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第八讲:一元一次不等式(组)应用


第八讲

一元一次不等式 ( 组 ) 应用题

【例 1 】某旅游团有 48 人到某宾馆住宿,若全安排住宾馆的底层,每间住 4 人,房间不够;每间住 5 人, 有一个房间没有住满 5 人。问该宾馆底层有客房多少间 ?

练习 1. 把一些书分给几个学生,如果每人分 3 本,那么余 8 本;如果前面的每个学生分 5 本,那么最后一 人就分不到 3 本。问这些书有多少本?学生有多少人?

练习 2. 某中学为八年级寄宿学生安排宿舍,如果每间 4 人,那么有 20 人无法安排,如果每间 8 人,那么有 一间不空也不满,求宿舍间数和寄宿学生人数。 设宿舍有 x 间 ∵如果每间数宿舍住 4 人,则有 20 人没有宿舍住 ∴学生人数为 4x+20 ∵如果每间住 8 人, 则有一间宿舍住不满 ∴ 0<8x- ( 4x+20 ) <8, x 为整数 ∴ 0<4x-20<8 ∴ 20<4x<28 ∴ 5<x<7 ∴ x=6 即宿舍有 6 间,学生人数有 4x+20=44 人

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【例 2 】 某单位计划 10 月份组织员工到 H 地旅游人数估计在 10 ~ 25 人之间,甲、乙两旅行社的服务质量 相同,且组织到 H 地旅游的价格都是每人 200 元.该单位联系时,甲旅行社表示可给予每位游客七五折优 惠;乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用,其余游客八折优惠;问该单位应怎样选择,使其支付的 旅游总费用较少?

练习 1.某单位要印刷一批宣传资料,在需要支付制版费 600 元和每份资料 0.3 元印刷费的前提下,甲、乙两个印刷 厂分别提出了不同的优惠条件,甲印刷厂提出:凡印刷数量超过 2000 份的,超过部分的印刷费可按 9 折收费;乙印 刷厂提出:凡印刷数量超过 3000 份的,超过部分印刷费可按 8 折收费. (1) 若该单位要印刷 2400 份宣传资料,则甲印刷厂的费用是______,乙印刷厂的费用是______. (2) 根据印刷数量大小,请讨论该单位到哪家印刷厂印刷资料可获得更大优惠?
解:设该单位需印刷 x 份资料,共需费用为 y 元. (i)当 0<x≤2000 时,无论到哪家印刷厂印刷资料,都一样优惠. (ii)当 2000<x≤3000 时,甲印刷厂有打折,而乙印刷厂没打折,显然到甲印刷厂可获得更大优惠. (iii)当 x>3000 时,可分别得到费用的两个函数 y 甲=600+2000×0.3+0.9×0.3(x-2000)=0.27x+660 令 y 甲=y 乙,即 0.27x+660=0.24x+780 令 y 甲>y 乙,即 0.27x+660>0.24x+780 令 y 甲<y 乙,即 0.27x+660<0.24x+780 当 x>4000,到乙印刷厂可获得更大优惠. y 乙=600+3000×0.3+0.8×0.3(x-3000)=0.24x+780 解得 x=4000,所以当印刷 4000 份资料时,无论到哪家印刷,都一样优惠. 解得 x>4000,所以当印刷大于 4000 份资料时,到乙印刷厂可获得更大优惠. 解得 x<4000,所以当印刷大于 3000 且小于 4000 份资料时,到甲印刷厂可获得更大优惠.

综上所述,当 0<x≤2000 或 x=4000 时,无论到哪家印刷,都一样优惠.当 2000<x<4000 时,到甲印刷厂可获得更大优惠.

练习 2.2008 年 5 月 12 日,汶川发生了里氏 8.0 级地震,给当地人民造成了巨大的损失.某中学全体师生积极捐 款,其中九年级的 3 个班学生的捐款金额如下表:老师统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上, 但他知道下面三条信息:信息一:这三个班的捐款总金额是 7700 元;信息二:二班的捐款金额比三班的捐款金 额多 300 元;信息三:一班学生平均每人捐款的金额大于 ..48 元,小于 ..51 元.请根据以上信息,帮助老师解决: (1)二班与三班的捐款金额各是多少元?(2)一班的学生人数是多少?

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【例 3 】某工人加工 300 个零件,若每小时加工 50 个就可按时完成;但他加工 2 小时后,因事停工 40 分钟.那么 这个工人为了按时或提前完成任务,后面的时间每小时他至少要加工多少个零件?

练习 1.某城市平均每天产生垃圾 700 吨,由甲、乙两个垃圾厂处理.如果甲厂每小时可处理垃圾 55 吨,需花费 550 元;乙厂每小时处理 45 吨,需花费 495 元.如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用的和不能超过 7150 元,问甲 厂每天至少要处理多少吨垃圾? . (1)设甲、乙两厂同时处理,每天需 x 小时. 得: (55+45)x=700,(3 分) 解得:x=7(小时) (2 分) 答:甲、乙两厂同时处理,每天需 7 小时. (2)设甲厂需要 y 小时. 由题知:甲厂处理每吨垃圾费用为 55055=10 元, 乙厂处理每吨垃圾费用为 49545=11 元. 则有 550y+11(700-55y)≤7370, 解得:y≥6. 答:甲厂每天处理垃圾至少需要 6 小时. 练习 2.某零件制造车间有 20 名工人, 已知每名工人每天可制造甲种零件 6 个或乙种零件 5 个, 且每制造一个甲种零 件可获利 150 元,每制造一个乙种零件可获利 260 元.在这 20 名工人中,车间每天安排 x 名工人制造甲种零件,其 余工人制造乙种零件. (1)若此车间每天所获利润为 y(元),用 x 的代数式表示 y. (2)若要使每天所获利润不低于 24000 元,至少要派多少名工人去制造乙种零件?

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【例 4 】 某货运码头,有稻谷和棉花共 2680t,其中稻谷比棉花多 380t. (1)求稻谷和棉花各是多少? (2)现安排甲、乙两种不同规格的集装箱共 50 个,将这批稻谷和棉花运往外地.已知稻谷 35t 和棉花 15t 可装满 一个甲型集装箱;稻谷 25t 和棉花 35t 可装满一个乙型集装箱.按此要求安排甲、乙两种集装箱的个数,有 哪几种方案?

练习 1.某校团委为了教育学生,开展了以感恩为主题的有奖征文活动,并为获奖的同学颁发奖品.小红与小明去文化 商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品,若买甲种笔记本 20 个,乙种笔记本 10 个,共用 110 元; 且买甲种笔记本 30 个比买乙种笔记本 20 个少花 10 元. (1)求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元? (2)若本次购进甲种笔记本的数量比乙种笔记本的数量的 2 倍还少 10 个,且购进两种笔记本的总数量不少于 80 本,总金额不超过 320 元.请你设计出本次购进甲、乙两种笔记本的所有方案.

练习 2.某儿童服装店欲购进 A、B 两种型号的儿童服装.经调查:B 型号童装的进货单价是 A 型号童装的进货单价 的两倍,购进 A 型号童装 60 件和 B 型号童装 40 件共用去 2100 元. (1)求 A、B 两种型号童装的进货单价各是多少元? (2)若该店每销售 1 件 A 型号童装可获利 4 元,每销售 1 件 B 型号童装可获利 9 元,该店准备用不超过 6300 元 购进 A、B 两种型号童装共 300 件,且这两种型号童装全部售出后总获利不低于 1795 元.问该店应该怎样 安排进货,才能使总获利最大?最大总获利为多少元?

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练习 3.我市某县筹备 20 周年县庆,园林部门决定利用现有的 3490 盆甲种花卉和 2950 盆乙种花卉搭配 A、B 两种园 艺造型共 50 个摆放在迎宾大道两侧,已知搭配一个 A 种造型需甲种花卉 80 盆,乙种花卉 40 盆,搭配一个 B 种造 型需甲种花卉 50 盆,乙种花卉 90 盆. ⑴ 某校九年级⑴班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计, 问符合题意的搭配方案有几种?请你帮助设 计出来. ⑵ 若搭配一个 A 种造型的成本是 800 元,搭配一个 B 种造型的成本是 960 元,试说明⑴中哪种方案成本最低?最 低成本是多少元?

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提高
1. 在“5·12 大地震”灾民安置工作中,某企业接到一批生产甲种板材 24000m2 和乙种板材 12000m2 的任务.某灾民安 置点计划用该企业生产的这批板材搭建 A,B 两种型号的板房共 400 间,在搭建过程中,按实际需要调运这两种板 材.已知建一间 A 型板房和一间 B 型板房所需板材及能安置的人数如下表所示: 板房型号 A 型板房 B 型板房 问:这 400 间板房最多能安置多少灾民? 甲种板材 54 m 78 m
2 2

乙种板材 26 m 41 m
2 2

安置人数 5 8

2.2010 年的世界杯足球赛在南非举行,为了满足球迷的需要,某体育服装店老板计划到服装批发市场选购 A、B 两 种品牌的服装。据市场调查得知,销售一件 A 品牌服装可扶利润 25 元,销售一件 B 品牌服装可扶利润 32 元.根据 市场需要,该店老板购进 A 种品牌服装的数量比购进 B 种品牌服装的数量的 2 倍还多 4 件,且 A 种品牌服装最多 可购进 48 件,若服装全部售出后,老板可获得的利润不少于 l740 元.请你分析这位老板可能有哪些选购方案?
解:设 B 品牌进购 X 件,则 A 品牌进购(2X+4)件。 由题意得 32X+25(2X+4)>=1740 2X+4<=48 解之得 X>=20 X<=22 不等式组的解 集为 20<=X<=22 ∴有三种方案①X=20 2X+4=44 ②X=21 2X+4=46 ③X=22 2X+4=48

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3.某学校计划组织 385 名师生租车旅游,现知道出租公司有 42 座和 60 座客车,42 座客车的租金为每辆 320 元,60 座客车的租金为每辆 460 元. (1)若学校单独租用这两种客车各需多少钱? (2) 若学校同时租用这两种客车 8 辆(可以坐不满), 而且比单独租用一种车辆节省租金, 请选择最节省的租车方案.
(1)先求出单独租用每种车的辆数,然后乘以每种车辆的租金即可求出单独租用每种车辆的费用 (1)∵385÷42≈10 辆, ∴单独租用 42 座客车需 10 辆,租金为 320×10=3200 元, ∵385÷60≈7 辆, ∴单独租用 60 座客车需 7 辆,租金为 460×7=3220 元. (2)根据租用的 8 辆客车所载的总人数应大于等于师生的总人数和所需的费用应比单独租用车辆的费用少,列出不等式组进行求解,然后分类讨论 (2) 设租用 42 座客车 x 辆, 则 60 座客车(8-x)辆, 由题意得 42x+60(8-x)≥385 320x+460(8-x)<3200 , 解:42x+60(80-x)≥385, 解得:x≤55 18 , 解 320x+460(8-x)<3200, 解得:x>33 7 , ∴不等式组的解集为: 33 7 <x≤55 18 , ∵x 取整数 ∴x=4,5 当 x=4 时,租 金为 320×4+460×(8-4)=3120 元; 当 x=5 时,租金为 320×5+460×(8-5)=2980 元. 答:租用 42 座客车 5 辆,60 座客车 3 辆时,租金最 少.

4.某次数学竞赛活动,共有 16 道选择题,评分办法是:答对一题给 6 分,答错一题倒扣 2 分,不答题不得分也不扣 分.某同学有一道题未答,那么这个学生至少答对多少题,成绩才能在 60 分以上?
设其答对 x 题,则答错(15-x)题(有一题没答) 6x-2(15-x)>60 6x-30+2x>60 8x>90 x>90/8 因为 x 为整数 说以 x≥12 x 至少 12

5.某种商品进价为 150 元, 出售时标价为 225 元, 由于销售情况不好, 商品准备降价出售, 但要保证利润不低于 10%, 那么商店最多降价多少元出售商品?
可以降低 x 元 所以 (225-x)≥150(1+10%) 225-x≥165 x≤60 最多降价 60 元

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