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新课标江西2013-2014学年高一下学期第一次月考数学试题(理科潜能班)附答案[编辑9页]


新课标江西 2013-2014 学年高一下学期第一次月 考数学试题(理科潜能班、文科重点班用)附答案
满分:150 分
合题目要求的) 1.在等差数列{an}中,若 a3+a4+a5+a6+a7=450,则 a2+a8 的值等于( A.45 B.75 C.180 D.300 ) D.30° 150° 或 ) )

时间:120 分钟

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符

2.在△ABC 中,若 b=2asin B,则角 A 为( A.30° 60° 或 B.45° 60° 或

C.120° 60° 或

3.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 c= 2,b= 6,B=120° ,则 a=( A. 6 B.2 C. 3 D. 2 )

4.在等差数列{an}中,若 a4+a6=12,Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S9 的值为( A.48 B.54 C. 6 0 D.66

5.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若(a2+c2-b2)tan B= 3ac,则角 B 的值为( π A. 6 π B. 3 π 5π C. 或 6 6 π 2π D. 或 3 3 1 ,则数列{bn}的前 5 项和等于( anan+1 )

)

6.数列{an}满足 a1=1,a2=2,2an+1=an+an+2,若 bn= A.1 5 B. 6 1 C. 6 1 D. 30

7.等比数列{an}中,已知对任意自然数 n,a1+a2+a3+…+an=2n-1,则 a12+a22+a32+…+an2= ( ) A.(2n-1)2 1 B. (2n-1) 3 C.4n-1 1 D. (4n-1) 3 )

8.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1=-11,a4+a6=-6,则当 Sn 取最小值时,n 等于( A.6 B.7 C.8 D.9

9.△ABC 中,a、b、c 分别为 A、B、C 的对边,如果 a,b,c 成等差数列,B=30° ,△ABC 的面积 3 为 ,那么 b=( 2 1+ 3 A. 2 ) B.1+ 3 2+ 3 C. 2 D.2+ 3 )

10.已知△ABC 中,sin2 A=sin2 B+sin2 C,bsin B-csin C=0,则△ABC 为( A.直角三角形 C.等腰直角三角形 B.等腰三角形 D.等边三角形

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二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把正确答案填在题中横线上) 1 11.在等比数列{an}中,若 a9·11=4,则数列 log an 前 19 项之和为________. a 2 2π 12.在△ABC 中,若 b=1,c= 3,∠C= ,则 a=________. 3 1 13.在△ABC 中,已知 a=3 2,cos C= ,S△ABC=4 3,则 b=________. 3

14.在等比数列{an}中,若 a3,a7 是方程 3x2-11x+9=0 的两根,则 a5 的值为________. 15.钝角三角形的三边为 a,a+1,a+2,其最大角不超过 120° ,则 a 的取值范围是________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(12 分)在△ABC 中,已知 B=45° ,D 是 BC 边上的一点,AD=5,AC=7,DC=3,求 AB 的长.

1 + 1 17.(12 分)数列{an}中,a1= ,前 n 项和 Sn 满足 Sn+1-Sn=?3?n 1(n∈N+). ? ? 3
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(1)求数列{an}的通项公式 an 以及前 n 项和 Sn; (2)若 S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列,求实数 t 的值.

18. 分)某单位在抗雪救灾中, (12 需要在 A, 两地之间架设高压电线, B 测量人员在相距 6 000 m 的 C、 D 两地(A,B,C,D 在同一平面上)测得∠ACD=45° ,∠ADC=75° ,∠BCD=30° ,∠BDC=15° (如图).假 如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因,实际所需电线长度大约是 A、B 两地之间距离的 1.2 倍,问 施工单位至少应该准备多长的电线(精确到 0.1 m)?(参考数据: 2≈1.4, 3≈1.7, 7≈2.6)

19.(12 分)已知 a,b,c 是△ABC 的三边长,关于 x 的方程 ax2-2 c2-b2x-b=0(a>c>b)的两根之

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差的平方等于 4,△ABC 的面积 S=10 3,c=7. (1)求角 C; (2)求 a、b 的值.

2 20.(13 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=2-?n+1?an(n≥1). ? ?
?an? (1)求证:数列? n ?是等比数列; ? ?

1 1 1 1 (2)设数列{2nan}的前 n 项和为 Tn,An= + + +…+ . T1 T2 T3 Tn 2 试比较 An 与 的大小. nan

21.(14 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn=2-an,n=1,2,3,….
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(1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 b1=1,且 bn+1=bn+an,求数列{bn}的通项公式; (3)设 cn=n(3-bn),数列{cn}的前 n 项和为 Tn,求证:Tn<8.

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新课标江西 2013-2014 学年高一下学期第一次月 考数学试题(理科潜能班、文科重点班用)参考答 案
一. 选择题

题号 答案

1 C

2 D
12. 1

3 D

4 B
13. 2 3

5 D
14 .

6 B
3

7 D
15.

8 A
3 ≤a<3 2

9 B

10 C

二、填空题 11. -19

.

18.解析: 在△ACD 中∠CAD=180° -∠ACD-∠ADC=60° , CD=6 000,∠ACD=45° ,
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CDsin 45° 根据正弦定理,得 AD= = sin 60°

2 CD. 3

在△BCD 中,∠CBD=180° -∠BCD-∠BDC=135° ,CD=6 000,∠BCD=30° , CDsin 30° 2 根据正弦定理,得 BD= = CD. sin 135° 2 又在△ABD 中,∠ADB=∠ADC+∠BDC=90° , 根据勾股定理,得 AB= AD2+BD2= 2 1 + CD=1 000 42, 3 2

而 1.2AB≈7 425.6,则实际所需电线长度约为 7 425.6 m. 19.解析: (1)设 x1,x2 为方程 ax2-2 c2-b2x-b=0 的两根, 2 c2-b2 b 则 x1+x2= ,x1·2=- ,∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2 x a a 4?c2-b2? 4b = + =4. a2 a a2+b2-c2 又 cos C= , 2ab 1 (2)由 S = absin C=10 3, 2 ∴a2+b2-c2=ab. 1 ∴cos C= ,∴C=60° . 2 ∴ab=40①

由余弦定理:c2=a2+b2-2abcos C,即 c2=(a+b)2-2ab(1+cos 60° ), 1 ∴72=(a+b)2-2×40×?1+2?,∴a+b=13② ? ? 由①②得:a=8,b=5. 1 20.解析: (1)由 a1=S1=2-3a1 得 a1= , 2 2 2 当 n≥2 时,由 Sn=2-?n+1?an 得 Sn-1=2-?n-1+1?an-1, ? ?

?

?

2 2 于是 an=Sn-Sn-1=?n-1+1?an-1-?n+1?an, ? ?

?

?

an 1 an-1 整理得 = × (n≥2), n 2 n-1
?an? 1 所以数列? n ?是首项及公比均为 的等比数列. 2 ? ?

an 1 1 - 1 (2)由(1)得 = ×?2?n 1= n. n 2 ? ? 2 n?n+1? 于是 2nan=n,Tn=1+2+3+…+n= , 2 1 1 ? 1 2 = =2? - . Tn n?n+1? ?n n+1? 1 1 1 1 1 1 2n An=2??1-2?+?2-3?+…+?n-n+1??=2?1-n+1?= ? ? ? ?? ? ?? ? ? n+1.
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n 1 2n 1 2n 2 2 2n n 又 = 2 ,问题转化为比较 2 与 的大小,即 2与 的大小. nan n n n n+1 n+1





2n n 设 f(n)= 2,g(n)= . n n+1 当 n≥3 时,f(n+1)-f(n)>0.

2n[n?n-2?-1] ∵f(n+1)-f(n)= , [n?n+1?]2 ∴当 n≥3 时,f(n)单调递增, ∴当 n≥4 时, f(n)>g(n),

∴当 n≥4 时,f(n)≥f(4)=1,而 g(n)<1, 经检验 n=1,2,3 时,仍有 f(n)>g(n), 因此,对任意正整数 n,都有 f(n)>g(n),

即 An<

2 . nan

21.解析: (1)∵n=1 时,a1+S1=a1+a1=2, ∵Sn=2-an,即 an+Sn=2, ∴an+1+Sn+1=2.

∴a1=1.

两式相减:an+1-an+Sn+1-Sn=0. 故有 2an+1=an, an+1 1 ∵an≠0,∴ = (n∈N+), an 2 (2)∵bn+1=bn+an(n=1,2,3,…),

即 an+1-an+an+1=0

1 - ∴an=?2?n 1. ? ? 1 - ∴bn+1-bn=?2?n 1. ? ? …

1 1 得 b2-b1=1,b3 -b2= ,b4-b3=?2?2, ? ? 2 1 - bn-bn-1=?2?n 2(n=2,3,…). ? ? 将这 n-1 个等式相加,得

?1?n-1 1?n-2 1-?2? 1 - 1 ?1?2 ?1?3 bn-b1=1+ +?2? +?2? +…+?2? = =2-?2?n 2. ? ? ? 2 1 1- 2
1 - 又∵b1=1,∴bn=3-?2?n 2(n=1,2,3…). ? ? 1 - (3)证明:∵cn=n(3-bn)=2n?2?n 1. ? ? 1 1 1 1 - 1 - ∴Tn=2??2?0+2×?2?+3×?2?2+…+?n-1?×?2?n 2+n×?2?n 1?……. ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 - 1 1 而 Tn=2??2?+2×?2?2+3×?2?3+…+?n-1?×?2?n 1+n×?2?n?……. ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 2 1 1 1 1 - 1 1 ①-②得 Tn=2??2?0+?2?1+?2?2+…+?2?n 1?-2×n×?2?n. ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 1-?2?n ? ? 1 1 8 Tn=4× -4×n×?2?n=8- n-4×n×?2?n ? ? ? ? 1 2 1- 2 8+4n =8- n (n=1,2,3,…). 2 ∴Tn<8.
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① ②

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