9, C2 : (x + 1)2 + (y ? a)2 = 4
所以两圆的圆心和半径分别为 C1 (a, ?2),r1 = 3 ,C2 (?1, a),r2 = 2 . 设两圆的圆心距为 d ,则 d 2 = (a + 1)2 + (?2 ? a)2 = 2a2 + 6a + 5. (1)当 d = 5,即 2a2 + 6a + 5 = 25 时,两圆外切,此时 a = ?5 或 a = 2. (2)当 1 < d < 5,即 1 < 2a2 + 6a + 5 < 25 时,两圆相交,此时 ?5 < a < ?2 或 ?1 < a < 2 . (3)当 d > 5,即 2a2 + 6a + 5 > 25 时,两圆外离,此时 a > 2 或 a < ?5 . 求与圆 x 2 + y 2 ? 2x = 0 外切且与直线 y = 1 相切于点 M (?1, 1) 的圆的方程. 解:设所求圆的方程为 (x ? a)2 + (y ? b)2 = r2 (r > 0),圆 x2 + y 2 ? 2x = 0 的标准方程为 (x ? 1)2 + y 2 = 1,则

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? a = ?1, ? √(a ? 1) + b 2 = r + 1, 解得 ? b = 0, ? a = ?1, ? ? ? r = 1, |b ? 1| = r,
2

故所求圆的方程为 (x + 1)2 + y 2 = 1 .

+

2

? 4x ? 6 = 0

2

+

2

? 4y ? 6 = 0

求圆心在直线 x ? y ? 4 = 0 上,且经过两圆 x2 + y 2 ? 4x ? 6 = 0 和 x2 + y 2 ? 4y ? 6 = 0 的交点的圆的方程. 解:设两已知圆的交点分别为 A 、B ,由
2 2 { x2 + y 2 ? 4x ? 6 = 0, x + y ? 4y ? 6 = 0,

求得两圆交点坐标分别为 A(?1, ?1),B(3, 3). 设所求圆的方程为 (x ? a)2 + (y ? b)2 = r2 ,则

? ? a ? b ? 4 = 0, ? a = 3, ? (?1 ? a)2 + (?1 ? b)2 = r2 , 解得 ? b = ?1, ? 2 ? ? r = 16, (3 ? a)2 + (3 ? b)2 = r2 ,

所以所求圆的方程为 (x ? 3)2 + (y + 1)2 = 16 .

5.圆与圆的公共弦 描述: 两圆公共弦所在直线方程的求法 设圆C1 :x 2 + y 2 + D 1 x + E1 y + F1 = 0 ,圆C2 :x2 + y 2 + D 2 x + E2 y + F2 = 0 .
2 2 当两圆相交时,联立方程组{ x 2 + y 2 + D 1 x + E1 y + F1 = 0

x + y + D 2 x + E2 y + F2 = 0 (D 1 ? D 2 )x + (E1 ? E2 )y + F1 ? F2 = 0 ? ? ③. 若两圆交点为A(x 1 , y 1 ),B 1 (x 2 , y 2 ),可知 A、B 的坐标适合方程①② ,也适合方程③,因此方
程③就是经过两圆交点的直线方程. 公共弦长的求法 代数法:将两圆的方程联立,求出交点坐标,利用两点间的距离公式求弦长. 几何法:求出公共弦所在的直线方程,半径、弦心距、半弦长构成直角三角形的三边长,利用勾 股定理求弦长.

? ? ① ,① ? ②得 ??②

例题: 已知两圆 x 2 + y 2 ? 2x + 10y ? 24 = 0 和 x2 + y 2 + 2x + 2y ? 8 = 0. (1)判断两圆的位置关系; (2)求公共弦所在的直线方程; (3)求公共弦的长度. 解:(1)将两圆方程配方化为标准方程,

C1 : (x ? 1)2 + (y + 5)2 = 50, C2 : (x + 1)2 + (y + 1)2 = 10, ?. 则圆 C1 的圆心为 (1, ?5) ,半径 r1 = 5√2 ,圆 C2 的圆心为 (?1, ?1) ,半径 r2 = √? 10 ? ? ? 又因为 |C1 C2 | = 2√5 ,r1 + r2 = 5√2 + √? 10 ,r1 ? r2 = 5√2 ? √10 . ? <| |< +

所以 r1 ? r2 < |C1 C2 | < r1 + r2 ,故两圆相交. (2)将两圆方程相减,得公共弦所在直线方程为 x ? 2y + 4 = 0. (3)方法一:由(2)知圆 C1 的圆心 (1, ?5) 到直线 x ? 2y + 4 = 0 的距离

|

1

2|

=2

? ? ? ? ? ? |1 ? 2 × (?5) + 4| ? ? ? ? ? = 2√5 . 2 ? d 2 = 2√? ,所以公共弦长 √ = 3 l = 2 √ 5 50 ? 45 r 1 ? ? ? ? ? ? ? ? √1 + (?2)2 方法二:设两圆相交于点 A ,B ,则 A ,B 两点满足方程组 d= + 4 = 0, { x2? 2y 2 解得 { x = ?4, 或 { x = 0, y = 0, y = 2. x + y + 2x + 2y ? 8 = 0,
所以 |AB| = √(?4 ? 0)2 + (0 ? 2)2 = 2√5 ,即公共弦长为 2√5 .

? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?

6.直线与圆的位置关系 描述: 直线与圆的位置关系 1. 直线与圆相交,有两个公共点;

2. 直线与圆相切,有一个公共点;

3. 直线与圆相离,没有公共点.

判断直线与圆的位置关系 1. 几何法:直线 l :Ax + By + C = 0(A 2 + B 2 ≠ 0) ,以 O(a, b) 为圆心,以 r 为半径的 圆,圆心 O 到直线 l 的距离 d =

切:d = r;直线与圆相离:d > r. 2. 代数法:把直线的方程与圆的方程联立,得方程组,消去 y 或 x 整理得到关于 x 或 y 的一 元二次方程,其判别式为Δ ,直线与圆相交:Δ > 0 ;直线与圆相切:Δ = 0 ;直线与圆 相离:Δ < 0 .

|aA + bB + C | ? ? ? ? ? ? ? ,直线与圆相交:d < r;直线与圆相 √A 2 + B 2

相离:Δ < 0 . 例题: 当 m 为何值时,直线 mx ? y ? m ? 1 = 0 与圆 x2 + y 2 ? 4x ? 2y + 1 = 0 相交?相切? 相离? 解:法一:(几何法) 由已知,得圆心坐标为 (2, 1),半径 r = 2,圆心 (2, 1) 到直线 mx ? y ? m ? 1 = 0 的距离

d=
当 d = 2,即 m = 0 或 m = ?

|2m ? 1 ? m ? 1| |m ? 2| = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. √1 + m 2 √1 + m 2

4 时,直线与圆相切; 3 4 当 d < 2,即 m > 0 或 m < ? 时,直线与圆相交; 3 4 当 d > 2,即 ? < m < 0 时,直线与圆相离. 3
法二:(代数法) 将 y = mx ? m ? 1 代入圆的方程,化简并整理,得

(1 + m 2 )x2 ? 2(m 2 + 2m + 2)x + m 2 + 4m + 4 = 0.
可知 Δ = 4m(3m + 4).

4 时,直线与圆相切; 3 4 当 Δ > 0 ,即 m > 0 或 m < ? 时,直线与圆相交; 3 4 当 Δ < 0 ,即 ? < m < 0 时,直线与圆相离. 3
当 Δ = 0 ,即 m = 0 或 m = ?

7.曲线系 描述: 具有某种共同性质的所有曲线的集合,称为一个曲线系,并用含有一个参数的方程来表示.高中 常用的曲线系有直线系与圆系. 1. 直线系 具有某种共同属性的一类直线的集合,称为直线系.它的方程称直线系方程.几种常见的 直线系方程: (1)共点直线系:过已知点 P (x0 , y 0 ) 的直线系方程 y ? y 0 = k(x ? x0 ) (k 为参数) (2)平行直线系:斜率为 k 的直线系方程 y = kx + b (b 是参数)          与已知直线 Ax + By + C = 0 平行的直线系方程 Ax + By + λ = 0 (λ 为参数) (3)垂直直线系:与已知直线 Ax + By + C = 0 垂直的直线系方程 Bx ? Ay + λ = 0(λ 为参数) (4)过直线 l 1 :A 1 x + B 1 y + C1 = 0 与 l 2 :A 2 x + B 2 y + C2 = 0 的交点的直线系 方程:A 1 x + B 1 y + C1 + λ(A 2 x + B 2 y + C2 ) = 0(λ 为参数),此直线系不含直线 l 2 . 2. 圆系 具有某种共同属性的圆的集合,称为圆系.它的方程称为圆系方程.几种常见的圆系方 程:

( ?

2

+( ?

2

=

2

(1)同心圆系: (x ? x 0 )2 + (y ? y 0 )2 = r2 ,x0 、y 0 为常数,r 为参数. (2)过两已知圆 C1 :f 1 (x, y) = x2 + y 2 + D 1 x + E1 y + F1 = 0 和 C2 : f 2 (x, y) = x2 + y 2 + D 2 x + E2 y + F2 = 0 的交点的圆系方程为: x2 + y 2 + D 1 x + E1 y + F1 + λ(x2 + y 2 + D 2 x + E2 y + F2 ) = 0(λ ≠ ?1 ),不包含 圆 C2 . 注:若 λ = ?1 时,变为 (D 1 ? D 2 )x + (E1 ? E2 )y + F1 ? F2 = 0,其中两圆相交 时,此直线表示为公共弦所在直线,当两圆相切时,此直线为两圆的公切线,当两圆相离 时,此直线表示与两圆连心线垂直的直线. 3. 过直线与圆交点的圆系方程 设直线 l :Ax + By + C = 0 与圆 C :x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 相交,则过直线 l 与圆 C 交点的圆系方程为 x2 + y 2 + Dx + Ey + F + λ(Ax + By + C ) = 0. 例题: 求经过直线 l 1 :x + 2y ? 5 = 0 和直线 l 2 :x + y ? 3 = 0 的交点且和直线 l 3 : 3x + 4y ? 5 = 0 垂直的直线 l 的方程. 解:因为过 l 1 和 l 2 交点的直线系方程可写为

(x + 2y ? 5) + λ(x + y ? 3) = 0.
此方程不包含直线 l 2 . 整理得 (1 + λ)x + (2 + λ)y ? 5 ? 3λ = 0. 因为 l ⊥ l 3 ,所以 ? 为 l 的方程.

1+λ 4 11 ,代入 ① 式整理得 4x ? 3y + 2 = 0 ,即 = ,所以 λ = ? 2+λ 3 7

求解下列各题: (1)求过两圆 x 2 + y 2 + 6x ? 4 = 0 和 x2 + y 2 + 6y ? 28 = 0 的交点,且圆心在直线 x ? y ? 4 = 0 上的圆的方程; (2)求经过圆 C1 :x 2 + y 2 ? 6x = 0 与圆 C2 :x2 + y 2 = 4 的交点,且经过点 P (2, ?2) 的圆 C 的方程. 解:(1)设所求的圆的方程为 x 2 + y 2 + 6x ? 4 + λ(x2 + y 2 + 6y ? 28) = 0(λ ≠ ?1),即

x2 + y 2 +
所以圆心为 (?

6 6λ 4 + 28λ x+ y? = 0. 1+λ 1+λ 1+λ

3 3λ ,? ) ,且其在直线 x ? y ? 4 = 0 上,所以 1+λ 1+λ ? 3 3λ + ? 4 = 0. 1+λ 1+λ

解得 λ = ?7 . 故所求的圆的方程为 x 2 + y 2 ? x + 7y ? 32 = 0. (2)设所求圆 C 的方程为 x 2 + y 2 ? 6x + λ(x2 + y 2 ? 4) = 0(λ ∈ R, 且 λ ≠ ?1),由圆 C 过点 P (2, ?2) ,得 2 2 + (?2)2 ? 12 + λ[2 2 + (?2)2 ? 4] = 0 ,解得 λ = 1,故所求圆 C 的方 程为 2x 2 + 2y 2 ? 6x ? 4 = 0. 即 x 2 + y 2 ? 3x ? 2 = 0.

高考不提分,赔付1万元,关注快乐学kuailexue.com了解详情。


相关文章:
北师大版第二章解析几何初步教案-2.2《圆与圆的方...
北师大版第二章解析几何初步教案-2.2圆与圆的方程》小结与复习_数学_高中...四、教学过程: (一) .知识要点:学生阅读教材 P 142 的小结部分. (二) ....
北师大版必修2高中数学2.2《圆与圆的位置关系》wo...
北师大版必修2高中数学2.2圆与圆的位置关系》word教案_数学_高中教育_教育专区。总课题分课题 圆与方程 圆与圆的位置关系 总课时 分课时 第 36 课时 第 2...
最新北师大版2018-2019学年必修2高中数学《圆的一...
最新北师大版2018-2019学年必修2高中数学圆的一般方程》同步练习(1)-精编试题_数学_高中教育_教育专区。新--课--标 高中数学 2.2.2 圆的一般方程课时训练...
高中数学 2.2.2《圆的一般方程》教案 北师大版必修...
高中数学 2.2.2圆的一般方程》教案 北师大版必修2_高三数学_数学_高中教育_教育专区。总课题分课题 教学目标 圆与方程 总课时 分课时 第 34 课时 第 2 ...
...北师大版必修二【配套备课资源】圆与圆的方程(...
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学北师版必修二【配套备课资源】圆与圆的方程(一)_数学_高中教育_教育专区。2.2.1 圆的方程 第一课时一、基础...
最新北师大版2018-2019学年必修2高中数学《圆的一...
最新北师大版2018-2019学年必修2高中数学《圆的一般方程》同步练习-精编试题_数学_高中教育_教育专区。新--课--标 2.2 圆的一般方程练习 1 .圆的方程为 (x...
2017-2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程1.2椭圆...
2017-2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程1.2椭圆的简单性质(一)学案北师大版....2.根据几何条 件求出曲线方程,并利用曲线的方程研究它的性质、图形. 知识点...
最新北师大版2018-2019学年必修2高中数学《圆的标...
最新北师大版2018-2019学年必修2高中数学圆的标准方程》同步练习-精编试题_数学_高中教育_教育专区。新--课--标 高中数学 2.2.1 圆的标准方程课后训练 北...
北师大版数学必修2课时跟踪检测:(二十二)圆的一般...
北师大版数学必修2课时跟踪检测:(二十二)圆的一般方程_数学_高中教育_教育专区...2 ? 2.已知圆的方程为 x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆面积最大时,圆心...
...北师大版必修二【配套备课资源】圆与圆的方程(...
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学北师版必修二【配套备课资源】圆与圆的方程(二)_数学_高中教育_教育专区。第二课时一、基础过关 1. 方程 x2...
更多相关标签: