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第六章 第四节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题


1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组 2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区 了解二元一次不等式的几何意义, 了解二元一次不等式的几何意义 域表示二元一次不等式组. 域表示二元一次不等式组 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规 划问题,并能加以解决 划问题,并能加以解决.

1.二元一次不等式表示平面区域 二元一次不等式表示平面区域 (1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角 一般地,二元一次不等式 + + > 在平面直角 一般地 坐标系中表示直线Ax+ + = 某一侧的所有点组成 坐标系中表示直线 +By+C=0某一侧的所有点组成 边界直线. 的平面区域(半平面 的平面区域 半平面) 不包括 边界直线 半平面 不等式Ax+ + 所表示的平面区域(半平面 不等式 +By+C≥0所表示的平面区域 半平面 包括 所表示的平面区域 半平面) 边界直线. 边界直线

(2)对于直线 +By+C=0同一侧的所有点 ,y),使得 对于直线Ax+ + = 同一侧的所有点 同一侧的所有点(x, , 对于直线 Ax+By+C的值符号相同,也就是位于同一半平面的点, + + 的值符号相同 也就是位于同一半平面的点, 的值符号相同, 其坐标适合Ax+ + > ;而位于另一个半平面内的点, 其坐标适合 +By+C>0;而位于另一个半平面内的点, + + < 其坐标适合 Ax+By+C<0 . (3)可在直线 +By+C=0的某一侧任取一点,一般取特 可在直线Ax+ + = 的某一侧任取一点 的某一侧任取一点, 可在直线 殊点(x 来判断Ax+ + 殊点 ,y ),从Ax +By +C的 符号 来判断 +By+ , 的
0 0 0 0

C>0(或Ax+By+C<0)所表示的区域 或 + + 所表示的区域. 所表示的区域 (4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域,是 由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域, 由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域 各个不等式所表示的平面区域的 公共部分 .

2.线性规划的有关概念 线性规划的有关概念
名称 意义

约束条件 目标函数中的变量所满足的不等式组 线性约 束条件 目标函数 线性目 标函数 约束条件是关于变量的 一次 不等式 或等式 组成 不等式(或等式 或等式)组成 的不等式组 要求最大值或最小值的函数, = 要求最大值或最小值的函数,如f=30x+40y等 + 等 如果目标函数是关于变量的 一次 函数

名称 可行解 可行域 最优解

意义 满足 线性约束条件 的解(x,y) 的解 , 所有 可行解 组成的集合 使目标函数取得最大值或 最小值的点的坐标

线性规划 在线性约束条件下求线性目标函数的 问题 最大值 或 最小值 问题

[思考探究 思考探究] 思考探究 可行解和最优解有什么联系和区别? 可行解和最优解有什么联系和区别? 提示:最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优解 提示:最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优解.

1.不等式 2-y2≥0所表示的平面区域 阴影部分 是 ( 不等式x 所表示的平面区域(阴影部分 不等式 所表示的平面区域 阴影部分)是

)

解析:法一: 解析:法一:x2-y2≥0?(x+y)(x-y)≥0 ? + - ? 或

法二: 法二:x2-y2≥0?x2≥y2?|x|≥|y|. ? 答案:C 答案:

2.点(3,1)和(-4,6)在直线 -2y+a=0的两侧,则a的取 . 和- 在直线3x- + = 的两侧, 的取 在直线 的两侧 值范围是 A.a<- 或a>24 . <- <-7或 > C.a=- 或a=24 . =- =-7或 = ( B.- <a<24 .-7< < .- D.以上都不对 . )

解析:点(3,1)和(-4,6)在直线 -2y+a=0的两侧, 在直线3x- + = 的两侧 的两侧, 解析: 和- 在直线 说明将这两点坐标代入3x- + 后 符号相反, 说明将这两点坐标代入 -2y+a后,符号相反, 所以(9- + - - + < , 所以 -2+a)(-12-12+a)<0, 解之得- < < 解之得-7<a<24. 答案: 答案:B

3.设变量x,y满足约束条件 .设变量 , 满足约束条件 +4y的最大值为 的最大值为 A.10 . C.13 . B.12 . D.14 .

则目标函数z= 则目标函数 =2x ( )

解析:在同一直角坐标系中作出三条直线围成的区域, 解析:在同一直角坐标系中作出三条直线围成的区域,作 直线2x+ = ,并平移,当过直线x- =- =-1和 + = 直线 +4y=0,并平移,当过直线 -y=- 和x+y=4 的交点M时 有最大值 有最大值. 的交点 时,z有最大值.

由 zmax=2× × 答案: 答案:C

得x= = +4× ×

,y= = =13.

,∴M(

). .

4.在平面直角坐标系中,不等式组 .在平面直角坐标系中,

(a为常数 为常数) 为常数

表示的平面区域面积是16,那么实数 的值为 的值为_____. 表示的平面区域面积是 ,那么实数a的值为 .

解析: 如示意图, 为平面区域, 解析: 如示意图,△ABC为平面区域, 为平面区域 S△ABC= ∴a=2. = 答案: 答案:2 (a+2)·(4+2a)=16, + + = ,

舍去). ∴a2+4a-12=0,a=2或-6(舍去 . - = , = 或 舍去

5.若不等式组 若不等式组 则a的取值范围是 的取值范围是

表示的平面区域是一个三角形, 表示的平面区域是一个三角形, .

解析:先画出 - + 表示的区域, 解析:先画出x-y+5≥0和0≤x≤2表示的区域,再确定 ≥a 和 表示的区域 再确定y 表示的区域. 表示的区域 由图知: 由图知:5≤a<7. 答案: 答案:[5,7)

二元一次不等式(组 表示平面区域的判断方法 二元一次不等式 组)表示平面区域的判断方法 1.直线定界,特殊点定域 直线定界, 直线定界 注意不等式中不等号有无等号,无等号时直线画成虚线, 注意不等式中不等号有无等号,无等号时直线画成虚线, 有等号时直线画成实线.若直线不过原点,特殊点常选 有等号时直线画成实线 若直线不过原点, 若直线不过原点 取原点. 取原点 2.同号上,异号下 同号上, 同号上 即当B(Ax+By+C)>0时,区域为直线 +By+C=0的上 + + 即当 时 区域为直线Ax+ + = 的上 方,当B(Ax+By+C)<0时,区域为直线 +By+C=0的 + + 时 区域为直线Ax+ + = 的 下方. 下方

[特别警示 (1)Ax+By+C>0(<0):表示直线 :Ax+By+C 特别警示] 特别警示 + + :表示直线l: + + 某一侧所有点组成的平面区域, =0某一侧所有点组成的平面区域,直线应画成虚线 某一侧所有点组成的平面区域 直线应画成虚线. (2)Ax+By+C≥0(≤0):表示直线 :Ax+By+C=0某一侧含 + + :表示直线l: + + = 某一侧含 边界直线上的所有点组成的平面区域,直线 应画成实线 应画成实线. 边界直线上的所有点组成的平面区域,直线l应画成实线

(2009·安徽高考改编 若不等式组 安徽高考改编)若不等式组 安徽高考改编 所表示的平面区域被直线y=kx+ 所表示的平面区域被直线 = + 两部分, 的值 的值. 两部分,求k的值 分为面积相等的

[思路点拨 思路点拨] 思路点拨 画出不等式组所表示的平面区域,寻找等量关系, 画出不等式组所表示的平面区域,寻找等量关系,建立 关于k的方程求解. 关于 的方程求解. 的方程求解

[课堂笔记 由图可知,线性规划区域为△ABC边界及 课堂笔记] 由图可知,线性规划区域为△ 课堂笔记 边界及 内部, = + 内部,y=kx+ 恰过A(0, , = + 恰过 , ),y=kx+ 将区域平 ), ,

均分成面积相等两部分,故过 的中点 的中点D( 均分成面积相等两部分,故过AB的中点 =k× × + ,k= = .

1.求目标函数的最值,必须先准确地作出线性可行域,再 求目标函数的最值,必须先准确地作出线性可行域, 求目标函数的最值 作出目标函数对应的直线, 作出目标函数对应的直线,根据题意确定取得最优解的 点,进而求出目标函数的最值. 进而求出目标函数的最值

2.最优解的确定方法 最优解的确定方法 线性目标函数z= + 取最大值时的最优解与 取最大值时的最优解与b的正负 线性目标函数 =ax+by取最大值时的最优解与 的正负 有关,当b>0时,最优解是将直线 +by=0在可行域内 有关, 时 最优解是将直线ax+ = 在可行域内 向上方平移到端点(一般是两直线交点 的位置得到的 向上方平移到端点 一般是两直线交点)的位置得到的; 一般是两直线交点 的位置得到的; 当b<0时,则是向下方平移 时 则是向下方平移.

[特别警示 当目标函数不是直线形式时,常考虑目标函 特别警示] 当目标函数不是直线形式时, 特别警示 数的几何意义,常见代数式的几何意义主要有以下几点: 数的几何意义,常见代数式的几何意义主要有以下几点: (1) 表示点(x, 与原点 与原点(0,0)的距离; 的距离; 表示点 ,y)与原点 的距离 表示点(x, 与 , 的距离 的距离. 表示点 ,y)与(a,b)的距离 (2) 表示点(x,y)与原点 与原点(0,0)连线的斜率; 连线的斜率; 表示点 , 与原点 连线的斜率 表示点(x, 与点 与点(a, 连线的斜率 连线的斜率. 表示点 ,y)与点 ,b)连线的斜率 这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化, 这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化,往往是解 决问题的关键. 决问题的关键

已知实数x,y满足 已知实数 , 满足 (1)若z=2x+y,求z的最大值和最小值 若 = + , 的最大值和最小值 的最大值和最小值. (2)若z=x2+y2,求z的最大值和最小值; 若 = 的最大值和最小值; 的最大值和最小值 (3)若z= 若 = [思路点拨 思路点拨] 思路点拨 的最大值和最小值. ,求z的最大值和最小值 的最大值和最小值

[课堂笔记 不等式组 课堂笔记] 课堂笔记 图所示. 图所示 图中阴影部分即为可行域. 图中阴影部分即为可行域 由 得 由 ∴B(2,1); ; ∴A(1,2); ; 得

表示的平面区域如





∴M(2,3).

(1)∵z=2x+y,∴y=- +z, ∵ = + , =- =-2x+ , 当直线y=- +z经过可行域内点 当直线 =-2x+ 经过可行域内点M(2,3)时,直线在y 时 直线在 =- 经过可行域内点 轴上的截距最大, 也最大 也最大, 轴上的截距最大,z也最大,此时 zmax=2×2+3=7. × + = 当直线y=- + 经过可行域内点 经过可行域内点A(1,2)时,直线在 轴 当直线 =-2x+z经过可行域内点 =- 时 直线在y轴 上的截距最小, 也最小 也最小, 上的截距最小,z也最小,此时 zmin=2×1+2=4. × + = 所以z的最大值为 ,最小值为4. 所以 的最大值为7,最小值为 的最大值为

(2)过原点 过原点(0,0)作直线 垂直于直线 +y-3=0,垂足为 , 作直线l垂直于直线 过原点 作直线 垂直于直线x+ - = ,垂足为N, 则直线l的方程为 =x, 则直线 的方程为y= , 的方程为 由 点N( 得 ∴N( ), ,

)在线段 上,也在可行域内 在线段AB上 也在可行域内. 在线段

此时可行域内点M到原点的距离最大, 此时可行域内点 到原点的距离最大,点N到原点的距 到原点的距离最大 到原点的距 离最小. 离最小

又|OM|= = 即 ≤

,|ON|= = ≤ ,∴

, ≤x2+y2≤13, , .

所以,z的最大值为 ,z的最小值为 的最大值为13, 的最小值为 所以, 的最大值为 (3)∵kOA=2,kOB= ∵ , ,∴ ≤ ≤2, , .

所以z的最大值为 , 的最小值为 所以 的最大值为2,z的最小值为 的最大值为

在例2中 其中a> ,仅在点(1,2)处取得 在例 中,若z=ax+y(其中 >0),仅在点 = + 其中 处取得 最小值, 的范围 的范围. 最小值,求a的范围 解:∵直线x+y-3=0的斜率 1=- , 的斜率k 直线 + - = 的斜率 =-1, z=ax+y(a>0)的斜率 2=- , = + > 的斜率 =-a, 的斜率k 由题意k >-a, > 由题意 1>k2,即-1>- ,得a>1. >-

1.能建立线性规划的实际问题的类型 能建立线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源,问怎样运用这些资 给定一定数量的人力、物力资源, 给定一定数量的人力 源,使完成的任务量最大,收到的效益最大; 使完成的任务量最大,收到的效益最大; (2)给定一项任务,问怎样统筹安排,使完成这项任务耗 给定一项任务,问怎样统筹安排, 给定一项任务 费的人力、物力资源量最小 费的人力、物力资源量最小.

2.解线性规划应用问题的步骤 解线性规划应用问题的步骤 (1)设出决策变量,找出约束条件和线性目标函数; 设出决策变量,找出约束条件和线性目标函数; 设出决策变量 (2)利用图象在线性约束条件下找出决策变量,使目标 利用图象在线性约束条件下找出决策变量, 利用图象在线性约束条件下找出决策变量 函数达到最大或最小. 函数达到最大或最小

[特别警示 (1)用图解法解答线性规划应用题时应注意仔 特别警示] 特别警示 用图解法解答线性规划应用题时应注意仔 细审题,对关键部分进行“精读” 准确理解题意, 细审题,对关键部分进行“精读”,准确理解题意,明确 有哪些限制条件,探求的目标如何?起关键作用的变量有 有哪些限制条件,探求的目标如何? 哪些?由于线性规划应用题中的量较多,为了理顺题目中 哪些?由于线性规划应用题中的量较多, 量与量之间的关系, 量与量之间的关系,一般可将数据列成一个表格来帮助分 析数量关系. 析数量关系 (2)要注意结合实际问题,确定未知数x、y等是否有限制 要注意结合实际问题,确定未知数 、 等是否有限制 等是否有限制. 要注意结合实际问题

(2009·山东高考 某公司租赁甲、乙两种设备生产 山东高考)某公司租赁甲 山东高考 某公司租赁甲、 A、B两类产品,甲种设备每天能生产 类产品 件和 类 、 两类产品 甲种设备每天能生产A类产品 件和B类 两类产品, 类产品5件和 产品10件,乙种设备每天能生产A类产品 件和B类产品 产品 件 乙种设备每天能生产 类产品6件和 类产品 类产品 件和 20件.已知设备甲每天的租赁费为 20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的 已知设备甲每天的租赁费为200元 租赁费为300元.现该公司至少要生产 类产品 件,B类 元 现该公司至少要生产 类产品50件 现该公司至少要生产A类产品 租赁费为 类 产品140件,所需租赁费最少为 件 产品 元.

[思路点拨 思路点拨] 思路点拨

[课堂笔记 设需租赁甲型设备 台,乙型设备 台. 课堂笔记] 设需租赁甲型设备x台 乙型设备y台 课堂笔记 租赁费为z元 租赁费为 元.

根据题意得

z=200x+300y. = +

如图可知z在 处取到最小值, 如图可知 在(4,5)处取到最小值,z=4×200+5×300=2 300. 处取到最小值 = × + × =

即所需租赁费最少为2 即所需租赁费最少为 300元. 元 [答案 2 300 答案] 答案

以选择题和填空题的形式考查给出线性约束 条件, 条件,求线性目标函数的最值问题是高考对本节内 容的常规考法.2009年山东、安徽、福建高考则考 年山东、安徽、 容的常规考法 年山东 查了线性规划的逆向性问题,即已知目标函数的最 查了线性规划的逆向性问题, 值,求约束条件或目标函数中所含参数的最值范围 问题,这是一个新的考查方向 问题,这是一个新的考查方向.

[考题印证 考题印证] 考题印证 (2009·山东高考 设x,y满足约束条件 山东高考)设 , 满足约束条件 山东高考 若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 ,则 若目标函数 = + > , > 的最大值为12, 的最大值为 的最小值为 A. C. B. D.4 ( )

【解析】 解析】

由图形可知, 由图形可知,目标函数

处取得最大值12, 在(4,6)处取得最大值 , 处取得最大值 ∴2a+3b=6, + = , 从而有 (2a+3b) + = = = 【答案】 A 答案】

[自主体验 自主体验] 自主体验 已知x、 满足 已知 、y满足 最大值为7,最小值为1,则 最大值为 ,最小值为 , A.-2 - C.1 B.2 D.-1 - 且目标函数z= + 的 且目标函数 =2x+y的 = ( )

解析: 解析:先作出

所表示

的平面区域,再将目标函数 = + 的平面区域,再将目标函数z=2x+y 进行平移,可知目标函数 = + 在 进行平移,可知目标函数z=2x+y在 直线2x+ = 和 + = 的交点 的交点(3,1)处 直线 +y=7和x+y=4的交点 处 取得最大值7,在直线2x+y=1和x=1 取得最大值 ,在直线 + = 和 = 的交点(1,- 处取得最小值 的交点 ,-1)处取得最小值 ,故直线 +by ,- 处取得最小值1,故直线ax+ 经过点(3,1)与点 ,- ,且c<0,代入两点坐标可 与点(1,- +c=0经过点 = 经过点 与点 ,-1), , 解得 故 =-2. =- 答案: 答案:A

1.(2009·安徽高考 不等式组 安徽高考)不等式组 安徽高考 的面积等于 A. C. B. D.

所表示的平面区域 ( )

解析:不等式组表示的平面区域如图所示 解析:不等式组表示的平面区域如图所示. A(0, ),B(1,1),C(0,4). , , , ∴S△ABC= |AC|·h

答案: 答案:C

2.(2009·宁夏、海南高考)设x、y满足 宁夏、海南高考 设 、 满足 宁夏 +y A.有最小值 ,最大值 有最小值2,最大值3 有最小值 B.有最小值 ,无最大值 有最小值2, 有最小值 C.有最大值 ,无最小值 有最大值3, 有最大值 D.既无最小值,也无最大值 既无最小值, 既无最小值

则z=x = ( )

解析: 解析:不等式组

的平面区域为如图的阴影

区域.x+ 在点 在点A(2,0)处取最小值为 ,无最大值 处取最小值为2,无最大值. 区域 +y在点 处取最小值为

答案: 答案:B

3.若实数 ,y满足 若实数x, 满足 若实数 则正实数a 则正实数 的值等于 A. C. B. D.

的最大值等于34, 且x2+y2的最大值等于 , ( )

解析: 解析:在平面直角坐标系中画出已知不等式组所表示的 平面区域MPA(如图所示 ,其中直线 -y-a=0的位置 如图所示),其中直线ax- - = 的位置 平面区域 如图所示 不确定,但它经过定点 不确定,但它经过定点A(1,0),斜率为 ,斜率为a.

又由于x 又由于 2+y2=(

)2,且x2+y2的最大值等于 , 的最大值等于34, ,

所以平面区域MPA中的点到原点的最大距离等于 中的点到原点的最大距离等于 所以平面区域 又M(- - 所以点P( 所以点 故有( 故有 答案: 答案:B ,3),OM= , = < ,

到原点的距离最大, +1,3)到原点的距离最大, 到原点的距离最大 +1)2+9=34,解得 = = ,解得a= .

4.如图,△ABC中,A(0,1),B(-2,2), 如图, 如图 中 , - , C(2,6),则△ABC区域所表示的二元 , 区域所表示的二元 一次不等式组为 .

解析:由两点式得直线 、 、 的方程并化简为 的方程并化简为: 解析:由两点式得直线AB、BC、CA的方程并化简为: 直线AB: + - = , 直线 :x+2y-2=0, 直线BC: - + = , 直线 :x-y+4=0, 直线CA: - + = 直线 :5x-2y+2=0. 不在各直线上, ∴原点(0,0)不在各直线上,将原点坐标代入到各直线方 原点 不在各直线上 程左端, 程左端,结合式子的符号可得不等式组 为

答案: 答案:

5.已知点 ,y)在如图所示平面区域内运动 包含边界 , 已知点(x, 在如图所示平面区域内运动 包含边界), 在如图所示平面区域内运动(包含边界 已知点 目标函数z= - 当且仅当 当且仅当x= 目标函数 =kx-y.当且仅当 = ,y= = 时,目标 .

函数z取最小值,则实数 的取值范围是 函数 取最小值,则实数k的取值范围是 取最小值

解析: 解析:

答案: 答案:

6.某公司仓库 存有货物 吨,仓库 存有货物 吨,现按 某公司仓库A存有货物 存有货物8吨 某公司仓库 存有货物12吨 仓库B存有货物 7吨、8吨和 吨把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店, 吨 吨和5吨把货物分别调运给甲 丙三个商店, 吨和 吨把货物分别调运给甲、 从仓库A运货物到商店甲、 从仓库 运货物到商店甲、乙、丙,每吨货物的运费分 运货物到商店甲 别为8元、6元、9元;从仓库 运货物到商店甲、乙、丙, 运货物到商店甲、 别为 元 元 元 从仓库B运货物到商店甲 每吨货物的运费分别为3元 每吨货物的运费分别为 元、4元、5元.问应如何安排调 元 元 问应如何安排调 运方案, 运方案,才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运 费最少? 费最少?

解:将已知数据列成下表: 将已知数据列成下表: 每吨运费 仓库 A 8 6 9 商店 甲 乙 丙

B

3

4

5

设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为 吨 吨 设仓库 运给甲、乙商店的货物分别为x吨,y吨, 运给甲 则仓库A运给丙商店的货物为 - - 吨 则仓库 运给丙商店的货物为(12-x-y)吨, 运给丙商店的货物为 从而仓库B运给甲、 从而仓库 运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7-x)吨、 运给甲 丙商店的货物分别为 - 吨 (8-y)吨、[5-(12-x-y)]=(x+y-7)吨, - 吨 - - - = + - 吨 于是总运费为z= + + 于是总运费为 =8x+6y+9(12-x-y)+3(7-x)+4(8- - - + - + - y)+5(x+y-7)=x-2y+126. + + - = - +

∴线性约束条件为

,即



目标函数为z= - + 目标函数为 =x-2y+126. 作出上述不等式组表示的平面区域,即可行域, 作出上述不等式组表示的平面区域,即可行域,如图所示

作出直线l: - = ,把直线l平行移动 显然当直线l移 平行移动, 作出直线 :x-2y=0,把直线 平行移动,显然当直线 移 动到过点(0,8)时,在可行域内z=x-2y+126取得最小值 动到过点 时 在可行域内 = - + 取得最小值 zmin=0-2×8+126=110,则x=0,y=8时总运费最小 时总运费最小. - × + = , = , = 时总运费最小


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