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1.2.1学案


高一数学必修1彩虹课堂系列

第一章
集合与函数的概念

第一章 集合与函数的概念

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1.2.1 函数的概念

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新知初探
1.函数的定义:设A,B是两个非空的数集 ,如果按照 某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在

集合B中都有唯一确定的数f(x) 和它对应,那么就称f:
A→B为集合A到集合B的一个函数,记作 y=f(x) ,x∈A.其

中x叫做 自变量 ,x的取值范围A叫做函数的 定义域 ;与x的 值对应的y值叫做 函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}={y|y= f(x),x∈A}叫做函数的 值域.
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2.一个函数的构成要素为定义域、值域、对应法则, 由于值域可由定义域和对应关系确定,所以,如果定义域

和对应法则相同 ,我们称这两个函数相同.

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3.函数的定义域: (1)如果f(x)为整式,其定义域为R; (2)如果f(x)为分式,其定义域为使分母不为零的自变量

x的所有取值组成的集合 ;
(3)如果f(x)是二次根式(偶次根式),其定义域为 使被开

方数非负的自变量x的所有取值组成的集合;

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(4)如果f(x)是由以上几个部分的代数式构成的,其定义 域为几部分的交集 ; (5)f(x)=x0的定义域为 {x|x≠0} .

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4.a,b∈R,且a<b,规定数集{x|a≤x≤b}用区间表 示为 [a,b] ;数集{x|a≤x<b}用区间表示为 [a,b) ;数集 {x|a<x<b}用区间表示为 (a,b) ;数集{x|x≥a}用区间表示为

[a,+∞) ;数集{x|x<b}用区间表示为 (-∞,b);实数集
R用区间表示为 (-∞,+∞).

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5.区间实质是表示数轴上一段 实数 的集合. 6.区间在数轴上表示时,用实心圆点 表示包括区间的 端点,用 空心圆圈表示不包括区间的端点.

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思考感悟

1.高中函数的定义与初中函数定义有何区别?
提示:这两种定义实质上是一致的,只不过叙述的出 发点不同,初中给出的定义是从运动变化的观点出发,高 中给出的定义是从集合、对应的观点出发,其中的对应关 系是将两个集合中的元素对应起来,两种定义的对应关系 都是将自变量x的每一个取值与唯一确定的函数值y对应起 来.
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2.如何理解函数的对应法则?

提示:对应法则f是函数关系的本质特征,y=f(x)的意 义是:y就是x在关系f下的对应值,而f是“对应”得以实现 的方法和途径,如f(x)=2x+6, 如f(3)=2×3+6=12. f表示2倍的自变量加上6,

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3.f(x)与f(a)的区别与联系是什么?

提示:f(a)表示当x=a时,函数f(x)的值,是一个常 量;而f(x)是自变量x的函数,在一般情况下,它是一个变 量, f(a)是f(x)在x=a时的一个特殊值,如一次函数f(x)=

3x+4,当x=8时, f(8)=3×8+4=28是一个常量.

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4.数集都能用区间表示吗?

提示:区间是数集的又一种表示方法,但并不是所有 数集都能用区间表示,如{1,2,3,4},就不能用区间表示.

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典例导悟
类型一 函数的概念 [例1] 下列式子能否确定y是x的函数?

(1)x2+y2=2; (2) x-1+ y-1=1; (3)y= x-2+ 1-x.

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[分析]

先将已知式子进行等价转化为用x表示y的形

式,再利用函数的定义进行判断.

[解]

(1)由x2+y2=2,得y=± 2-x2 .当x=1时,对应

的y值有两个,故y不是x的函数.

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(2)由 x-1+ y-1=1,得y=(1- x-1)2+1. 所以当x在{x|x≥1}中任取一个值时, 都有唯一的y值与之对应,故y是x的函数. (3)因为不等式组 x-2≥0,
? ? ? ? ?

-x≥0 的解集是?,即x

取值的集合是?,故y不是x的函数.

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[点评]

(1)判断一个对应关系f:A→B是否是函数,要

从以下三个方面去判断:①A,B必须是非空数集;②A中 任何一个元素在B中必须有元素与其对应;③A中任一元素 在B中必有唯一元素与其对应. (2)函数的定义中“任意一个数x”与“唯一确定的数 f(x)”说明函数中两个变量x,y的对应关系是“一对一”或 者是“多对一”,而不能是“一对多”.

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变式训练1 设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给 出下列四个图形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系 的有( )

图1
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A.0个 C.2个

B.1个 D.3个

解析: 图号 正误 ① × 原因 x=2时,在N中无元素与之对 应,不满足任意性. 同时满足任意性与唯一性.





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图号 正误 ③ ×

原因 x=2时,对应元素y=3?N,不 满足任意性. x=1时,在N中有两个元素与 之对应,不满足唯一性.



×

根据上述分析只有一个满足函数关系.故选B.
答案:B

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类型二 [例2] 说明理由.

判断两个函数是否相同 判断下列各组中的函数f(x)与g(x)是否相等,并

(1)f(x)=(x-1)0,g(x)=1; (2)f(x)=x,g(x)= x2; (3)f(x)=x2,g(x)=(x+1)2; (4)f(x)=|x|,g(x)= x2.

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[分析]

由题目可获取以下主要信息:

①已知函数的解析式; ②由解析式可确定函数定义域. 解答本题结合相等函数的定义判断函数三要素是否一 致即可.

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[解]

(1)f(x)的定义域是{x|x≠1},g(x)的定义域是R,

它们的定义域不同,故不相等. (2)定义域相同,都是R,但是g(x)=|x|,即它们的解析 式不同,也就是对应关系不同,故不相等. (3)定义域相同,都是R,但是它们的解析式不同,也 就是对应关系不同,故不相等. (4)定义域相同,都是R,解析式化简后都是y=|x|,也 就是对应关系相同,定义域和对应关系相同,那么值域必 相同,这两个函数的三要素完全相同,故两函数相等.
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[点评]

讨论函数问题时,要保持定义域优先的原

则.判断两个函数是否相等,要先求定义域,若定义域不 同,则不相等;若定义域相同,再化简函数的解析式,若 解析式相同,则相等,否则不相等.

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变式训练2 下列各组中两个函数是否表示相等函数? (1)f(x)=6x,g(x)=6 x3; x2-9 (2)f(x)= ,g(x)=x+3; x-3 (3)f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1. 3

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解:(1)g(x)=6

3

x3 =6x,它与f(x)=6x定义域相同,对

应关系也相同,所以是相等函数. x2-9 (2)f(x)= =x+3(x≠3),它与g(x)=x+3的定义域 x-3 不同,故不是相等函数. (3)虽然自变量用不同的字母表示,但两个函数的定义 域和对应关系都相同,故是相等函数.

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类型三 [例3] 2(x∈R).

函数求值问题 已知f(x)= 1 (x∈R,且x≠-1),g(x)=x2+ 1+x

(1)求f(2),g(2)的值; (2)求f[g(2)]的值; (3)求f[g(x)]的解析式. [分析] 正确理解符号f(a)的含义.

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[解]

1 1 (1)f(2)= =3,g(2)=22+2=6. 1+2

1 1 (2)f[g(2)]=f(6)= = . 1+6 7 1 1 (3)f[g(x)]=f(x +2)= = . 1+?x2+2? x2+3
2

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[点评] 的含义;

(1)求函数值时,要正确理解对应法则“f ”和“g”

(2)求f[g(x)]时,一般遵循先里后外的原则,先求g(x), 然后将f(x)解析式中的x代换为g(x),同时要注意函数的定义 域.

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变式训练3 已知f(x)=2x+3,求f(1),f(a),f(m+n), f[f(x)]的值.
解:f(1)=2×1+3=5; f(a)=2a+3; f(m+n)=2(m+n)+3=2m+2n+3; f[f(x)]=2f(x)+3=2(2x+3)+3=4x+9.

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类型四 [例4]

求函数的定义域 求下列函数的定义域. 3

-x 4x+8 (1)y= 2 ;(2)y= . 2x -3x-2 3x-2

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[解]

-x (1)要使y= 2 有意义,则必须 2x -3x-2 1 解得x≤0且x≠- , 2

? ?-x≥0, ? 2 ? ?2x -3x-2≠0,

1 故所求函数的定义域为{x|x≤0,且x≠-2}.

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4x+8 2 (2)要使y= 有意义,则必须3x-2>0,即x> 3 , 3x-2 2 故所求函数的定义域为{x|x>3}.

3

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[点评]

求函数的定义域一般是转化为解不等式或不

等式组的问题,注意定义域是一个集合,其结果必须用集 合或区间来表示(这是与初中的不同之处).

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变式训练4 A.{x|x≥0}

函数y= x?x-1?+ x的定义域为( B.{x|x≥1} D.{x|0≤x≤1}

)

C.{x|x≥1}∪{0}
? ?x?x-1?≥0, 解析:? ? ?x≥0,

?x≥1或x=0,所以选C.

答案:C

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类型五 [例5] 域.

求复合函数的定义域 设y=f(x)的定义域是[0,2],求下列函数的定义

(1)f(x+3);(2)f(x+a)-f(x-a)(0<a≤1).

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[解]

(1)由0≤x+3≤2得-3≤x≤-1,所以所求函数

定义域为[-3,-1].
? ?0≤x+a≤2, (2)由? ? ?0≤x-a≤2, ? ?-a≤x≤2-a, 得:? ? ?a≤x≤2+a.

又因为0<a≤1,所以2-a≥a,所以所求函数的定义域 为[a,2-a].

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[点评]

根据“若f(x)的定义域为[a,b],则f[g(x)]的定

义域为a≤g(x)≤b的解集”来解相应的不等式(或不等式 组).

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变式训练5 已知f( x+1 )的定义域为[0,3]求f(x)的定义 域.
解:∵f( x+1)的定义域为[0,3], ∴0≤x≤3,则1≤ x+1≤2. ∴f(x)的定义域为[1,2].

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自我纠错
易错点:讨论不周,导致错误 [错题展示] 已知函数y= mx2-6mx+m+8 的定义域

是R,求实数m的取值范围. [错解] 由于mx2-6mx+m+8≥0对一切实数x均成 解得0<m≤1.

? ?m>0, 立,于是有? ? ?Δ≤0.

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[错因分析] 由于二次项系数是字母,当字母为零 时,根号里面就不是二次式了,这种情况要考虑到,不能 忽略.
[正解] (1)当m=0时,y= 8,其定义域是R; 解得0<m≤1.

? ?m>0, (2)当m≠0时,应有? ? ?Δ≤0,

由(1)(2),得m∈[0,1].

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[反思]

本题在求解过程中用到了转化与化归的思

想,是一种把未知问题转化为熟知可解的问题的一种重要 的思想方法.

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思悟升华
1.对函数概念的理解需注意以下几点: (1)A,B都是非空数集,因此定义域(或值域)为空集的 函数不存在. (2)B不一定是函数的值域,如函数y=x2+1可称为实数 集到实数集的函数.

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(3)函数的定义域、值域、对应法则f统称为函数的三要 素.其中对应法则f是核心,f是使对应得以实现的方法和途 径,是联系x与y的纽带,定义域是自变量x的取值范围,是 函数的一个重要组成部分.

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2.判断一个对应关系是否为函数要依据函数的定义, 把握三个要点:(1)两集合是否为非空数集;(2)对集合A中 的每一个元素,在B中是否都有元素与之对应;(3)A中任一 元素在B中的对应元素是否唯一.

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4.研究函数问题必须树立“定义域优先”原则.求函 数定义域一般有三种类型:(1)函数来自实际问题的定义 域;(2)已知函数解析式求定义域;(3)抽象函数求定义域.

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随 堂 知 能 训 练

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1.下列函数中,与函数y= ( ) x A.f(x)= x C.f(x)=|x|

1 x

有相同定义域的是

1 B.f(x)= x x-1 D.f(x)= x

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1 解析:函数y= 的定义域为{x|x>0}; x x 函数f(x)= x 的定义域为{x|x>0}; 1 函数f(x)= 的定义域为{x|x≠0,x∈R}; x 函数f(x)=|x|的定义域为R; x-1 函数f(x)= 的定义域为{x|x≥1}. x

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1 x 所以与函数y= 有相同定义域的是f(x)= x . x
答案:A

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-3 2.函数y= 的值域是( x A.R C.{y|y≠-3}

) B.{y|y≠0} D.{y|y>-3}

答案:B

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3 1 3.已知函数f(x)= ,则f( )=( x a 1 A.a C.a 3 B.a D.3a

)

1 3 解析:f( )= =3a. a 1 a
答案:D

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4.集合{x|-12≤x<10,或x>11}用区间表示为_____ ___.

答案:[-12,10)∪(11,+∞)

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5.已知函数f(x)=2x-1,则f[f(2)]=________.

解析:∵f(2)=2×2-1=3, ∴f[f(2)]=f(3)=3×2-1=5.
答案:5

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1 6.已知函数f(x)=x+x , (1)求f(x)的定义域; (2)求f(-1),f(2)的值; (3)当a≠-1时,求f(a+1)的值.

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解:(1)要使函数有意义,必须使x≠0, ∴f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞). 1 1 5 (2)f(-1)=-1+ =-2,f(2)=2+ = . 2 2 -1 (3)当a≠-1时,a+1≠0, 1 ∴f(a+1)=a+1+ . a+1

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