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数学(文)卷·2014届湖南省雅礼中学高三月考试卷(四)(2013.12)


雅礼中学 2014 届高三数学月考(四) (文科)
高三数学备课组
(考试范围:高考全部内容) 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 21 题,时量 120 分钟,满分 150 分. 一、选择题:本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知 x, y ? R, i 为虚数单位, xi ? y ? ?1 ? i , 1 ? i 且 则( )
x? y

的值是

( B )

A. 2

B. ? 2i

C. ? 4

D. 2i

2.已知集合 A ? {x | x ? ( C )

1 ? 0, x ? R}, 则满足 A ? B ? {?1,0,1} 的集合 B 个数是 x

A. 2

B. 3

C. 4

D. 8

3. a ? ?1 是直线 l1 : ax ? y ? 0 与直线 l2 : x ? ay ? 2 ? 0 平行的 ( A )

A. 充分不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

( ? 4.若向量 a, b, c 满足 a // b ,且 b ? c ? 0 ,则 a ? b)c ? ( D )
A. 4

? ??

?

?

? ?

? ?? ? ?

B. 3

C. 2

D. 0

5.函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ),( x ? R)( ? ? 0,| ? | ?

) 的部分图像如图所示, 2 x ? x2 ? ? )? 如果 x1 , x2 ? (? , ) ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( 1 ( D ) 6 3 2 A. 1 2

?

B.

2 2

C.

3 2

D. 1

6. 已知下列四个命题,其中真命题的序号是 ( D ) ① 若一条直线垂直于一个平面内无数条直线,则这条直线与这个平面垂直; ② 若一条直线平行于一个平面,则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面; ③ 若一条直线平行一个平面,另一条直线垂直这个平面,则这两条直线垂直; ④ 若两条直线垂直,则过其中一条直线有唯一一个平面与另外一条直线垂直; D. ③④ A. ①② B. ②③ C. ②④ 7.函数 f ( x) ? 4 x ? e
2 x

零点的个数

( D



A. 不存在

B. 有一个

C. 有两个
第 1 页 共 9 页

D. 有三个

?(k ? 2) x, x ? 2 ? 8.设函数 f ( x) ? ? 1 x , an ? f (n) ,若数列 ?an ? 是单调递减数列,则实数 k 的取 ?( 2 ) ? 1, x ? 2 ?
值范围为 ( C )

A. (??, 2)

B. (??,

13 ] 8

7 C. (??, ) 4

D. [

13 ,) 2 8

9. 函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的增函数,函数 y ? f ( x ? 2014) 的图象关于点 (2014, 0)对 称 . 若实 数 x, y 满 足 不等 式 f ( x2 ? 6x) ? f ( y 2 ? 8 y ? 24) ? 0 , 则 x 2 ? y 2 的 取 值范 围是 ( C )

A. (0,16)

B. (0,36)

C. (16,36)

D. (0, ??)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答题卡中对应题号后的横 线上。 10. 在极坐标系中,曲线 ? sin 2 ? ? 4cos? 的焦点的极坐标 . (1, 0)

11. 如图 1 所示的流程图,输出的结果为

. 0

12. 若正三棱柱的三视图如图 2 所示,该三棱柱的体积是 开始 n=1,s=0 否

.

3

n ? 6?


S= S+sin

图2 输出 S

n? 3

结束 n=n+1 图1

13. 已知抛物线 y ? 4 px( p ? 0) 与椭圆
2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 有相同的焦点 F ,点 A 是两 a 2 b2
. 2 ?1

曲线的交点,且 AF ? x 轴,则椭圆的离心率为
第 2 页 共 9 页

? 3x ? y ? 0 ? ? 14. 已知 A(3, 3) , O 是原点,点 P( x, y) 的坐标满足 ? x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则 ?y ? 0 ? ?
(Ⅰ)

OA ? OP | OA |

的最大值为

; 3

(Ⅱ)

OA ? OP | OP |

的取值范围为

. (用定义求 2 3 cos? ,300 ? ? ? 1500 。 ? ?3,3? )

15. 在等差数列 ?an ? 中, a2 ? 5 , a6 ? 21,记数列 ? (Ⅰ)数列 ?an ? 的通项 an ? (Ⅱ)若 S 2 n ?1 ? S n ?

?1? ? 的前 n 项和为 Sn , ? an ?

; an ? 4n ? 3 .5

m * 对 n ? N 恒成立,则正整数 m 的最小值为 15

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,已知: 3 sin B ? cos B ? 1 ,且 b ? 1 . (Ⅰ)若 A=

5? ,求边 c ; 12

(Ⅱ)若 a ? 2c ,求 ?ABC 的面积. 16 解: (Ⅰ)由已知 3 sin B ? cos B ? 1,所以 sin( B ?

? 1 )? 6 2
??(4 分)

? 0 ? B ? ? ,??

? ? 5? ? ? ? ? B? ? ,故 B ? ? ,解得 B ? . 6 6 6 6 6 3

由A?

5? ? ,且 A ? B ? C ? ? ,得 C ? . 12 4
??(7 分)



c 1 c b 6 ? ? ,即 ,解得 C ? . ? ? sin C sin B 3 sin sin 4 3
2 2 2

(2)因为 b ? a ? c ? 2ac cos B, a ? 2c, B ?

? , 3
??(10 分)

所以 b ? 4c ? c ? 4c ?
2 2 2 2

1 ,解得 b ? 3c . 2
第 3 页 共 9 页

由此得 a ? b ? c ,故 ?ABC 为直角三角形 A ?
2 2 2

? 1 ,c ? . 2 3
??(12 分)

其面积 s ?

1 3 bc ? . 2 6

17.(本小题满分 12 分)

2013 年 4 月 14 日,CCTV 财经频道报道了某地建筑市场存在违规使用未经淡化海砂的
现象.为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关,某大学实验室随机抽取了 60 个 样本,得到了相关数据如下表: 混凝土耐久性达标 使用淡化海砂 使用未经淡化海砂 总计 混凝土耐久性不达标 总计

25

t
15 20

30 30 60

s
40

(Ⅰ)根据表中数据,求出 s , t 的值,利用独立性检验的方法判断,能否在犯错误的概率不 超过 1%的前提下,认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关? (Ⅱ)若用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了 6 个,现从这 6 个样本中任取 2 个,则取出的 2 个样本混凝土耐久性都达标的概率是多少? 参考数据:

P(k 2 ? k )
k
2 参考公式: k ?

0.10 2.706

0.050 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.001 10.828

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
??(2 分)

17 解: (Ⅰ) s ? 15, t ? 5. 假设:是否使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标无关,由已知数据可求得:

k2 ?

60 ? (25 ?15 ? 15 ? 5)2 ? 7.5 ? 6.635, 30 ? 30 ? 40 ? 20

因此,能在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有 关.?(6 分) (Ⅱ)用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了 6 个,其中应抽取“混凝土耐久性

第 4 页 共 9 页

达标”的为

25 ? 6 ? 5, “混凝土耐久性不达标”的为 1. 30

“混凝土耐久性达标”的记为 A , A2 , A3 , A4 , A5 , “混凝土耐久性不达标”的记为 B . 1 从这 6 个样本中任取 2 个,共有 15 可能, 设“取出的 2 个样本混凝土耐久性都达标”为事件 A , 它的对立事件 A 为“取出的 2 个样本至少有一个混凝土耐久性不达标” ,包含( A1 , B ) , ( A2 , B ) , ( A3 , B )( A4 , B )( A5 , B )共 5 种可能, , , 所以 P ( A) ? 1 ? P ( A) ? 1 ?

5 2 ? . 15 3 2 . 3
??(12

则取出的 2 个样本混凝土耐久性都达标的概率是 分) 18.(本小题满分 12 分)

如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为矩形,且

PA ? AD ? 1, AB ? 2, ?PAB ? 1200 , ?PBC ? 900 ,
(Ⅰ)平面 PAD 与平面 PAB 是否垂直?并说明理由; (Ⅱ)求直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值. 18 解: (Ⅰ)平面 PAD ⊥平面 PAB ∵ ?PBC ? 90
0

∴ BC ? PB

∵四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为矩形 ∴ BC ? AB ∵ PB ? 平面 PAB , AB ? 平面 PAB , PB ∩ AB ? B ∴ BC ⊥平面 PAB 且 ∵ AD ∥ BC ∴ AD ⊥平面 PAB ∵ AD ? 平面 PAD ??(6 ?(4 分)

平面 PAD ⊥平面 PAB 分) (Ⅱ)如图,过点 P 作 BA 延长线的垂线 PH ,垂足为 H ,连接 CH . 由(Ⅰ)可知 AD ⊥平面 PAB ∵ AD ? 平面 ABCD
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∴平面 PAB ⊥平面 ABCD ∵ PH ? 平面 PAB ,平面 PAB ⊥平面 ABCD , 平面 PAB ∩平面 ABCD = AB ∴ PH ⊥平面 ABCD ∴ CH 为 PC 在平面 ABCD 内的射影. ∴ ?PCH 为 PC 与底面 ABCD 所成的角. 分) ??(9

??PAB ? 1200 ,??PAH ? 600 ,
? PA ? 1 ,? 在直角三角形 PAH 中,

PH ? PA ? sin 600 ?

3 1 , AH ? PA ? cos 600 ? 2 2
1 5 ? 2 ? , BC ? AD ? 1 2 2

在直角三角形 HBC 中, BH ? AH ? AB ?

故 CH ?

BH 2 ? BC 2 ?

29 2

在直角三角形 PHC 中, PC ?

PH 2 ? CH 2 ? 2 2 ,?sin ?PCH ?
6 . 8

PH 6 ? PC 8
??(12

故直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值 分)

19. (本小题满分 13 分) 某产品具有一定的时效性,在这个时效期内,由市场调查可知,在不做广告宣传且每件获利 a 元的前提下,可卖出 b 件;若做广告宣传,广告费为 n 千元比广告费为 (n ? 1) 千元时多卖出

b (n ? N * ) 件. 2n
(Ⅰ)试写出销售量 Sn 与 n 的函数关系式; (Ⅱ) a ? 10, b ? 4000 时, 当 厂家应生产多少件这种产品, 做几千元的广告, 才能获利最大? 19.解: (Ⅰ)设 S0 表示广告费为 0 元时的销售量, 由题意知 S n ? S n ?1 ? 将上述各式相加得:
第 6 页 共 9 页

b b b b , S n ?1 ? S n ? 2 ? n ?1 ,?, S 2 ? S1 ? 2 , S1 ? S0 ? 1 , n 2 2 2 2

1 1 ? ( ) n ?1 b b b 1 2 Sn ? b ? ? 2 ? ? ? n ? b ? ? b ? (2 ? n ) 为所求. 1 2 2 2 2 1? 2
(Ⅱ)当 a ? 10, b ? 4000 时,设获利为 Tn 元, 由题意知 Tn ? 10S n ? 1000n ? 4000(2 ?

1 ) ? 1000n ; 2n

欲使 Tn 最大,则 ?

?Tn ? Tn ?1 ? n ? 5 ?? ? n ? 5 ,此时 S5 ? 7875 。 ?n ? 5 ?Tn ? Tn ?1

即厂家应生产 7875 件这种产品,做 5 千元的广告,才能获利最大.

20. (本小题满分 13 分) 已知圆锥曲线 E 的两个焦点坐标是 F (? 2,0), F2 ( 2,0) ,且离心率为 e ? 1 (Ⅰ)求曲线 E 的方程; (Ⅱ)设曲线 E ? 表示曲线 E 的 y 轴左边部分,若直线 y ? kx ? 1 与曲线 E ? 相交于 A, B 两点, 求 k 的取值范围; (Ⅲ)在条件(Ⅱ)下,如果 AB ? 6 3 ,且曲线 E ? 上存在点 C ,使 OA ?OB ?mOC ,求

2;

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

m 的值.
20.解: (Ⅰ)由 e ?

2 知,曲线 E 是以 F1 (? 2,0), F2 ( 2,0) 为焦点的双曲线,且

c ? 2, a ? 1 ,
故双曲线 E 的方程是 x ? y ? 1.
2 2

??(3 分)

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,联立方程组:

? y ? kx ? 1 ? (1 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 2 ? 0( x ? 0) , ? 2 2 ? x ? y ? 1( x ? 0)
?1 ? k 2 ? 0 ? 2 ?? ? (2k ) ? 8k ? 0 ? 从而有: ? x ? x ? ?2k ? 0 ? ? 2 ? k ? ?1 为所求。 1 2 1? k 2 ? ? ?2 ?0 ? x1 ? x2 ? 1? k 2 ?
(Ⅲ)因为

??(8 分)

第 7 页 共 9 页

??? ? (1 ? k 2 )(2 ? k 2 ) , 6 3 ? AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 ? x2 ? 2 (1 ? k 2 )2
4 2 2 整理得 28k ? 55k ? 25 ? 0 ? k ?

5 5 2 或k ? , 4 7

5 5 ,故直线 AB 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 。??(10 分) 2 2 ??? ??? ? ? ??? ? 设 C( x0 , y0 ) ,由已知 OA ? OB ? mOC ? ( x1, y1 ) ? ( x2 , y2 ) ? (mx0 , my0 ) ,
注意到 ? 2 ? k ? ?1 ,所以 k ? ? 又 x1 ? x2 ?

?2k ?4 5 8 ? ?4 5, y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 ? 8 ,所以 C ( , ). 2 1? k m m 80 64 ? ? 1 ? m ? ?4 , m2 m2

C 在曲线 E ? 上,得

但当 m ? ?4 时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意, 所以 m ? 4 为所求. ??(13 分)

21. (本小题满分 13 分) 已知曲线 C : y ? f ( x) ? x3 ? 3 px2 ( p ? R) 。 (Ⅰ)当 p ?

1 时,求曲线 C 的斜率为 1 的切线方程; 3

(Ⅱ)设斜率为 m 的两条直线与曲线 C 相切于 A, B 两点,求证: AB 中点 M 在曲线 C 上; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,又已知直线 AB 的方程为: y ? ? x ? 1 ,求 p , m 的值. 21.解: (Ⅰ)当 p ?

1 时, y ? f ( x) ? x3 ? x2 ? y? ? f ?( x) ? 3x2 ? 2x , 3 1 1 4 2 ? ? , 1 设切点为 ( x0 , y0 ) , 1 ? f (?x) 0 3 x 0 2 x 0?x 0? x 0?? 由 , 切点为 (1, 0), (? , ? ) 3 3 27 5 故 y ? x ? 1, y ? x ? 为所求. ??(4 分) 27
(Ⅱ) y? ? f ?( x) ? 3x ? 6 px ,设 A( x1 , x13 ? 3 px12 ), B( x2 , x23 ? 3 px22 ) ( x1 ? x2 ) ,
2

由导数的几何意义有

?m ? 3x12 ? 6 px1 ? ? 3( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 6 p( x1 ? x2 ) ? 0 ? x1 ? x2 ? 2 p ? 2 ?m ? 3x2 ? 6 px2 ?
2 2 2 x13 ? 3 px12 ? x23 ? 3 px22 ( x1 ? x2 )( x1 ? x1 ? x2 ? x2 ) ? 3 p ?( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? ? ? ? ? 2 2

第 8 页 共 9 页

?

2 p ?(2 p)2 ? 3x1 x2 ? ? 3 p ?(2 p) 2 ? 2 x1 x2 ? ? ? ? ? 2

? ?2 p3

? AB 中点 M (

x1 ? x2 x13 ? 3 px12 ? x23 ? 3 px2 2 , ) ,即 M ( p, ?2 p3 ) , 2 2
??(8 分)

又 AB 中点 M 在曲线 C 上 ? ?2 p3 ? p3 ? 3 p ? p 2 ,显然成立.得证.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知, AB 中点 M 的横坐标为 p ,且 M 在 AB 上, ? M ( p, ? p ? 1) , 又 M 在曲线 C 上,

? ? p ?1 ? p3 ? 3 p ? p2 ? 2 p3 ? p ?1 ? 0 ? ( p ?1)(2 p2 ? 2 p ? 1) ? 0 ,
所以 p ? 1 .

由?

? y ? x3 ? 3x 2 ? y ? ?x ?1

? x3 ? 3x 2 ? x ? 1 ? 0 ,

? ( x3 ? x2 ) ? (2x2 ? 2x) ? x ? 1 ? 0 ? ( x ?1)( x2 ? 2x ?1) ? 0
由于 x1 ? x2 ? 2, ? x1 ? 1 ? 2, x2 ? 1 ? 2 , 故 m ? 3x1 ? 6x1 ? 3(1 ? 2) ? 6(1 ? 2) ? 3 .
2 2

综上, p ? 1, m ? 3 为所求.

??(13 分)

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