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立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离 高考考点精讲

1.两条异面直线所成角的求法 设 a,b 分别是两异面直线 l1,l2 的方向向量,则 l1 与 l2 所成的角 θ 范围 求法 π (0, ] 2 |a· b| cos θ= |a||b| a 与 b 的夹角 β [0,π] cos β= a· b |a||b| 2.直线与平面所成角的求法 设直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n,直线 l 与平面 α 所成的角为 θ,a 与 n 的夹 角为 β,则 sin θ=|cos β|= 3.求二面角的大小 (1)如图①,AB,CD 分别是二面角 α-l-β 的两个面内与棱 l 垂直的直线,则二面角的大小 → → θ=〈AB,CD〉 . |a· n| . |a||n| (2)如图②③,n1,n2 分别是二面角 α-l-β 的两个半平面 α,β 的法向量,则二面角的大小 θ 满足|cos θ|=|cos〈n1,n2〉|,二面角的平面角大小是向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角). 【知识拓展】 利用空间向量求距离(供选用) (1)两点间的距离 → 设点 A(x1,y1,z1),点 B(x2,y2,z2),则|AB|=|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2+?z1-z2?2. (2)点到平面的距离 如图所示,已知 AB 为平面 α 的一条斜线段,n 为平面 α 的法向量,则 B 到平面 α 的距离为 → n| → |AB· |BO|= . |n| 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( × ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( × ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( × ) π π (4)两异面直线夹角的范围是(0, ],直线与平面所成角的范围是[0, ],二面角的范围是[0, 2 2 π].( √ ) (5)若二面角 α-a-β 的两个半平面 α,β 的法向量 n1,n2 所成角为 θ,则二面角 α-a-β 的 大小是 π-θ.( × ) 1.(2017· 烟台质检)已知两平面的法向量分别为 m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二 面角为( A.45° C.45° 或 135° 答案 C m· n 1 2 解析 cos〈m,n〉= = = , |m||n| 1× 2 2 即〈m,n〉=45° . ∴两平面所成的二面角为 45° 或 180° -45° =135° . 1 2.已知向量 m,n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量和法向量,若 cos〈m,n〉=- ,则 2 l 与 α 所成的角为( A.30° 答案 A 1 解析 设 l 与 α 所成角为 θ,∵cos〈m,n〉=- , 2 B.60° ) C.120° D.150° ) B.135° D.90° 1 ∴sin θ=|cos〈m,n〉|= ,∵0° ≤θ≤90° ,∴θ=30° .故选 A. 2 3.(2016· 郑州模拟)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB, 则直线 BC1 与直线 AB1 所成角的余弦值为( ) A. C. 5 5 5 6 B. D. 5 3 5 4 答案 A → 解析 设 CA=2,则 C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,0,1),C1(0,2,0),B1(0,2,1),可得向量AB1=(- → → → 2,2,1),BC1=(0,2,-1),由向量的夹角公式得 cos〈AB1,BC1〉= 1 5 = ,故选 A. 5 5 4.(教材改编)如图,正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1 的底面边长为 2,侧 棱长为 2 2,则 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为________. = 4+4+1× 0+4+1 0+4-1 答案 π 6 → → → 解析 以 A 为原点, 以AB, AE(AE⊥AB), AA1所在直线为坐标轴(如图)建立空间直角坐标系, 设 D 为 A1B1 中点, → 则 A(0,0,0),C1(1, 3,2 2),D(1,0,2 2),∴AC1=(1, 3,2 2), → AD=(1,0,2 2). ∠C1AD 为 AC1 与平面 ABB1A1 所成的角, cos∠C1AD= → → AC1· AD → → |AC1||AD| ?1, 3,2 2?×?1,0,2 2? 3 = = , 2 12× 9 π? π 又∵∠C1AD∈? ?0,2?,∴∠C1AD=6. 5.P 是二面角 α-AB-β 棱上的一点,分别在平面 α、β 上引射线 PM、PN,如果∠BPM= ∠BPN=45° ,∠MPN=60° ,那么二面角 α-AB-β 的大小为________. 答案 90° 解析 不妨设 PM=a,PN=b,如图, 作 ME⊥AB 于 E,NF⊥AB 于 F, ∵∠EPM=∠FPN=45° , ∴PE= 2 2 a,PF= b, 2 2 → → → → → → ∴EM· FN=(PM-PE)· (PN-PF) → → → → → → → → =PM· PN-PM· PF-PE· PN+PE· PF =abcos 60° -a× 2 2 2 2 bcos 45° - a×bcos 45° + a× b 2 2 2 2 ab ab ab ab = - - + =0, 2 2 2 2 → → ∴EM⊥FN, ∴二面角 α-AB-β 的大小为 90° . 题型一 求异面直线所成的角 例1 (2015· 课标全国Ⅰ)如图,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120° ,E,F 是平面 ABCD 同一侧的两点,BE⊥平面 ABCD,DF⊥平面 ABCD,BE=2DF,AE⊥EC. (1)证明:平面 AEC⊥平面 AFC; (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值.