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【志鸿优化设计 赢在课堂】2015秋高中数学 1.4.1正弦函数、余弦函数的图象学案设计 新人教A版必修4_图文

第一章 1.4 1.4.1

三角函数

三角函数的图象与性质 正弦函数、余弦函数的图象
学习目标

1.能借助正弦线画出正弦函数的图象,并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象. 2.能熟练运用“五点法”作图.

学习过程
一、课前准备 (预习课本 P30~P33,找出疑惑之处) 遇到一个新的函数,画出它的图象,通过观察图象获得对它的性质的直观认识是研究函 数的基本方法,那么,一般采用什么方法画图象? 二、新课导学 问题 1:在直角坐标系内把单位圆十二等分,分别画出对应角的正弦线.

问题 2:在相应坐标系内,在 x 轴上标出 12 个角(实数表示),把单位圆中 12 个角的正弦 线进行右移.

问题 3:通过刚才描点(x0,sin x0),把一系列点用光滑曲线连结起来,你能得到什么?

问题 4:观察所得函数的图象,有五个点在确定形状中起着关键作用,哪五个点?

问题 5:如何作 y=sin x,x∈R 的图象?

问题 6:用以前学过的诱导公式 cos x= 样作?

(用正弦式表示),那么 y=cos x 的图象怎

三、典型例题 【例题】作下列函数的简图. (1)y=1+sin x,x∈[0,2π ];(2)y=-cos x.

探究 1:如何利用 y=sin x,x∈(0,2π )的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到:
1

(1)y=1+sin x,x∈(0,2π )的图象? (2)y=sin(x-)的图象?

探究 2: 如何利用 y=cos x,x ∈(0,2π )的图象 , 通过图形变换 ( 平移、翻转等 ) 来得到 y=-cos x,x∈(0,2π )的图象?

探究 3: 如何利用 y=cos x,x ∈(0,2π )的图象 , 通过图形变换 ( 平移、翻转等 ) 来得到 y=2-cos x,x∈(0,2π )的图象?

探究 4:不用作图,你能判断函数 y=sin(x-)和 y=cos x 的图象有何关系吗?请在同一坐标 系中画出它们的简图,以验证你的猜想.

四、课堂练习 1.函数 y=sin(a≠0)的定义域为( A.R

)

B.[-1,1] C.[-] D.[-3,3] 2.在[0,2π ]上,满足 sin x≥的 x 的取值范围是( ) A.[0,] B.[] C.[] D.[,π ] 3.用“五点法”作 y=2sin x+1,x∈[0,2π ]的图象.

4.结合图象,判断方程 sin x=x 的实数解的个数.

五、小结反思

六、达标检测 1.用“五点法”作函数 y=2sin2x 的图象时,首先应描出的五点横坐标可以是( ) A.0,,π ,,2π B.0,,π C.0,π ,2π ,3π ,4π D.0, 2.在[0,2π ]内,不等式 sin x<-的解集是( ) A.(0,π ) B.() C.() D.(,2π ) 3.方程 sin x=的根的个数是( ) A.7 B.8 C.9 D.10 4. 用 “ 五 点 法 ” 画 出 y=2sin x 在 [0,2π ] 内 的 图 象 时 , 应 取 的 五 个 点 为

.
2

5.函数 y=sin x,x∈[0,2π ]的图象与直线 y=-的交点有 6.若 sin x=2m+1 且 x∈R,则 m 的取值范围是 .

个.

参考答案
一、课前准备 一般采用列表、描点、连线的方式作图. 二、新课导学 问题 1:在直角坐标系的 x 轴上任取一点 O1,以 O1 为圆心作单位圆,从这个圆与 x 轴的交 点 A 起把圆分成 n(这里 n=12)等份.把 x 轴上从 0 到 2π 这一段分成 n(这里 n=12)等份. 问题 2:在单位圆中画出对应于角 0,,?,2π 的正弦线(等价于“列表”).把角 x 的正弦 线向右平行移动,使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合,则正弦线的终点就是正弦函数 图象上的点(等价于“描点”). 问题 3:用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来,就得到正弦函数 y=sin x,x∈[0,2π ] 的图象.

问题 4:五个关键点是:(0,0),(,1),(π ,0),(,-1),(2π ,0). 问题 5:根据终边相同的同名三角函数值相等,所以函数 y=sin x,x∈[2kπ ,2(k+1)π ,k ∈Z 且 k≠0)的图象与函数 y=sin x,x∈[0,2π )的图象的形状完全一致.于是我们只要将 y=sin x,x∈[0,2π )的图象沿着 x 轴向右和向左连续地平行移动,每次移动的距离为 2π ,就 得到 y=sin x,x∈R 的图象. 用几何画板软件演示:

把角 x(x∈R)的正弦线平行移动,使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合,则正弦线 的终点的轨迹就是正弦函数 y=sin x 的图象. 问题 6:根据诱导公式 cos x=sin(x+),可以把正弦函数 y=sin x 的图象向左平移单位长 度即得余弦函数 y=cos x 的图象.

三、典型例题 【例题】解:(1)列表得

3

x
sin

0 0 1 1 2

π 0 -1 1 0

2 π 0 1

x y
简图为

(2)列表得

x
cos

0 1 0 0

π

2 π 0 0 1

1 1

x y

1

1

简图为

探究 1:解:(1)将图象 y=sin x 上的点向上平移 1 个单位长度,即可得到 y=1+sin x 的图 象; (2)将图象 y=sin x 上的点向右平移个单位长度,即可得到 y=sin(x-)的图象. 探究 2:解:作 y=cos x,x∈(0,2π )的图象关于 x 轴的对称图形即可得到 y=-cos x,x∈ (0,2π )的图象. 探究 3:解:先作 y=cos x,x∈(0,2π )的图象关于 x 轴对称的图象即可得到 y=-cos x,x ∈(0,2π )的图象,再将得到的图象向上平移 2 个单位长度,即可得到 y=2-cos x,x∈(0,2π ) 的图象. 探究 4:解:y=sin(x-)=cos x,这两个函数相等,图象重合. 四、课堂练习 1.A 2.B 3.解:列表得

x
sin

0 0 1 1 3

π 0 -1 1 -1

2 π 0 1
4

x y

简图为

4.解:在同一坐标系中作出 y=x 和 y=sin x 的图象,如图

由图象知 y=x 和 y=sin x 的图象只有一个交点,即方程 x=sin x 只有一个根. 五、小结反思 在区间[0,2π ]上正、余弦函数图象上起关键作用的五个点分别是它的最值点及其与坐 标轴的交点(平衡点).函数的图象可通过描点、平移、伸缩、对称等手段得到. 六、达标检测 1.B 2.C 3.A 4.(0,0),(,2),(π ,0),(π ,-2),(2π ,0) 5.2 6.[-1,0]

5


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