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高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.8 点到平面的距离若干求解方法素材 湘教版2-1 精

点到平面的距离若干求法
1 定义法求点到平面距离(直接法) 定义法求点到平面距离是根据点到平面的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段,进而根据平
面几何的知识计算垂线段长度而求得点与平面距离的一种常用方法。定义法求点到平面距离的关键在于 找出或作出垂线段,而垂线段是由所给点及其在平面射影间线段,应而这种方法往往在很多时候需要找 出或作出点在平面的射影。 以下几条结论常常作为寻找射影点的依据: (1)两平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另 一个平面。 (2) 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等,那么这个点在该平面内的射影在这个角的角平 分线所在的直线上。 (3)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线。设斜线和已知两边的夹角为锐角且相等,则这条斜线在 这个平面的射影是这个角的角平分线。 (4)若三棱锥的三条棱长相等,则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。
例 如图 4 所示,所示的正方体 ABCD ? A?B?C?D? 棱长为 a ,求点 A? 到平面 AB?D? 的距离。(注:本文
所有解法均使用本例)
图4
解法一(定义法):如图 5 所示,连结交 B?D? 于点 E ,再连结 AE ,过点 A?作 A?H 垂直于 AE ,垂足 为 H ,下面证明 A?H ? 平面 AB?D? 。
1

图5
AA? ?平面 A?B?C?D? ? B?D? ? AA? 又 在正方形 A?B?C?D? 中,对角线 B?D? ? A?C?,且 AA? A?C? ? A?
AA? ? 平面 AA?E , A?C? ? 平面 AA?E ?由线面垂直的判定定理知道 B?D? ? 平面 AA?E
A?H ? 平面 AA?E ? A?H ? B?D? 又由 A?H 的作法知道 A?H ? AE ,且有 B?D? AE ? E , B?D? ? 平面 AB?D? , AE ?平面 AB?D? ?由线面垂直的判定定理知道 A?H ? 平面 AB?D? 根据点到平面距离定义, A?H 的长度即为点 A?到平面 AB?D? 的距离,下面求 A?H 的长度。
?AB?D? 中,容易得到 AB? ? B?D? ? D?A ? 2a ,从而 ?AB?D? 为正三角形, ?AB?D? ? 600 。

进而在 Rt?AB?E 中, AE ? AB?sin ?AB?D? ? 2a sin 600 ? 6 a 。 2

由 S?AA?E

?

1 2

AA? ?

A?E

?

1 2

AE ?

A?H

得到

A?H

?

AA?? A?E

?

AA?? 1 2

A?C?

?

a?1 2

2 ?

3a

AE

AE

6

3

2

从而 A?到平面 AB?D? 的距离为 3 a 。 3
3.2 转化法求点到平面距离 有时候限于几何体的形状,不易直接寻找出点在平面的射影,或者由直接法作出的射影线段在所给几

2

何体中不易计算其长度,此时转化法不失为一种有效的方法。转化法即是将点到平面的距离转化为另一 点到平面间的距离的方法。 转化法依据主要有以下两点:
(1)若直线 l / / 平面? ,则直线 l 上所有点到平面? 的距离均相等。 (2)若直线 AB 与平面? 交于点 M ,则点 A 、B 到平面? 的距离之比为 AM : BM 。特别地,当 M 为 AB 中点时, A 、 B 到平面? 的距离相等。
下面用转化法重解上面例题 解法二(转化法)
如图 6 所示,连结 AC 、 A?C 、 A?C? 、 A?B 、 AB? , A?C? 交 B?D? 于点 E ,连结 AE 交 AC 于点 H ,延长 A?C? 至点 G 使得 C?G ? 1 A?C? ,连结 CG 。
2

图6

CB ? 平面 AA?B?B

?从而斜线 A?C 在平面 AA?B?B 的射影为 A?B

A?B 、 AB?为正方形 AA?B?B 对角线

? AB? ? A?B ,

?由三垂线定理知道 AB? ? A?C

同理可以得到 AD? ? A?C

又 AB? AD? ? A , AB? ? 平面 AB?D? , AD? ? 平面 AB?D?

? A?C ? 平面 AB?D?

? A?H ? 平面 AB?D? ,即点 H 为 A?在平面 AB?D? 的射影, A?H 的长度为所求

AC / / A?C?即 AC / /EG ,且 EG ? EC? ? C?G ? 1 A?C? ? 1 A?C? ? A?C? ? AC

2

2

?四边形 ACGE 为平行四边形

3

? AE / /CG
在 ?A?CG 由等比性质有 A?H ? AE ? 1 A?C EG 3
? A?H ? 1 A?C 3
而在正方体 ABCD ? A?B?C?D? 中对角线 A?C ? A?A2 ? AB2 ? BC2 ? 3a

? A?H ? 3 a 3
在本例中,未直接计算垂线段 A?H 的长度,而是找出了其与正方体 ABCD ? A?B?C?D? 中对角线 A?C 的数量关系,从而转化为求正方体 ABCD ? A?B?C?D? 对角线 A?C 长度,而 A?C 长度是极易计算的,故用
这种转化方法降低了运算量。本例运用的转化方法与依据(2)类似,都是寻求所要求的垂线段与某一已知 或易求线段的数量关系,从而简化计算。 3.3 等体积法求点到平面距离
用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想,即要将所要求的垂线段置于一个四面体中, 其中四面体的一个顶点为所给点,另外三点位于所给点射影平面上,这里不妨将射影平面上的三点构成 的三角形称为底面三角形。先用简单的方法求出四面体的体积,然后计算出底面三角形的面积,再根据
四面体体积公式V ? 1 Sh 求出点到平面的距离 h 。在常规方法不能轻松获得结果的情况下,如果能用到 3
等体积法,则可以很大程度上提高解题效率,达到事半功倍的效果。特别是遇到四面体的有一条棱垂直 于其所相对的底面时,首选此方法。下面用等体积法求解上面例子.
解法三(等体积法):如图 7 所示,作 A?H 垂直于平面 AB?D? 于点 H ,则 ABD? ? 长度为所求。对于四 面体 A?AB?D? ,易见底面 AB?D? 的高为 A?H ,底面 A?B?D?的高为 AA? 。对四面体 A?AB?D? 的体积而言
有:

V ? V A? A?B?D?

A?? AB?D?

4

图7

即有:

1 3

AA?? S?A?B?D?

?

1 3

A?H

? S?AB?D?

也即: A?H ? AA?? S?A?B?D? S?AB?D?

由 AB? ? B?D? ? D?A ? 2a ,从而 ?AB?D? 为正三角形, ?AB?D? ? 600 ,进而可求得

S?AB?D?

?

1 2

AB? ?

AD? sin

?AB?D?

?

1 2

(

2a)2 sin 600 ?

3 a2 2

又易计算得到

Rt?A?B?D? 的面积为

S?A?B?D?

?

1 2

a2

所以 A?H

?

AA? ? S?A?B?D?

?

a? 1 a2 2

?

3a

S?AB?D?

3 a2

3

2

从上面的解答过程知道,我们在使用等体积法求点到平面距离时使用的点与平面间的垂线段只是

概念上的,并不一定要知道点在平面射影的具体位置,从而也就不需要使用几何方法寻找或者求作垂线

段,垂线段的长度在这种方法上只是作为几何体高的意义而存在的。

3.4 利用二面角求点到平面距离

如图 8 所示,l 为二面角? ? l ? ? 的的棱,?AOB 为二面角? ? l ? ? 的一个平面角。下面考虑点 B

到平面? 的距离。作 BH ? OA ,垂足为 H ,下面证明 BH ?平面? 。

5

图8
?AOB 为二面角? ? l ? ? 的一个平面角 ? OA ? l 、 OB ? l 又 OA OB ? O ? l ? 平面 AOB 又 BH ? 平面 AOB ? BH ? l 又 BH ? OA, OA l=O , OA ? 平面? , l ? 平面? ? BH ?平面? 在 Rt?OBH 中,有
BH ? OBsin ?BOH .....................①
这个公式就建立点到平面距离与二面角的一个数量关系。从而如果能将点与平面置于一个二面角中,则 可利用通过所给点关于平面的一条斜线及二面角计算点与平面间的距离。 下面利用二面角法求解上面例子。
解法四(二面角法):如图 9 所示,连结 A?B 、 AB? , A?B 与 AB? 相交于点 O ,连结 D?O 。 A?B 与 AB?为正方形 ABB?A? 的对角线 ? A?B ? AB? (即 A?O ? AB? ), O 为 AB?中点
6

图9
又 ?AB?D? 中 AD? ? B?D? ? D?O ? AB? ? ?A?OD? 为二面角 A? ? AB? ? D? 的平面角
设 A? 到平面 AB?D? 的距离为 d , OA? 是过点 A? 的关于平面 AB?D? 的一条斜线,又上面得到的公
式 ①有
d ? OA?sin ?A?OD? 易见, D?A? ? 平面 ABB?A? ,从而 D?A? ? OA?.在 Rt?A?OD? 中有
tan ?A?OD? ? A?D? ? a ? 2 OA? 2 a 2
从而点 A?到平面 AB?D? 的距离为

d ? OA?sin ?A?OD? ? 2 a sin(arctan 2) ? 2 a ? 2 ? 3 a

2

2

33

3.5 向量法求点到平面的距离

向量法求点到平面的距离主要是依据如下结论: 点到平面的距离等于这个与平面上任一点所连接的

向量与该平面法向量方向上的单位向量数量积的绝对值。

证明:如图 10 所示,P 为平面? 外一点,Q 为平面上任意一点,PO ? 平面? 于点 O ,n 为平面?

的单位法向量。

PQ n ?| PQ | | n | cos ? PQ, n ??| PQ |cos ? PQ, n ?

图 10
? | PO |?| PQ |cos ?QPO ?| PQ | | cos ? PQ, n ?|?|| PQ |cos ? PQ, n ?|?| PQ n |

7

| PO |?| PQ n | .....................②
这个公式将点到平面的距离转化为了过所给点的任意斜线上的起点和终点分别在所给点及所给平面 上一点的向量与平面法单位法向量的内积。 下面用向量法从新求解上面例子
解法五(向量法) 如图 11 所示以 D 点为原点, DA , DC , DD? 所在的正方向分别 x , y , z 轴的
正方向建立空间直角坐标系。

图 11
由所给条件知道坐标点 A(a, 0, 0) 、 A?(a,0, a) , B?(a, a, a) , D?(0, 0, a) ,从而有 AB? ? (0, a, a) ,

AD? ? (?a, 0, a) , AA? ? (0, 0, a) 。设平面 AB?D? 的任意一个法向量为 n0 ? (x, y, z) ,则有 n0 ? AB? ,

n0 ? AD?, 即
代入已知得到

???n0 AB? ? 0 ??n0 AD? ? 0

?ay ? az ? 0 ???ax ? az ? 0

这是一个关于 x, y, z 的不定方程,为了方便起见,不妨设 z ?1,这样上式变为

解该式得到 x ? 1, y ? ?1

?ay ? a ? 0 ???ax ? a ? 0

这样就得到平面 AB?D? 的一个法向量为 n1 ? (1, ?1,1) ,将其单位化得到平面 AB?D? 的一个单位法

8

向量为 n ? n1 ? ( 1 , ?1 , 1 ) 。设点 A?到平面 AB?D? 的距离为 d ,结合②式所给出的结论有 | n1 | 3 3 3

d ?| AA? n |?| 0? 1 ? 0? ?1 ? a ? 1 |? 3

3

3

33

即点 A?到平面 AB?D? 的距离为 3 。 3
从上面的解答过程可以看到,用向量法求解点到平面的距离比之前面提供的几种几何方法而言,这 种方法不需要大量的几何证明,而主要是较为机械地进行代数运算。因而在实际使用这种方法时, 第一步建立空间直角坐标系常常成为最为关键的步骤,如果所建立的坐标系不能确定所给几何图形 中关键点(所给平面外点及所给平面上不共线的任意三个点)在建立的坐标系的坐标,则无法进行 后续步骤;如果所建立的坐标系虽然能够表示的关键点的坐标,但在所建立的坐标系中得到关键点坐 标的计算过程复杂,或者得到的关键点坐标表达式复杂,都将会导致繁琐的的计算。因此,选择恰
当的直角坐标系对于使用本方法及简化计算都是相当重要的。精品推荐 强力推荐 值 得拥有
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