2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.3.1空间直角坐标系学业分层测评苏教版必修2

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2.3.1 空间直角坐标系
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、填空题 1.若点 P(a,b,c)既在平面 xOy 内,又在平面 yOz 内,则 a+c=________. 【解析】 点 P 在平面 xOy 与平面 yOz 的交线 Oy 上,由其上点的特征知 a=0,c=0,b ∈R. 【答案】 0 2.在空间直角坐标系中,已知点 P(x,y,z),关于下列叙述: ①点 P 关于 x 轴对称的点的坐标是 P1(x,-y,z); ②点 P 关于 yOz 平面对称的点的坐标是 P2(x,-y,-z); ③点 P 关于 y 轴对称的点的坐标是 P3(x,-y,z); ④点 P 关于原点对称的点的坐标是 P4(-x,-y,-z). 其中叙述正确的序号是________. 【解析】 由图形几何性质知①②③错,④正确. 【答案】 ④ 3.如图 2-3-3 所示,多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEFG 所截而得,其中 AB =4,BC=1,BE=3,CF=4,按图建立空间直角坐标系,则 G 的坐标为________.

图 2-3-3 【解析】 ∵长方体的对面互相平行,且被截面 AEFG 所截, ∴交线 AG∥EF.又∵BE=3,CF=4, ∴DG=1,故 G 的坐标为(0,0,1). 【答案】 (0,0,1) 4.如图 2-3-4,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知点 B1 的坐标为(a,a,a),则点 D1 的坐 标为________.

图 2-3-4
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【解析】 由点 B1 的坐标为(a,a,a)知点 D1 的坐标为(0,0,a). 【答案】 (0,0,a) 5.已知点 M 到三个坐标平面的距离都是 1,且点 M 的三个坐标同号,则点 M 的坐标为 ________. 【解析】 根据点 M 到三个坐标平面的距离均为 1,结合点的对称性,知 M(1,1,1)或(- 1,-1,-1). 【答案】 (1,1,1)或(-1,-1,-1) 6.已知点 P′在 x 轴正半轴上,OP′=2,PP′在 xOz 平面上,且垂直于 x 轴,PP′=1, 则点 P′和 P 的坐标分别为________,________. 【导学号:41292118】 【解析】 由于 P′在 x 轴的正半轴上,故点 P′的坐标为(2,0,0),又 PP′在 xOz 平面 上,且垂直于 x 轴,故 P 点坐标为(2,0,±1). 【答案】 (2,0,0) (2,0,±1) 1 7.正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 1,且|BP|= |BD′|,建立如图 2-3-5 所示的 3 空间直角坐标系,则 P 点的坐标为________.

图 2-3-5 【解析】 如图所示,过 P 分别作平面 xOy 和 z 轴的垂线,垂足分别为 E,H,过 E 分别 1 1 1 作 x 轴和 y 轴的垂线,垂足分别为 F,G,由于|BP|= |BD′|,所以|DH|= |DD′|= ,|DF| 3 3 3 2 = |DA| 3

2 2 2 ?2 2 1? = ,|DG|= |DC|= ,所以 P 点的坐标为? , , ?. 3 3 3 ?3 3 3?

?2 2 1? 【答案】 ? , , ? ?3 3 3?
8.如图 2-3-6, M-OAB 是棱长为 a 的正四面体,顶点 M 在底面 OAB 上的射影为 H,则 M

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的坐标是________.

图 2-3-6 【解析】 由 M-OAB 是棱长为 a 的正四面体知 B? 又点 H 为△OAB 的中心知 H? 从而得 M 的坐标是? 【答案】 ? 二、解答题 9.在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,所有的棱长都是 1,建立适当的坐标系, 并写出各点的坐标. 【导学号:41292119】 【解】 如图所示,取 AC 的中点 O 和 A1C1 的中点 O1,

? 3 1 ? a, a,0?,A(0,a,0),O(0,0,0). 2 ?2 ?

? 3 1 ? a, a,0?, 2 ?6 ?

6 ? ? 3 1 a, a, a?. 2 3 ? ?6

6 ? ? 3 a a, , a? 6 2 3 ? ?

连结 BO,OO1,可得 BO⊥AC,BO⊥OO1,分别以 OB,OC,OO1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴 建立空间直角坐标系. ∵各棱长均为 1, 1 3 ∴OA=OC=O1C1=O1A1= ,OB= . 2 2 ∵A,B,C 均在坐标轴上, 1 ? ? 3 ? ? 1 ? ? ∴A?0,- ,0?,B? ,0,0?,C?0, ,0?. 2 ? ? ?2 ? ? 2 ? ∵点 A1,C1 均在 yOz 平面内, 1 ? ? ? 1 ? ∴A1?0,- ,1?,C1?0, ,1?. 2 ? ? ? 2 ? ∵点 B1 在 xOy 面内的射影为点 B,且 BB1=1, ∴B1?
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? 3 ? ,0,1?. ?2 ?
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10.如图 2-3-7,已知长方体 ABCD-A1B1C1D1,AB=2,AA1=1,直线 BD 与平面 AA1B1B 所 成的角为 30°,AE 垂直 BD 于点 E,F 为 A1B1 的中点,请建立适当的空间直角坐标系,求出点

A,B,C,D,E,F 的坐标.

图 2-3-7 【解】 ∵ABCD-A1B1C1D1 为长方体,∴可以以顶点 A 为原点,以棱 AB,AD,AA1 所在的直 线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.

∵AD⊥平面 AA1B1B,∴∠ABD 就是直线 BD 与平面 AA1B1B 所成的角,∠ABD=30°, ∴Rt△BAD 中, 由 AB=2, AE⊥BD, ∠ABD=30°可解得 AD=AB·tan 30°=2× 3 2 3 = , 3 3

BD=2AD=

4 3 ,AE=1. 3

过点 E 在平面 ABCD 内作 AB 的垂线 EM,垂足为点 M,∴Rt△AEM 中,EM=AE·sin 60°= 3 , 2

AM=AE·cos 60°= .
又长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,

1 2

AA1=1,F 为 A1B1 的中点,
∴A(0,0,0),B(2,0,0),A1(0,0,1),

B1(2,0,1),C?2, E? ,

? ?

2 3 ? ? 2 3 ? ,0?,D?0, ,0?, 3 3 ? ? ?

?1 ?2

3 ? ,0?,F(1,0,1). 2 ? [能力提升]

1.空间两点 A,B 的坐标分别为(x,-y,z),(-x,-y,-z),则 A,B 两点的位置关 系是________. 【解析】 由 A,B 两点的坐标可知关于 y 轴对称. 【答案】 关于 y 轴对称
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2.在空间直角坐标系中,点 M 的坐标是(4,7,6),则点 M 关于 y 轴的对称点在坐标平面

xOz 上的射影的坐标为________.
【解析】 点 M 关于 y 轴的对称点是 M′(-4,7,-6),点 M′在坐标平面 xOz 上的射影 是(-4,0,-6). 【答案】 (-4,0,-6) 3.如图 2-3-8 所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,∠BCD=60°,E 是 CD 的中点,PA⊥底面 ABCD,PA=2.试建立适当的空间直角坐标系,写出 A,B,C,D,P,

E 的坐标.

图 2-3-8

A________,B________,C________, D________,P________,E________.
【解析】 如图所示,以 A 为原点,以 AB 所在直线为 x 轴,AP 所在直线为 z 轴,与过点

A 与 AB 垂直的直线 AG 所在直线为 y 轴,建立空间直角坐标系.

3 ? ?1 3 ? ?3 则相关各点的坐标分别是 A(0,0,0),B(1,0,0),C? , ,0?,D? , ,0?,P(0,0,2), ?2 2 ? ?2 2 ?

E?1,

? ?

3 ? ,0?. 2 ? 3 ? ?1 3 ? ?3 (1,0,0) ? , ,0? ? , ,0? ?2 2 ? ?2 2 ? (0,0,2) ?1,

【答案】 (0,0,0) 不唯一)

? ?

3 ? ,0?(答案 2 ?

4.如图 2-3-9 所示,AF,DE 分别是圆 O,圆 O1 的直径,AD 与两圆所在的平面均垂直,

AD=8,BC 是圆 O 的直径,AB=AC=6,OE∥AD,试建立适当的空间直角坐标系,求出点 A,B, C,D,E,F 的坐标.
【导学号:41292120】

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图 2-3-9 【解】 因为 AD 与两圆所在的平面均垂直,OE∥AD, 所以 OE⊥平面 ABC. 又 AF? 平面 ABC,BC? 平面 ABC, 所以 OE⊥AF,OE⊥BC, 又 BC 是圆 O 的直径, 所以 OB=OC, 又 AB=AC=6, 所以 OA⊥BC,BC=6 2. 所以 OA=OB=OC=OF=3 2. 如图所示,以 O 为原点,以 OB,OF,OE 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直 角坐标系,

所以 A(0,-3 2,0),B(3 2,0,0),C(-3 2,0,0),D(0,-3 2,8),E(0,0,8),F(0,3 2, 0).
.x 本 虑 头 回 再 然 抢 出 一 果 如 小 较 间 答 排 安 合 值 分 易 难 各 道 知 略 粗 题 览 浏 先 笔 动 于 急 不 后 卷 到 拿 淡 Comingbackhetv,flydIswTVrup!试 阵 上 装 轻 掉 丢 全 会 社 校 庭 家 平 将 要 需 生 学 成 加 参 力 压 少 减 松 放 吸 呼 深 做 当 适 定 稳 来 自 等 真 认 静 、 ” 能 我 “ 用 时 。 节 调 场 临 行 进 绪 情 张 紧 解 缓 示 暗 过 通 可 , 备 准 理 心 的 前 考

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