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2015年湖南省普通高中学业水平考试数学模拟试题


湖南省普通高中学业水平考试
数学模拟试题 一、选择题(本题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分) 1、已知集合 A={1,2,3,4},B={2,4,6},则 A U B 中的元素个数有( B ) A.2 个 B.5 个 C.6 个 D.7 个 1 3 2、已知向量 a=(1,0),b=(- , ),则 a 与 b 的夹角为( C ) 2 2 A.30? C.120? B.60? D.150?

3、有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体应是一个( A ) A.四棱台 B.四棱锥 C.四棱柱 D.长方体

正视图

侧视图

俯视图

4、在等比数列{an}中,a1=1,a5=4,则 a3=( A ) A.2 B.-2 C.±2 5、过点 A (1,-2)且斜率为 3 的直线方程是( A ) A.3x-y-5=0 B.3x+y-5=0 C.3x-y+1=0 D.3x+y-1=0 D. 2

6、PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.根据某地 某日早 7 点至晚 8 点甲、乙两个 PM2.5 监测点统计的数据(单位:毫克/每立方米)列 出的茎叶图,如图,则甲、乙两地所测数据的中位数 甲 乙 较小的是( B ) 2 0.04 1 2 3 6 A.甲 B.乙 9 3 0.05 9 C.甲乙相等 D. 无法确定 6 3 1 0.06 2 9 7、已知 tan( ? ? ? ) ? A.第一象限 C.第二象限

1 ,则 ? 所在的象限为( B 3
B.第一、第三象限 D.第二、第四象限



3

3 6

1 0.07 9 4 0.08 3 8 9

8、函数是 f (x)定义在 R 上的偶函数,且在(-∞,0]为单调递减函数,则( B ) A.f (-3)<f (-2)<f (1) C.f (-2)<f (1)<f (-3) B.f (1)<f (-2)<f (-3) D.f (-3)<f (1)<f (-2)

9、在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,若 c=1,b=2,C=30?,则 a=( A ) A. 3 C. 5 B.3 D.1

1 10、某程序框图如图所示,若分别输入如下四个函数:f (x)= ,f (x)=x2,f (x)=ex, x f (x)=sin x,则可以输出的函数是( D A.f (x)=x2 ) 1 x
开始 输入 f (x) f (x)+f (-x)=0? 是 f (x)存在零点? 否 否

B.f (x)=

C.f (x)=ex D.f (x)=sin x 二、填空题(本题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分) 11、计算 lg 20 ? lg 2 的结果为 【答案】1 12、不等式(x-1)(x+2)<0 的解集为 【答案】(-2,1) . .

是 输出 f (x) 结束

? 13、将函数 y=sin 2 x(x∈R)图象上所有的点向左平移 个单位长度,所得图象的函数解 6 析式为 【答案】y=sin (2x+ . ? )(x∈R) 3

14、某单位有青年职工 160 人,中年职工人数是老年职工人数的 2 倍,老、中、青职工共有 430 人.为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工 32 人,则该样本中的老年职工人数为 . 【答案】18 人
2 2 15、已知圆 O 的方程为 x ? y ? 1 ,直线 x ? y ? m 与圆 O 交于 A, B 两点,若 ?AOB 为直

角三角形,则 m ? 【答案】 m ? ?1

.

三、解答题(本题共 5 小题,共 40 分) 16(本题满分 6 分)已知函数 y ? (sin x ? cos x)2 . (1)求它的最小正周期和最大值; (2)求它的递增区间。 【解析】 (1) f ( x) ? (sin x ? cos x) ? 2sin x cos x ? 1 ? sin 2 x ? 1
2

? f ( x) 的最小正周期 T= ? , f ( x)max ? 2 ………..………………….3 分
(2)由 2k? ? 得 k? ?

?
2

? 2 x ? 2 k? ?

?
2

(k ? Z )

?
4

? x ? k? ?

?
4

,

? ?? ? ? f ( x) 的递增区间是 ? k? ? , k? ? ? (k ? Z ) …………………………..6 分 4 4? ?
17(本题满分 8 分)某种零件按质量标准分为五个等级.现从一批该零件中随机抽取 20 个, 对其等级进行统计分析,得到频率分布表如下: 等级 频率 一 0.05 二 0.35 三 m 四 0.35 五 0.10

(Ⅰ)求 m; (Ⅱ)从等级为三和五的所有零件中,任意抽取 2 个,求抽取的 2 个零件等级恰好相同 的概率. 【解析】 (Ⅰ)由频率分布表,得 0.05+0.35+m+0.35+0.10=1,即 m=0.15.??2 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得等级为三的零件有 3 个,记作 x1,x2,x3;等级为五的零件有 2 个, 记作 y1,y2.从 x1,x2, x3,y1,y2 中任意抽取 2 个零件,所有可能的结果为: (x1,x2),(x1,x3),(x1,y1),(x1,y2),(x2,x3),(x2,y1),(x2,y2),(x3,y1),(x3,y2), (y1,y2), 共计 10 种. ??4 分 记事件 A 为“从零件 x1,x2,x3,y1,y2 中任取 2 件,其等级相等” ,则 A 包含的基本事 4 件为(x1,x2),(x1,x3),(x2,x3),(y1,y2)共 4 个,故所求概率为 P(A)= =0.4?6 分 10 18(本题满分 8 分)如图,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,E、F 分别为 BC 和 PC 的中点. (1)求证:EF∥平面 PBD; (2)如果 AB=PD,求 EF 与平面 ABCD 所成角的正切值. 18.证: (1)在△PBC 中,E、F 为 BC 和 PC 的中点,所以 EF∥BP.因此

? ? EF ? 平面PBD ? ? EF ∥ 平面PBD .………………..4 分 PB ? 平面PBD ? ? EF ∥ PB
(2)因为 EF∥BP,PD⊥平面 ABCD, 所以∠PBD 即为直线 EF 与平面 ABCD 所成的角. 又 ABCD 为正方形,BD= 2 AB, 所以在 Rt△PBD 中, tan ?PBD ?

PB 2 . ? BD 2

第 18 题图

所以 EF 与平面 ABCD 所成角的正切值为 19(本题满分 8 分)已知函数 f ( x) ? a ?

2 .………………..8 分 2

2 (a ? R) . 2 ?1
x

(1)判断 f ( x ) 在定义域上的单调性并用定义证明; (2)要使 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【解】 (1)显然对任意 x ? R 有 2 ? 1 ? 0,
x

∴ f(x)的定义域为 R .

设 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x2 ,

2 2 2(2 x2 ? 2 x1 ) ? a ? ? 2x2 ? 1 2 x1 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1) x x x x ∵ y ? 2x 为增函数,且 x2 ? x1 , ∴ 2 2 ? 2 1 , 而 (2 1 ? 1)(2 2 ? 1) ? 0 恒成立. 于是 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,即 f ( x2 ) ? f ( x1 ), 故 f(x)是 R 上的增函数.........4 分 2 2 ? 0 恒成立,即 a ? x (2) f ( x) ? 0 恒成立,即 a ? x 恒成立, 2 ?1 2 ?1 2 2 令 u ( x) ? x ,则 a ? u ( x)max ,又 u ( x) ? x 在定义域内为减函数, 2 ?1 2 ?1 ∴ u ( x) ? 2 ,故 a 的取值范围是 [2, ??) ............8 分
则 f ( x2 ) ? f ( x 1 ) ? a ? 20(本题满分 10 分)在数列{an}中,a1=1, an?1 ? an ? 2 (n∈N*) . (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ?满足: anbn ? 1 ,当 n≥2,n∈N*时,不等式

bn ?1 ? bn ? 2 ? ? ? b2 n ?

12 (log 3 m ? log 2 m ? 1) 恒成立,求实数 m 的取值范围. 35

【解析】 (Ⅰ)由题意得 an?1 ? an ? 2 所以数列 ?an ?是以 1 为首项,2 为公差的等差数列, 故 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2n ?1 (2)令 f (n) ? bn?1 ? bn?2 ? ??4 分

? b2n

则: f (n ? 1) ? bn?2 ? bn?3 ?

? b2( n?1)

1 1 1 1 f (n+1)-f (n)= + - = >0, 4n+1 4n+3 2n+1 (4n+1)(4n+3)(2n+1) ∴函数 f (n)单调递增,....................................6 分 12 当 n≥2 时,[f (n)]min=f (2)= .................7 分 35 12 12 lg m lg m 故有 > (log3 m-log2 m+1),整理,得 log3 m<log2 m, < ,...............8 分 35 35 lg 3 lg 2 得 lg m(lg 3-lg 2)>0,..............................9 分 即 lg m>0,解得 m>1, 故实数 m 的取值范围是(1,+∞).

??10 分


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