当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理教材梳理素材新人教A版选修41

一 平行线等分线段定理 庖丁巧解牛 知识·巧学 一、平行线等分线段定理 1.平行线等分线段定理: 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等, 那么这组平行线在 其他直线上截得的线段也相等.用符号语言表述是:已知 a∥b∥c,直线 m、n 分别与 a、b、c 交于点 A、B、C 和 A′、B′、C′(如图 1-1-2),如果 AB=BC,那么 A′B′=B′C′. 图 1-1-2 图 1-1-3 2.对于定理的证明,如图 1-1-3 所示,分 m∥n 和 m 不平行于 n 两种情况证明.当 m∥n 时, 直接运用平行四边形加以证明;当 m 不平行于 n 时,利用辅助线构造相似三角形,进而得到 关系式. 3.定理的条件是 a、b、c 互相平行,构成一组平行线,m 与 n 可以平行,也可以相交,但它 们必须与已知的平行线 a、b、c 相交,即被平行线 a、b、c 所截.平行线的条数还可以更多. 方法点拨 定理图形的变式:对于 3 条平行线截两条直线的图形,要注意以下变化(如图 1-1-4):如果已知 l1∥l2∥l3, AB=BC, 那么根据定理就可以直接得到其他直线上的线段相等. 也就是说,直线 DE 的位置变化不影响定理的结论. 图 1-1-4 4.定理的作用: 利用本定理可将一线段分成 n 等分, 也可以证明线段相等或转移线段的位置. 图 1-1-5 误区警示 平行线等分线段定理的逆命题是:如果一组直线截另一组直线成相等的线段, 那么这组直线平行.这一命题是错误的,如图 1-1-5. 二、平行线等分线段定理的推论 1.平行线等分线段定理的推论有两个, 其中一个是经过三角形一边的中点, 与另一边平行的 直线必平分第三边;另一个是经过梯形一腰的中点,与底边平行的直线必平分另一腰. 2.两个推论的证明如下: 推论 1:如图 1-1-6(1),在△ACC′中,AB=BC,BB′∥CC′,交 AC′于 B′点,求证:B′是 AC′的中点. 证明:如图 1-1-6(2),过 A 作 BB′与 CC′的平行线,∵a∥b∥c,AB=BC, 1 ∴由平行线等分线段定理,有 AB′=B′C′,即 B′是 AC′的中点. 图 1-1–6 推论 2:如图 1-1-7(1),已知在梯形 ACC′A′中,AA′∥CC′,AB=BC,BB′∥CC′, 图 1-1-7 求证:B′是 A′C′的中点. 证明:∵梯形 ACC′A′中 AA′∥CC′,BB′∥CC′,∴AA′∥BB′∥CC′. 又∵AB=BC, ∴由平行线等分线段定理,有 A′B′=B′C′,即 B′是 A′C′的中点. 问题·探究 问题 1 平行线等分线段定理与它的两个推论之间有着密切的联系,那么如何理解这种联 系? 思路:只要将平行线等分线段定理的图形中的直线只留下交点之间的部分,即可产生两个推 论的图形,或者将两个推论中的线段延长成为直线,也可变成平行线等分线段定理的图形. 探究:平行线等分线段定理与它的两个推论之间的关系可以直观地表示如图 1-1-8: 图 1-1-8 问题 2 三角形中位线是三角形中的重要线段,它的性质可以为许多问题的证明和求解提供 依据,在几何中有着举足轻重的地位,那么如何证明三角形中位线定理呢? 思路:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线,这里要明确三角形的中位线和三角 形的中线不同(如图 1-1-9).三角形中位线定理的内容是:三角形中位线平行于第三边, 并且 等于它的一半. 2 图 1-1-9 探究:证明:如图 1-1-9,DE 是中位线,E 是 AC 的中点, 过点 D 作 DE′∥BC,则 E′也是 AC 的中点,所以 E 与 E′重合,DE′与 DE 重合. 所以 DE∥BC. 同理,过点 D 作 DF∥AC,交 BC 于 F,则 BF=FC. 因为 DE∥FC,DF∥EC,所以四边形 DFCE 是平行四边形. 所以 DE=FC. 又因为 FC= 1 1 BC,所以 DE= BC. 2 2 上述过程中,DE′与 DE 重合是定理证明的关键一步,本推理过程中应用了同一法思想. 该定理的证明, 关键在于添加辅助线, 如图 1-1-10 所示的几种辅助线代表几种不同的证法. (1)(1)延长中位线 DE 到 F,使 EF=DE. (2)(2)延长中位线 DE 到 F,使 EF=DE 得 ADCF. (3)作 CF∥AB 与 DE 的延长线交于点 F. 图 1-1-10 三角形中位线定理是三角形的一个重要的性质定理,其特点是 :同一题设,两个结论. 一个结论是表明位置关系的, 另一个结论是表明数量关系的, 在应用时不一定同时需要两个 关系,有时需要平行关系,有时要求倍分关系,可由具体情况按需选用.事实上,平行线等 分线段定理的推论 1:经过三角形一边中点与另一边平行的直线平分第三边,即三角形中位 线判定定理. 问题 3 梯形中位线是梯形中的重要线段,它的性质可以为许多问题的证明和求解提供依据, 在几何中有着举足轻重的地位, 那么如何证明梯形中位线定理呢?梯形中位线定理与三角形 中位线定理有什么内在联系? 思路:梯形中位线的定义是: 连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.这里要强调梯形中 位线是连结两腰中点的线段, 而不是连结两底中点的线段.梯形中位线定理的内容是:梯形中 位线平行于两底,并且等于两底和的一半.该定理证明的关键是如何添加辅助线,把梯形中 3 位线转化成三角形的中位线. 探究:设法把梯形中位线转化为三角形中位线. 图 1-1-11 如图 1-1-11, 欲使 MN 成为某一个三角形的中位线, 则梯形的一腰一定是三角形的一边, 而三角形的另一边一定过梯形另一腰的中点.梯形的一个底应在三角形的第三边上,若连结 AN 并延长交 BC 的延长线于 E(梯形的这种辅助线也经常用到),就能得到这样的△ABE.这时 只要证明 AN=EN,AD=EC,问题就解决了. 关于梯形中位线与三角形中位线

相关文章:
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等....doc
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理教材梳理素材新人教A
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等....doc
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理教材梳理素材新人教A
高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 一 平行....doc
高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 一 平行线等分线段定理教材梳理素材 新人教A版4-1 精 - 一 平行线等分线段定理 庖丁巧解牛 知识巧学 一、...
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等....doc
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理教材梳理素材新人教A
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等....doc
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理教材梳理素材新人教A
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质二平行线分....doc
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质平行线线段成比例定理教材梳理素材新人教A版4-1 - 三 相似三角形的判定及性质 庖丁巧解牛 知识巧学 一、平行...
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质二平行线分....doc
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质平行线线段成比例定理教材梳理素材新人教A版选修4_1 - 。 内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯 内部文件,版权...
【最新】高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质第....doc
【最新】高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质第一节平行线等分线段定理课后导练新人 - 第一节 平行线等分线段定理 课后导练 基础达标 1.如图 1-1-8,...
...高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质第一节平....doc
【K12教育学习资料】高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质第一节平行线等分线段定理课堂导学案新人_数学_高中教育_教育专区。教育是最好的老师,小学初中高中...
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质第一节平行....doc
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质第一节平行线等分线段定理课后导练新人教A版选修4_1 - 少卿足下 :曩者 辱赐书 ,教以 慎于接 物,推 贤进士 为...
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1-1平行线等....doc
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1-1平行线等分线段定理练习新人教A版选修4 - 一 平行线等分线段定理 课后篇巩固探究 1.如图,DE 是△ABC 的中位线...
2018学年高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1.1....doc
2018学年高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1.1平行线等分线段定理练习新人教A版选修 - 一 平行线等分线段定理 ) 课后篇巩固探究 1.如图,DE 是△ABC ...
...的判定及有关性质一平行线等分线段定理学案新人教A....doc
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理学案新人教A版选修4
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理....ppt
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理课件新人教A版选修4
...及有关性质一平行线等分线段定理达标训练新人教A版....doc
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理达标训练新人教A版选
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等....doc
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理达标训练 - 一 平
...及有关性质一平行线等分线段定理成长学案新人教A版....doc
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理成长学案新人教A版选
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质四直角三角....doc
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质四直角三角形的射影定理教材梳理素材新人教A版4-1! - 四 直角三角形的射影定理 庖丁巧解牛 知识巧学 一、射影...
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质四直角三角....doc
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质四直角三角形的射影定理教材梳理素材新人教A版选修4_1 - 。 内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯...
2019版高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1.1平....ppt
2019版高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1.1平行线等分线段定理课件新人教A版 - 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 -1- 一 平行线等分线段定理 -2...