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基本初等函数(学生版)


基本初等函数
一、知识要点 1.根式:

( a)

n

n

? a(n ? 1, 且n ? N ?) ;
n

?a (a ? 0) n a ? | a | ? ? n n ?? a (a ? 0) 当 n 是奇数时, a ? a ,当 n 是偶数时,
2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:

a ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1) ,

m n

a

?

m n

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质
r r ?s (1) a s · a ? a

(a ? 0, r , s ? R) ; (a ? 0, r , s ? R) ; (a ? 0, r , s ? R) .

r s rs (2) (a ) ? a r r s (3) (ab) ? a a

4.指数函数的定义:
x 一般地,函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数,其中 x∈R 是自变量,函数的

定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1. 5.指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1
6 6 5 5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递增 非奇非偶函数 函数图象都过定点(0,1) 6.对数 (1)对数定义
b

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 函数图象都过定点(0,1)

一般地,对于指数式 a ? N ,我们把“以 a 为底 N 的对数 b” ,记作: log a 即
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N

N b= log a (a ? 0, a ? 1) ,其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数,读作“b 等于以 a

为底 N 的对数”.
x 对数与指数间的关系:当 a ? 0 ,且 a ? 1 时, a ? N ? loga N ? x ;

(2)对数的运算性质 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: ○ 1 loga (MN ) ? loga M ? loga N ;
log a M ? N loga M - loga N ;

○ 2

n ○ 3 loga M ? n loga M

(n ? R) .

(3)常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; (4)自然对数:以无理数 e ? 2.71828 ? 为底的对数的对数 ln N . (5)换底公式

loga b ?

logc b logc a ( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ) .

7.对数函数 (1)概念: 函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a≠1,x>0)叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义 域是(0,+∞) . (2)对数函数的性质: a>1
3 2.5 2 1.5

0<a<1
3 2.5 2 1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域 x>0 定义域 x>0 值域为 R 值域为 R 在 R 上递增 在 R 上递减 函数图象都过定点(1,0) 函数图象都过定点(1,0) 8.反函数 当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变 量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量.我们称这两个函数互为反函 数.
第 2 页

9.幂函数
? 1.定义:一般地,形如 y ? x (a ? R) 的函数称为幂函数,其中 ? 为常数.

2.幂函数的性质: (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1) ; (2)如果 ? ? 0 ,则幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,??) 上是增函数. (3)如果 ? ? 0 ,则幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数.在第一象限内,当

x 从右边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ? ? 时,
图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴. 二、典型例题 指数与指数函数 1.若 0<x<1,则 2x,2-x,0.2x 的大小关系是________. 5-1 2.已知 a= 2 ,函数 f(x)=ax,若实数 m、n 满足 f(m)>f(n),则 m、n 的 大小关系为________. 3.函数 y=2-|x|的单调增区间是______________. x x<0, ?2 , 4.设函数 f(x)=? 若 f(x)是奇函数,则 g(2)=________. ?g(x), x>0 5.若函数 y=4x-3· 2x+3 的定义域为集合 A,值域为[1,7],集合 B=(-∞, 0]∪[1,2],则集合 A 与集合 B 的关系为________. 6.若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)=(a+1)1-x 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值 范围是______________. a 7.函数 y=ax(a>0,且 a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大2,则 a 的值是 _______. 8.函数 f(x)=x2-bx+c 满足 f(1+x)=f(1-x)且 f(0)=3,则 f(bx)________f(cx).(用“≤”,“≥”,“>”,“<”填空) 9.设函数 f(x)=|2x-1|的定义域和值域都是[a,b](b>a),则 a+b=________. 10.要使函数 y=1+2x+4xa 在 x∈(-∞,1]上 y>0 恒成立,求 a 的取值范围. . .

第 3 页

11.设 f(x)=ax+b 同时满足条件 f(0)=2 和对任意 x∈R 都有 f(x+1)=2f(x)-1 成立. (1)求 f(x)的解析式; (2)设函数 g(x)的定义域为[-2,2], 且在定义域内 g(x)=f(x), 且函数 h(x)的图象 与 g(x)的图 象关于直线 y=x 对称,求 h(x); (3)求函数 y=g(x)+h(x)的值域.

1 12.已知函数 f(x)=(3)x,x∈[-1,1],函数 g(x)=f2(x)-2af(x)+3 的最 小值为 h(a). (1)求 h(a); (2)是否存在实数 m,n,同时满足以下条件: ①m>n>3; ②当 h(a)的定义域为[n,m]时,值域为[n2,m2].若存在,求出 m,n 的值;若 不存在,说明理由.

对数与对数函数 1.设 a=log2π,b=log2 3,c=log3 2,则 a,b,c 的大小关系为________. 2.函数 y=lg x+lg(x-1)的定义域为 A,y=lg(x2-x)的定义域为 B,则 A、B 的 关系是______________. 3.若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数,其图象经过点( a, a)则 f(x)=__________________.
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?(3a-1)x+4a, x<1, 4.已知 f(x)=? 是 R 上的减函数,那么 a 的 ?logax, x≥1 取值范围是________________. 1 5.函数 y=log2(x2-3x+2)的递增区间是__________. 6.方程 log3(x2-10)=1+log3x 的解是________. ?1? 7.已知函数 f(x)满足:当 x≥4 时,f(x)=?2?x;当 x<4 时,f(x)=f(x+1).则 ? ? f(2+log23)=________. 8.函数 f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为 a,则 a 的值 为________. 9.设 a>0,a≠1,函数 f(x)=alg(x2-2x+3)有最大值,则不等式 loga(x2 -5x+7)>0 的解集为________________. 1 1 10.已知函数 f(x)=log2(x2-ax-a)在区间(-∞,-2)上为增 函数,求 a 的取值范围. 11.已知函数 y=loga2(x2-2ax-3)在(-∞,-2)上是增函数,求 a 的取值范围.

x+b 12.已知函数 f(x)=loga (a>0,且 a≠1,b>0). x-b (1)求 f(x)的定义域; (2)讨论 f(x)的奇偶性; (3)讨论 f(x)的单调性.

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幂函数 1.已知函数 f(x)=xα 的图象经过点(4,2),则 log2f(2)=________. 1 1 2. 设 α∈{-2, -2, 2}, 则使函数 y=xα 为偶函数的所有 α 的和为____________. 2, 3.已知 a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,则 a、b、c 按从小到大的顺序排列为 ________________. 4.幂函数 y=(m2-m-1)· x-5m-3,当 x∈(0,+∞)时为减函数,则实数 m 的值为________. 2-x-1, x≤0, ? ? 5.设函数 f(x)=? 1 若 f(x0)>1,则 x0 的取值范围是 x , x>0. ? ? 2 ________________. 1 6.函数 y=(0.5x-8)-2的定义域是______________. 1 1 7.若(a+1)-3<(3-2a)-3,则 a 的取值范围是______________. 8.给出封闭函数的定义:若对于定义域 D 内的任意一个自变量 x0,都有函 数值 f(x0)∈D,则称函数 y=f(x)在 D 上封闭.若定义域 D=(0,1),则函数 ①f1(x)=3x-1; 1 1 ②f2(x)=-2x2-2x+1; ③f3(x)=1-x; 1 ④f4(x)=x2,其中在 D 上封闭的是________.(填序号即可) 1 2 9.已知幂函数 f(x)的图象经过点(8, 4 ),P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1<x2)是函数 图象上的任意不同两点,给出以下结论: ①x1f(x1)>x2f(x2); ②x1f(x1)<x2f(x2); f(x1) f(x2) f(x1) f(x2) ③ x > x ; ④ x < x . 1 2 1 2 其中正确结论的序号是________________. 1 3 10.已知幂函数 y=x-2p2+p+2(p∈Z)在(0,+∞)上单调递增, 且在定义域内图象关于 y 轴对称,求 p 的值.

第 6 页

11.已知 f(x)=x

1 (n=2k,k∈Z)的图象在[0,+∞)上单调递增,解 -n +2n+3 不等式 f(x2-x)>f(x+3).
2

12.已知函数 f(x)=

x , 1+x (1)画出 f(x)的草图; (2)由图象指出 f(x)的单调区间; (3)设 a>0,b>0,c>0,a+b>c,证明:f(a)+f(b)>f(c).

基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数)
填空题 1 .(2013 安徽高考数学(文))函数 y ? ln(1 ? 2

1 ) ? 1 ? x 2 的定义域为_____________. x
压 轴 卷 ) 若 函 数

(2012











1 f ( x) ? log a (2 x 2 ? x)( a ? 0, a ? 1)在区间( 0, )内恒有 f ( x) ? 0, 则 f(x) 的 单 调 2
递增区间是__.
3 . (2013 届江苏省高考压轴卷数学试题)已知函数 f ( x) ?| lg x | , a ? b ? 0 , f ( a ) ? f (b) ,

a 2 ? b2 则 的最小值等于_________. a ?b
4 .不等式 log2 (2 x ?1) ? log 2 (? x ? 5) 的解集为______________.
第 7 页

5 .(2012 年高考(上海春))方程 4 ? 2
x

x ?1

? 0 的解为_______.

6 . (山东省枣庄市枣庄十八中 2012 届高三 9 月月考(数学))当 x ? [ ?2,0] 时,函数 y ? 3x?1 ? 2

的值域是___.
7 . 若 幂 函 数 y ? f ( x) 的 图 像 过 点

( 2,

2 ), 则 y ? f ( x2 ? 2x) 的 单 调 递 减 区 间 为 2

_____________.
8 . (2011 年高考(江苏卷) )函数

f ( x) ? log5 (2x ? 1) 的单调增区间是__________

9 .若

f ( x) ? x

??

1 2

? 1 ,且 f (a ? 1) ? f (10 ? 2a) ,则 a 的取值范围为______.

10 . ( 江 苏 省 连 云 港 市 2013 届 高 三 上 学 期 摸 底 考 试 ( 数 学 ) (选修历史) )若幂函数

1 n y ? mx (m , n ? R )的图象经过点( 8, ),则 n=______________. 4
11. (江苏海门市 2013 届高三上学期期中考试模拟数学试卷)若函数 f ? x ? ? log ( a 2 ?3) ( ax ? 4)

在 ??1,1? 上是单调增函数,则实数 a 的取值范围是_______
12.已知函数

f ( x) ? 2| x| ? 2 ,不等式 x[ f ( x) ? f (? x)] ? 0 的解集是__________________.

13. (江苏省徐州市 2013 届高三上学期模底考试数学试题)已知直线 y=a 与函数 f ( x) ? 2 x 及函

数 g ( x) ? 3 ? 2 x 的图象分别相交于 A,B 两点, 则 A,B 两点之间的距离为________.
14.对数函数 f ( x ) 的图像过点 (3, ?2) ,则
x

f ( 3) ? ___________.

15 . 已知 a ? 0且a ? 1 , 函数 y ? a ? 2 与 y ? 3a 的图像有两个交点 , 则 a 的取值范围是

______________.
16 . 已 知
2x , 当 x ? R 时 , f ( x) 恒 为 正 值 , 则 k 的 取 值 范 围 是 f (x ) ? 3 ? ( k ? 1) ? x3? 2

_______. 17.(浙江省温州中学 2011 学年第一学期期末考试高三数学试卷(文科)2012.1)关于 x 的不 等式 2
x2 ? x

? 4 的解集为____________ .

18.(2012 年石景山区高三数学一模文科)设函数

?? x ? a, x ? 1, 的最小值为 2 ,则 f ( x) ? ? x 2 , x ? 1 ?

实数 a 的取值范围是_______.[来源:学§科§网 Z§X§X§K]
19. (常州市 2013 届高三教学期末调研测试数学试题) 函数 f ( x) ? log 2 (4 ? x 2 ) 的值域为______.

第 8 页

20.(2012 年高考(上海文))方程 4 ? 2
x

x ?1

? 3 ? 0 的解是_________.

21.已知对数函数

f ( x) ? (m2 ? m ?1)log(m?1) x ,则 f (27) ? _________.

22. (2012 年江苏理)函数 23.已知函数 y ?| log 1
2

f ( x) ? 1 ? 2 log6 x 的定义域为____.

1 x | 的定义域为 [ , m] ,值域为 [0,1] ,则 m 的取值范围为_________. 2

24.(2013 北京高考数学(文))函数 f(x)= ?

log x, x ? 1 ? ? 1 2 ? ?2 ,
x

的值域为_________.

x ?1

25 . 已 知 命 题 p : 关 于

x 的 不 等 式 x 2 ? (a ? 1) x ? a 2 ? 0 的 解 集 为 ? ; 命 题 q : 函 数

y ? (2a 2 ? a) x 为 增 函 数 , 若 函 数 “ p 或 q ” 为 真 命 题 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是
________.
26 . ( 2009 高 考 ( 江 苏 ) ) 已 知

a?

5 ?1 x , 函 数 f ( x) ? a , 若 实 数 m , n 2

满足

,则 m, n 的大小关系为_★___. f ( m) ? f ( n)
27 . (2012

? 年 高 考 ( 北 京 文 )) 已 知 函 数 f ( x)

l g x , 若 f (ab) ? 1 , 则

f (a 2 ) ? f (b2 ) ? _________.
28 . (江苏省无锡市 2013 届高三上学期期中考试数学试题) 若 y ? f ( x) 是幂函数 , 且满足

f (4) 2 ,则 f (3) ? __________ _. ? f (2) 2
29 . (2011 年上海市普通高等学校春季招生考试数学卷 ) 函数

y ? lg? x ? 2? 的定义域是

__________.
30.(2012 年高考(山东文))若函数 f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) 在[-1,2]上的最大值为 4,最小值为

m,且函数 g ( x) ? (1 ? 4m) x 在 [0, ??) 上是增函数,则 a=____.

? 0 ? x ? c, ?x 2 , 31.(2012 年西城区高三一模数学理科)已知函数 f ( x) ? ? 其中 c ? 0 . 2 x ? x , ? 2 ? x ? 0, ? ? 1 那么 f ( x ) 的零点是_____;若 f ( x ) 的值域是 [? , 2] ,则 c 的取值范围是_____ 4
1

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