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高中数学各章节基础练习-立体几何基础题

立体几何基础 A 组题 一、选择题: 1.下列命题中正确命题的个数是_____个_ ⑴ 三点确定一个平面 ⑵ 若点 P 不在平面 ? 内,A、B、C 三点都在平面 ? 内,则 P、A、B、C 四点不在同一平面内 ⑶ 两两相交的三条直线在同一平面内 ⑷ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2.已知异面直线 a 和 b 所成的角为 50 ? ,P 为空间一定点,则过点 P 且与 a 、 b 所成的角都是 30 ? 的 直线条数有且仅有______条 3.已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,下列四个命题中正确的是_______ (1) 若 ? // ? ,则 l ? m (3) 若 l // m ,则 ? ? ? (2) 若 ? ? ? ,则 l // m (4) 若 l ? m ,则 ? // ?

4.已知 m 、 n 为异面直线, m ? 平面 ? , n ? 平面 ? , ? ? ? ? l ,则 l 与 m、n 的关系式______ 5.设集合 A={直线},B={平面}, C ? A ? B ,若 a ? A , b ? B , c ? C ,则下列命题中的真命题 是 A. ( )

c // b ? ??a ?c a ? b? a // b? ? ? a // c c // b ?

B.

a ? b? ? ? a // c b ? c? a // b ? ??a ?c c ? b?

C.

D.

6.已知 a 、 b 为异面直线,点 A、B 在直线 a 上,点 C、D 在直线 b 上,且 AC=AD,BC=BD,则直 线 a 、 b 所成的角为 7.下列四个命题中正确命题的个数是 个 有四个相邻侧面互相垂直的棱柱是直棱柱 各侧面都是正方形的四棱柱是正方体 底面是正三角形,各侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 8. 设 M={正四棱柱}, N={长方体}, P={直四棱柱}, Q={正方体}, 则这些集合之间关系是 ________ 9.正四棱锥 P—ABCD 中,高 PO 的长是底面长的

1 4 3 ,且它的体积等于 cm ,则棱 AB 与侧面 PCD 2 3

之间的距离是 10.纬度为 ? 的纬圈上有 A、B 两点,弧在纬圈上,弧 AB 的长为 ?R cos ? (R 为球半径) ,则 A、B 两点间的球面距离为________ 11.长方体三边的和为 14,对角线长为 8,那么 ( ) A.它的全面积是 66 B.它的全面积是 132 C.它的全面积不能确定 D.这样的长方体不存在 12.正四棱锥 P—ABCD 的所有棱长都相等,E 为 PC 的中点,那么异面直线 BE 与 PA 所成角的余弦 值等于_________ 13.用一个过正四棱柱底面一边的平面去截正四棱柱,截面是 形
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14.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F、G 分别为 AB、BC、CC1 的重点,则 EF 与 BG 所成角的 余弦值为________________________ 15. 二面角 ? ? a ? ? 内一点 P 到两个半平面所在平面的距离分别为 2 2 和 4, 到棱 a 的距离为 4 2 , 则这个二面角的大小为__________________ 16.四边形 ABCD 是边长为 a 的菱形,?BAD ? 60? , 沿对角线 BD 折成 120 ? 的二面角 A—BD—C 后, AC 与 BD 的距离为_________________________ 17. P 为 120 ? 的二面角 ? ? a ? ? 内一点, P 到? 、 则 P 到棱 a 的距离是______________ ? 的距离为 10, 18.如图:正方形 ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在平面成 60 ? 的二面角,则异面直线 AD 与 BF 所成角的余弦值是______________________

D

C

A F

B

E

19.已知三棱锥 P—ABC 中,三侧棱 PA、PB、PC 两两互相垂直,三侧面与底面所成二面角的大小 分别为 ? , ? , ? ,则 cos2 ? ? cos2

? ? cos2 ? ? _______________

20.若四面体各棱的长是 1 或 2,且该四面体不是正四面体,则其体积的值是_____________(只需 写出一个可能的值) 。 21.三棱锥 P—ABC 的四个顶点在同一球面上,PA、PB、PC 两两互相垂直,且这个三棱锥的三个侧 面的面积分别为 2 ,2 3, 6 ,则这个球的表面积是________ 三、解答题: 22.已知直线 a ? ? ,直线 a ? 直线 b , b ? ? ,求证: b // ? 23.如图:在四面体 ABCD 中, AB ? 平面BCD ,BC=CD, ?BCD ? 90? , ?ADB ? 30? ,E、 F 分别是 AC、AD 的中点。 (1)求证:平面 BEF ? 平面 ABC; (2)求平面 BEF 和平面 BCD 所成 的锐二面角正切值。

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A F

E B C D

27. 如图所示: 已知 PA ? ⊙O 所在的平面, AB 是⊙O 的直径, C 是⊙O 上任意一点, 过 A 作 AE ? PC 于 E,求证: AE ? 平面PBC 。 P

E A O B

C 24.已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a ,求异面直线 B1C 和 BD1 间的距离。 25.如图:正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a ,E、F、G 分别是 AB、CC1、B1C 的中点,求异面 直线 EG 与 A1F 的距离。
D1 A1 B1 F G D C H A E B C1

26.矩形 ABCD 中,AB=6,BC= 2 3 ,沿对角线 BD 将 ?ABD 向上折起,使点 A 移至点 P,且 P 在平面 BCD 上射影位 O,且 O 在 DC 上, (1)求证: PD ? PC ; (2)求二面角 P—DB—C 的平面角的余弦值; (3)求直线 CD 与平面 PBD 所成角正弦值。

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P

D B C

28.已知:空间四边形 ABCD 中,AB=BC=CD=DA=AC=BD= a ,M、N 分别为 BC 和 AD 的中点,设 AM 和 CN 所成的角为 ? ,求 cos? 的值。 29. 已知: 正三棱锥 S—ABC 的底面边长为 a , 各侧面的顶角为 30 ? , D 为侧棱 SC 的重点, 截面 ?DEF 过 D 且平行于 AB,当 ?DEF 周长最小时,求截得的三棱锥 S—DEF 的侧面积。 30.在四面体 A—BCD 中,AB=CD=5,AC=BD= 2 5 ,AD=BC= 13 ,求该四面体的体积。 立体几何基础 B 组题 一、选择题: 1.在直二面角 ? —AB— ? 的棱 AB 上取一点 P,过 P 分别在 ? 、 ? 两个平面内作与棱成 45 ? 的斜 线 PC、PD,那么 ?CPD 的大小为 2.如果直线 l 、 m 与平面 ? 、 ? 、? 满足:l ? ? ? ? , l // ? , m ? ? 和 m ? ? ,那么必有( A. ? ? ? 且 l ? m C. m // ? 且 l ? m B. ? ? ? 且 m // ? D. ? // ? 且 ? ? ? 个 E 4.如图:在多面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长 为 3 的正方形,EF//AB, EF ? 离为 2,则该多面体的体积为 A B 5.如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,那么这两个二面角的大小 关系是 6.已知球的体积为 36? ,则该球的表面积为________ 7.已知 MN // ? , M 1 A ? ? ,且 MM 1 ? ? , NA ? MN ,若 MN ? 2 , M 1 A ? 3 , NA ? 4 ,则 F )

3.在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有

3 ,EF 与面 AC 的距 2

D

C

M 1 N 等于
8.异面直线 a 、 b 成 60 ? 角,直线 c ? a ,则直线 b 与 c 所成角的范围是 9.一个三棱锥,如果它的底面是直角三角形,那么它的三个侧面 A.至多只有一个是直角三角形 B.至多只有两个是直角三角形
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C.可能都是直角三角形 D.必然都是非直角三角形 10.如图:在斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面 ?ABC 中, B1

C1 A1

?A ? 90? ,且 BC1 ? AC ,过 C1 作 C1 H ? 底面 ABC,
垂足为 H,则点 H 在 A.直线 AC 上 B.直线 AB 上 C.直线 BC 上 D. ?ABC 内部 11.如图:三棱锥 S—ABC 中, 比为 ________ ( ) B

C A

SE BF SG 1 ? ? ? ,则截面 EFG 把三棱锥分成的两部分的体积之 EA FS SC 2
S

E

G

A

F

C

B

12.正四面体内任意一点到各面的距离和为一个常量,这个常量是 A.正四面体的一个棱长 B.正四面体的一条斜高的长 C.正四面体的高 D.以上结论都不对 13.球面上有三点 A、B、C,每两点之间的球面距离都等于大圆周长的 则球面面积为





1 ,过三点的小圆周长为 4? , 6

14. ? 、 ? 是两个不同的平面, m, n 是平面 ? 及 ? 之外的两条不同直线,给出四个论断: ①m ? n ②? ? ? ③n ? ? ④ m ? ? 以其中三个论断作为条件,余下一个论断

作为结论,写出你认为正确的一个命题是____________ 15. 关于直角 AOB 在平面 ? 内的射影有如下判断: ①可能是 0? 的角; ②可能是锐角; ③可能是直角; ④可能是钝角;⑤可能是 180 ? 的角,其中正确判断的序号是_________ (注:把你认为是正确判断的序号都填上) 16.如图所示:五个正方体图形中, l 是正方体的一条对角线,点 M、N、P 分别为其所在棱的中点, 能得出 l ? 面 MNP 的图形的序号是____________________
P M N l

P

l M P

N

M

l N







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l M P

N

P l M N





17.如图:平面 ? // 平面 ? //平面 ? ,且 ? 在 ? 、? 之间。若 ? 和 ? 的距离是 5, ? 和 ? 的距离是 3, 直线 l 和 ? 、 ? 、 ? 分别交于 A、B、C,AC=12,则 AB=___,BC=____

l A

l' B

C

D

P

Q

18.已知三条直线两两异面,能与这三条直线都相交的直线有__________________条。 19.一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形,另一个是边长为 1 的正三角形,这样的三棱 锥体积为_____________(写出一个可能值) 20.正三棱锥两相邻侧面所成角为 ? ,侧面与底面所成角为 ? ,则 2 cos? ? cos 2? =_____ 21.正四面体的四个顶点都在表面积为 36? 的一个球面上,则这个正四面体的高等于______ 22.如图所示:A1B1C1D1 是长方体的一个斜截面,其中 AB=4,BC=3,CC1=12,AA1=5,则这个几 何体的体积为________________
C1 D1 B1 A1 D

C

A

B

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三、解答题: 23.已知平面 ? //平面 ? ,AB、CD 是夹在 ? 、 ? 间的两条线段,A、C 在 ? 内,B、D 在 ? 内,点 E、F 分别在 AB、CD 上,且 AE : EB ? CF : FD ? m : n ,求证: EF // ?

24.在底面是直角梯形的四棱锥 S—ABCD 中, ?ABC ? 90? , SA ? 面ABCD ,SA=AB=BC=1,

AD ?

1 , (如图) , 2
(2)求面 SCD 与面 SAB 所成二面角的正切值。

(1)求四棱锥 S—ABCD 的体积;

S

B

C

A

D

25.从二面角 ? ? MN ? ? 内一点 A 分别作 AB ? 平面 ? 于 B,AC ? 平面 ? 于 C,已知 AB=3cm, AC=1cm, ?ABC ? 60 ? ,求: (1)二面角 ? ? MN ? ? 的度数; (2)求点 A 到棱 MN 的距离。

26.如图:在棱长为 a 的正方体 OABC? O' A'B'C' 中,E、F 分别是棱 AB、BC 上的动点,且 AE=BF, (2)当三棱锥 B' ? BEF 的体积取得最大值时,求二面角 B' ? EF ? B 的大小。

O1 A1 B1

C1

O F A E B

C

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27.已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1,AB=1,AA1=2,点 E 为 CC1 中点,点 F 为 BD1 中点(如图) , (1)证明 EF 为 BD1 与 CC1 的公垂线; (2)求点 D1 到面 BDE 的距离。
D1 C1

A1

B1 E F D

C

A

B

28.如图:在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,底面是等腰直角三角形, ?ACB ? 90? ,侧棱 AA1=2,D、 E 分别是 CC1 与 A1B 的中点,点 E 在平面 ABD 上的射影是 ?ABD 的重心 G。 (1)求 A1B 与平面 ABD 所成角的正弦值(2)求点 A1 到平面 AED 的距离。
C1 A1 D

B1

E

C G

A

B

29.如图:三棱柱 OAB ? O A B ,平面 OBB1O1⊥平面 OAB, ?O OB ? 60? , ?AOB ? 90? ,且
1 1 1 1

OB=OO1=2,OA= 3 ,求: (1)二面角 O1—AB—O 的大小; (2)异面直线 A1B 与 AO1 所成角的大小。(上述结果用反三角函数值表示) 答案: (1) arctan 7 , (2) arccos

1 7

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C1 B1 A1

C

B

A

30.PD⊥矩形 ABCD 所在平面,连 PB,PC,BD,求证: ?PBD ? ?BPC ? 90? ,如图。
P

D A

C

B

31.长方形纸片 ABCD,AB=4,BC=7,在 BC 边上任取一点 E,把纸片沿 AE 折成直二面角,问 E 点取何处时,使折起后两个端点 B、D 之间的距离最短? 答案:当 BE=4 时,BD 的最小值为 37 32.如图: ?BCD 内接于直角梯形 A1A2A3D,已知沿 ?BCD 三边把 ?A1 BD 、 ?A2 BC 、 ?A3CD 翻 折上去,恰好使 A1、A2、A3 重合成 A, (1)求证: AB ? CD ; (2)若 A1 D ? 10 , A1 A2 ? 8 ,求二面角 A—CD—B 的大小。 答案: (1)略, (2) arctan

17 8
A1 B D

A2

C

A3

32.如图:四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PD ? 平面 ABCD,AD=PD,E、F 分别为 CD、

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PB 的中点。 (1)求证:EF ? 平面 PAB; (2)设 AB= 2 BC,求 AC 与平面 AEF 所成的角的大小。
P

F C E D

B

A

答案: (1)略, (2) arcsin

3 6

33.在三棱锥 P—ABC 中,PA、BC 的长度分别为 a 、 b ,PA 与 BC 两条异面直线间的距离为 h ,且 PA 与 BC 所成的角为 ? ,求三棱锥 P—ABC 的体积。 答案: abh sin ?

1 6

34.如图所示:四棱锥 P—ABCD 中,侧面 PDC 是边长为 2 的正三角形,且与底面垂直,底面 ABCD 是面积为 2 3 的菱形, ?ADC 为菱形的锐角,M 为 PB 的重点, (1)求证: PA ? CD ; (2)求二面角 P—AB—D 的度数; (3)求证:平面 CDM ? 平面 PAB; (4)求三棱锥 C—PDM 的体积。
P M

C

B

D

A

答案: (1)略, (2) 45 ? , (3)略, (4)

1 2

35 .如图所示:直三棱柱 ABC — A1B1C1 中, AC=BC=AA1=2 , ?ACB ? 90? , E 为 BB1 中点,

?A1 DE ? 90? ,
(1)求证:CD ? 平面 A1ABB1; (2)求二面角 C—A1E—D 的大小; (3)求三棱锥 A1—CDE 的体积。 答案: (1)略, (2) 45 ? , (3)1
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A1

C1

B1

E A D B C

36.如图所示:已知在斜三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC=BC,D 为 AB 的中点,平面 A1B1C1 ? 平面 ABB1A1,异面直线 BC1 与 AB1 互相垂直。 (1)求证:AB1 ? 平面 A1CD; (2)若 CC1 与平面 ABB1A1 的距离为 1, A1C ? 37 , AB1 ? 5 ,求三棱锥 A1 ? ACD 的体积。 答案: (1)略, (2)
A1 C1 B1

5 3

D A C B

立体几何基础 C 组题 一、选择题: 1.过空间任一点作与两条异面直线成 60 ? 的直线,最多可作的条数是 A.4 B.3 C.2 D.1 ( )

答案:A 2.用一块长方形钢板制作一个容积为 4m3 的无盖长方体水箱,可用的长方形钢板有下列四种不同的 规格(长 ? 宽的尺寸如各选项所示,单位均为 m) 。若既要够用,又要所剩最小,则应选择钢板的 规格是 ( ) A. 2 ? 5 B. 2 ? 5.5 C. 2 ? 6.1 D. 3 ? 5 答案:C 3. 已知集合 M={直线的倾斜角}, 集合 N={两条异面直线所成的角}, 集合 P={直线与平面所成的角}, 则下列结论中正确的个数是 ( ) (1) ( M ? N ) ? P ? (0,

?
2

]

(2) ( M ? N ) ? P ? (0, ? ]

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(3) ( M ? N ) ? P ? (0, A.4 个 B.3 个

?
2

]
C.2 个

(4) ( M ? N ) ? P ? (0, D.1 个

?
2

)
答案:D ) 答案:B ) 答案:A

4.已知圆锥的底面半径为 R,高为 3R,在它的所有内接圆柱中,全面积的最大值是( A. 2?R
2

B.

9 2 ?R 4

C.

8 2 ?R 3

D.

5 2 ?R 2

5.一个四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为 ( A. 3? B. 4? C. 3 3? D. 6? P

6.如图:四棱锥 P—ABCD 的底面为正方形, PD ? 平面 ABCD,PD=AD=1,设点 C 到平面 PAB 的距离为 d1 ,点 B 到平面 PAC 的距离 d 2 ,则有( A. 1 ? d1 ? d 2 C. d1 ? 1 ? d 2 B. d1 ? d 2 ? 1 D. d 2 ? d1 ? 1 A )

D B

C

答案:D 7.平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 的六个面都是菱形,则 D1 在面 ACB1 上的射影是 ?ACB1 的( A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 )

答案:D 8.设正三棱锥 P—ABC 的高为 PO,M 为 PO 的中点,过 AM 作与棱 BC 平行的平面,将三棱锥截为 上、下两部分,则这两部分体积之比为 ( ) A.

4 25

B.

21 25

C.

4 21

D.

4 17
答案:C

9.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积是 的体积是 A. 96 3 B. 16 3 C. 24 3 D. 48 3

32 ? ,那么该三棱柱 3
( ) 答案:D

10.在侧棱长为 2 3 的正三棱锥 S—ABC 中, ?ASB ? ?BSC ? ?CSA ? 40? ,过 A 作截面 AEF, 则截面的最小周长为 A. 2 2 B.4 C.6 D.10 ( )

答案:C 11.设 O 是正三棱锥 P—ABC 底面 ?ABC 的中心,过 O 的动平面与 P—ABC 的三条侧棱或其延长线 的交点分别记为 Q,R,S, 则和式

1 1 1 ? ? 满足 PQ PR PS





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A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值 C.既有最大值又有最小值,且最大值与最小值不等 D.是一个与平面 QRS 为之无关的常量 答案:D 12.三棱锥的三个侧面两两互相垂直,且三条侧棱长之和为 3,则三棱锥体积的最大值为( ) A. 1 B.

1 6

C.

1 3

D.6

答案:B

二、填空题: 13.过正方体的每三个顶点都可确定一个平面,其中能与这个正方体的 12 条棱所成的角都相等的不 同平面的个数为__________________个 答案:8 14.在平面几何里,有勾股定理: “设 ?ABC 的两边 AB、AC 互相垂直,则 AB ? AC ? BC 。 ”
2 2 2

拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出 的正确结论是: “设三棱锥 A—BCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两相互垂直,则___________” 答案: S
2 ?ABC

? S 2 ?ACD ? S 2 ?ADB ? S 2 ?BCD

15.下图是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题(1)AB 与 EF 所在直线平行; (2)AB 与 CD 所在直线异面; (3)MN 与 BF 所在直线成 60 ? 角; (4)MN 与 CD 所在直线互相垂直,其中正 确命题的序号为_________________(将所有正确的都填入空格内)
D

F

C B

E N A

M

答案: (2) 、 (4)

16.如图:在透明塑料制成的长方体 ABCD—A1B1C1D1 容器内灌进一些水,固定容器底面一边 BC 于 地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下列四个命题:
D1 A1

D1 A1 H D E A F B

C1

C1

B1 G C
A

D

B1 H G C

E B

F

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①水的部分始终呈棱柱形;②水面四边形 EFGH 的面积不变;③棱 A1D1 始终与水面 EFGH 平行;④当容 器倾斜如图所示时, BF ? BE 是定值,其中所有正确命题的序号是_____________ 答案:①③④ 17.已知将给定的两个全等的正三棱锥的底粘在一起,恰得到一个所有二面角都相等的六面体,并且 该六面体的最短棱的长为 2,则最远的两顶点间的距离为_________________ 答案:3 三、解答题: 18.在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB= a , BC ? b , AA 1 ? c ,求异面直线 BD1 和 B1C 所成角的 余弦值。 答案:

c2 ? b2 a2 ? b2 ? c2 ? b2 ? c2

19.如图所示:四棱锥 P—ABCD 的底面是边长为 a 的正方形,PA ? 面 ABCD, (1)平面 PAD ? 平面 ABCD 所成的二面角为 60 ? ,求这个四棱锥的体积; (2)证明无论四棱锥的高怎样变化,面 PAD 与面 PCD 所成的二面角恒大于 90 ? 。 答案: (1) VP ? ABCD ?
P

3 3 (2)略 a , 3

B

A

C

D

20. 如图: 已知平行六面体 ABCD ? A'B'C'D' 的底面 ABCD 是菱形, 且 ?C1CB ? ?C1CD ? ?BCD , (1)证明: CC1 ? BD ; (2)当

CD 的值为多少时,能使 A 1C ? 平面 C1BD?请给出证明。 CC1
O1 A1 D1 A1

B C D

A

答案: (1)略, (2)

CD ?1 CC1

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21.在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 AA1=2,AB=3,AD= a ,求: (1)异面直线 B1C 与 BD1 所成的角; (2)当 a 为何值时,使 B1C⊥BD1? 答案: (1) arccos

a2 ? 4 a 2 ? 13 ? a 2 ? 4

, (2) a ? 2

22.如图:正三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱长为 2,底面边长为 1,M 是 BC 的中点,在直线 CC1 上找 一点 N,使 MN ? AB1. 答案: CN ?

1 4
C1

A1

B1

N A M B

C

23.如图:正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD、ABEF 互相垂直,点 M 在 AC 上 移动,点 N 在 BF 上移动,若 CM=BN= a , (0 ? a ?

2) 。

(1)求 MN 的长; (2)当 a 为何值时,MN 的长最小; (3)当 MN 长最小时,求面 MNA 与面 MNB 所成的二面角的大小。
C

D

M

B N

E

A

F

答案: (1) MN ?

(a ?

2 2 1 ) ? 2 2

(0 ? a ? 2 )

(2) a ?

2 2

(3) arccos( ? )

1 3

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24.正三棱柱 ABC—A1B1C1 的棱 AA1 上存在动点 P,已知 AB=2,AA1=3,求截面 PBC 与 PB1C1 所

3 ? ? ADE 25.如图所示:平面 EAD 平面 ABCD, 是等边三角形,ABCD 是矩形,F 是 AB 的中点, G 是 AD 的中点,EC 与平面 ABCD 成 30 ? 的角。 (1)求证:EG ? 平面 ABCD;
(2)当 AD=2 时,求二面角 E—FC—G 的度数; (3)当 AD 的长是多少时,D 点到平面 EFC 的距离为 2,请说明理由。 答案: (1)略, (2) 45 ? , (3) AD ?

成二面角的最值。

答案: ? max ? arctan4 3 , ? min ?

?

6
C1

E

B1

A1

A G

F

B

C D
C

D

B

A

26.如图所示:斜三棱柱 ABC—A1B1C1 中, ?ACB ? 90? ,BC=2,B1 在底面 ABC 上的射影 D 恰是 BC 中点,侧棱与底面成 60 ? 角,侧面 A1ABB1 与侧面 B1BCC1 成 30 ? 角, 。求该柱体的侧面积和 体积。 答案: 3

27.如图:长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AD ? AA 1 ? 1, AB ? 2, 点 E 在棱 AB 上移动。 (1)证明: D1 E ? A1 D ; (2)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离; (3)AE 等于何值时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为

? 。 4

D1 A1 D A E B

C1 B1 C

答案: (1)略(2)

1 (3) 2 ? 3 3

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28.如图:在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,侧棱 PA ? 底面ABCD , AB ? 3 ,

BC ? 1 , PA ? 2 ,E 为 PD 的中点。
(1)求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值; (2)在侧面 PAB 内找一点 N,使 NE ? 平面PAC ,并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离。

P E D C

A

B
答案: (1)

3 7 3 (2)1、 14 6

29.如图:在直二面角 D ? AB ? E 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形, AE ? EB ,F 为 CE 上 的点,且 BF ? 平面ACE 。 (1)求证: AE ? 平面BCE ; (2)求二面角 B ? AC ? E 的大小; (3)求点 D 到平面 ACE 的距离。

D

C

F A E
答案: (1)略(2) arcsin

B

6 2 3 ( 3) 3 3

30.如图:在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?A1 AB ? ?A1 AC , AB ? AC ,

A1 A ? A1 B ? a ,侧

面 B1BCC1 与底面 ABC 所成的二面角为 120 ? ,E、F 分别是棱 B1C1、A1A 的中点。 (1)求 A1A 与底面 ABC 所成的角; (2)证明 A1 E // 平面B1FC ;

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(3)求经过 A1、A、B、C 四点的球的体积。

C1 A1 E B1

F C A B
4 3 ?a 3 27

答案: (1) 60 ? (2)略(3)

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