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二项式定理与杨辉三角


二项式定理与杨辉三角

知识回顾
n n= C 0 a n ? C 1 a n ?1b ? C 2 a n ? 2b 2 ? ? ? C n b﹙ 1.(a+b) n n n n

n? N , ﹚

?

展开式共有 项,其中 C 叫做 二项式系数 ; 2.通项表示展开式中的第 r+1 r n?r r 是 Tr ?1 ? C n a b .
n+1

r (r=0,1,2,……,n) n

项,通项公式

3. 二项式系 数性质

Cn
r

r

=

Cn
r ?1

n?r

Cn ? Cn

=

C n ?1

r

(a+b)1…………………………… C 1
(a+b)2……………………… 1 0 C2 (a+b)3……………………1 C (a+b)4……………… (a+b)5……………
0 3

0 1

11 C
1

1 22 C
1

12 C2
2

3 C3
1

3 C3

C1 3

3

C 1 4
0

0

C4 4
1

C4 6
2

2

C4 4
3

3

C1 4
4 5

4

C C 5 C15 10 5 C 5 10 5 …… ? (a+b) n-1…… C 0 C 1 C 2 … C nr ? 11 C r … C n ? 1 n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 (a+b) n……C n0 C 1 C 2 … C nr ? 1 C r ……… C nn n n n
1C 5

C 5 5

结论:① C n ? C n
r

n?r

二项式系数前半部分逐渐增大,后半部分逐渐减小,且 ② 在中间取得最大值; ;

即与首末两端“等距离”的两个二项式系数相 ; 等

③ 各二项式系数的和: Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? 2 。
0 1 2 n n
……

二项式系数的性质: r n?r 1.对称性: C n ? C n ,即与首末两端“等距离”的两 个二项式系数相等; 2.增减性与最大值: n 当n为偶数时,展开式中间的一项 C n2 取得最大;当
n ?1 2 n n ?1 2 n

n为奇数时,展开式中间的两项 C 、 相等,且同 C
时取得最大。 3. 各二项式系数的和:
Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? 2
0 1 2 n n

这里要注意赋值法的应用。 4.杨辉三角

知识应用
1.若n为奇数,(a+b﹚n 的展开式中二项系数是大的 项( C ) n ?1 n A、第 项 B、第 项
2 2

C、第

n ?1 2



n ?1 2

? 1项

D、第

n 2

?1



n 2



2.(a+b)n 的展开式中,第5项的二项式系数最大,n= 3.

C 12 ? C 12 ? ? ? C 12
1 2
4 4 6 4 6

11

212-2 ?

4 6 4 6 6

4.﹙x-y﹚10展开式中,系数最大的项是
T5 ? C10 x (? y) ? 210 x y

T7 ? C10 x (? y) ? 210 x y

5.在 (1 ? a ) m 的二项式展开式中,第5项的系数等于第9项 12 的系数,那么m的值是______; 6.求展开式中的x2系数:
2 20

( x ? 3 x ? 4)
2

4

7. (1+ 2 x- 3 x ) 的展开式一共有多少项?
王新敞
奎屯 新疆

8. ( x ?

2 x

) 2

n

的展开式中,第五项与第三项的二项式系
10 ? 5 r

数之比为14:3,求展开式的常数项

T r ?1 ? C

r 10

( x)

10 ? r

(?

2 x
2

) ? (?2) C
r r

r 10

x

2

自主练习
1 1. ( 2 x ? 1) 展开式的各项系数和为______;
2 n

2. ( x ? 7 y ) 展开式的二项式系数之和为128、那么展 8 开式的项数是 ;各项系数之和为:
n

3.

(1 ? x ) ? (1 ? x ) ? ? ? (1 ? x )
2

n

的所有二项式的各项系数和是 4. ( x ? 2 ) ? a 8 x ? a 7 x
8 8 7

2n+1-2 ;

? ? ? a1 x ? a 0


-255 则 a 8 ? a 7 ? a 6 ? ? ? a 1 ? ______

5. ( x ? x ? 1) ( 2 x ? 1)
2 7

4

展开式中x3项系数为


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