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人教新课标版(A)高二选修1-1 2.2.3双曲线的简单几何性质(一)同步练习题

人教新课标版(A)高二选修 1-1 2.2.3 双曲线的简单几何性质(一) 同步练习题 【基础演练】 题型一:由双曲线的方程研究其几何性质 请根据以上知识解决以下 1~4 题。 1. 双曲线 3x 2 ? y 2 ? 3 的渐近线方程是 A. y ? ?3x 2. 双曲线 x 2 ? y 2 ? 3 的 A. 顶点坐标是( ? 3 ,0) ,虚轴端点坐标是(0, ? 3 ) B. 顶点坐标是(0, ? 3 ) ,虚轴端点坐标是( ? 3 ,0) C. 顶点坐标是( ? 3 ,0) ,渐近线方程是 y ? ?x D. 虚轴端点坐标是(0, ? 3 ) ,渐近线方程是 x ? ? y 3. 若 0 ? k ? a ,则双曲线 A. 相同的实轴 1 B. y ? ? x 3 C. y ? ? 3x D. y ? ? 3 x 3 x2 y2 x 2 y2 与 ? ? 1 ? ? 1有 a 2 ? k b2 ? k a 2 b2 C. 相同的焦点 D. 相同的渐近线 B. 相同的虚轴 1 4. 已知双曲线的渐近线方程为 y ? ? x ,焦距为 10,求双曲线方程。 2 题型二:由双曲线的几何性质求其方程 充分利用双曲线的几何性质,以及 a、b、c 间的数量关系,并结合平面几何知识,求出 基本参数 a、b、c 的值,进而求出双曲线的标准方程,请根据以上知识解决以下 5~7 题。 5. 双曲线 C 的实轴长和虚轴长之和等于其焦距的 2 倍,且一个顶点的坐标为(0,2) , 则双曲线 C 的方程为 A. x 2 y2 ? ?1 4 4 B. y2 x 2 ? ?1 4 4 C. y2 x 2 ? ?1 4 8 D. x 2 y2 ? ?1 8 4 http://school.chinaedu.com 1 6. 过点(2,-2)且与 A. ? x 2 y2 x 2 y2 D. ? ?1 ? ?1 2 4 4 2 x 2 y2 7. 求与双曲线 ? ? 1 共渐近线且过点 A( 2 3 ,-3)的双曲线方程。 16 9 题型三:创新应用 8. 已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆 x 2 ? y 2 ? 10 相交于点 P(3,-1) ,若此圆过点 P 的切线与双曲线的一条渐近线平行,求此双曲线的方程。 【互动探究】 [学科内综合] 9. 设 F1 、 F2 是双曲线 A. 2 10. 双曲线与椭圆 为 A. x 2 ? y 2 ? 96 11. 过双曲线 B. y 2 ? x 2 ? 160 C. x 2 ? y 2 ? 80 D. y 2 ? x 2 ? 24 x2 ? y 2 ? 1 有公共渐近线的双曲线方程是 2 x 2 y2 x 2 y2 B. C. ? ? ?1 ? ?1 4 2 2 4 x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点且 PF1 ? PF2 ? 0 ,则 | PF1 | ? | PF2 | 的值等于 4 C. 4 D. 8 B. 2 2 x 2 y2 ? ? 1 有相同的焦点,它的一条渐近线为 y ? x ,则双曲线的方程 16 64 x 2 y2 ? ? 1 的右焦点作一条渐近线的平行线,它与双曲线交于一点 P,求点 9 16 P 与双曲线的两个顶点 A、A′所构成的三角形的面积。 [学科内综合] 12. 在双曲线 x 2 y2 、B( x 2 ,6) 、C( x 3 , ? ? ?1 的一支上有不同的三点 A( x 1 , y1 ) 13 12 (1)求 y1 ? y 3 ; (2)求证:线段 AC 的垂直平 y 3 )与焦点 F(0,5)的距离成等差数列, 分线经过某一定点。 [新题型] 13. 设 P( x 0 , y 0 )是双曲线 x 2 y2 ? ? 1 上任一点,过 P 作双曲线两条渐近线的平行线 a 2 b2 分别交两条渐近线于 Q、R,则平行四边形 OQPR 的面积为 A. b B. 2ab C. 1 ab 2 D. 4ab 【经典名题】 http://school.chinaedu.com 2 14. (2006·山东)双曲线 C 与椭圆 x 2 y2 ? ? 1 有相同的焦点,直线 y ? 3x 为 C 的一 8 4 条渐近线。 (1)求双曲线 C 的方程; (2)过点 P(0,4)的直线 l,交双曲线 C 于 A、B 两点,交 x 轴于 Q 点(Q 点与 C 8 的顶点不重合) ,当 PQ ? ?1 QA ? ? 2 QB ,且 ?1 ? ? 2 ? ? 时,求 Q 点的坐标。 3 参考答案: 1. C 2. B 3. C 4. 解法一:当焦点在 x 轴上时,设所求双曲线方程为 x 2 y2 , ? ? 1( a ? 0 , b ? 0 ) a 2 b2 1 b 1 由渐近线方程为 y ? ? x 得 ? , 2c ? 10 。 2 a 2 由 a 2 ? b 2 ? c 2 得 a 2 ? 20 , b 2 ? 5 。 故双曲线方程为 x 2 y2 ? ? 1。 20 5 y2 x 2 ? ? 1。 5 20 同理,当焦点在 y 轴上时,可得双曲线方程为 即所求双曲线方程为 x 2 y2 y2 x 2 ? ? 1或 ? ? 1。 20 5 5 20 x2 1 解法二:由渐近线方程为 y ? ? x ,可设双曲线方程为 ? y 2 ? ??? ? 0? 。 4 2 由 a 2 ? b 2 ? c 2 ,得 | 4? | ? | ? |? 25 ,即 ? ? ?5 。 故所求双曲线方程为 x 2 y2 y2 x 2 ? ? 1或 ? ? 1。 20 5 5 20 提示:双曲线 x 2 y2 ? ?1 ( m ? 0 , n ? 0 ) 共 渐 近 线 的 双 曲 线 方 程 为 m2 n 2 x 2 y2 ? ? ??? ? 0? ; m2 n 2 以直线 5. B 6. A 7. 解法一