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用基本不等式求最值六种方法


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熊老师

用基本不等式求最值六种方法
一. 配项 例 1:设 x>2,求函数 y=x+
解析:y=x-2+
9 x?2
9 x?2 9

的最小值
时,即 x=5 时等号成立

+2≥8 当 x-2=

x?2

例 2:已知 a,b 是正数,满足 ab=a+b+3,求 ab 的最小值 法 1:ab=a+b+3≥2 a b +3 当 a=b 时等号成立,解得 a b ≥3 即 ab≥9 当 a=b=3 时 等号成立。 法 2:已知可化为(a-1)(b-1)=4.又 ab=(a-1)+(b-1)+5≥9 当 a-1=b-1=2 时等号 成立,即 a=b=3

二. 配系数
例 3:设 0<x<1,求 y=x 4 ? 3 x 的最大值
2

解析:y=

1 3

( 3 x 4 ? 3 x )≤
2

1 3

×2=

2 3 3

当 x=

6 3

时等号成立

三. 重复使用不等式 例 4:已知 a>b>0,求 a +
2

16 ( a ? b )b

的最小值
16 ( a ? b )b

解析: a +
2

16 ( a ? b )b
16

=( a ? b ? b ) +
2

≥ 4(a-b)b+

16 ( a ? b )b



2

4 ?a ? b? b

( a ? b )b

=16

当 a-b=b=

2

时,等号成立。

四. 平方升次 例 5:当 x>0 时,求函数 y=x+ 解析: =x +2x y
2 2

4?x

2

的最大值。
4?x
2

4?x

2

+4-x =4+2x
2

≤4+ [x +(
2

4?x

2

) ]
2

=8 当 x=

4?x

2

,即 x=

2

时,y 取得最大值 2

2

.

五. 待定系数法 例 6:求 y=2sinx(sinx+cosx)的最大值。
1

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熊老师

解析:y=2sin x+2sinxcosx
2

=2 sin x+
2 2

2 sin x ( a co s x ) a
sin x ? a c o s x
2 2 2

(a>0)

≤2 sin x+ =a+ 所以 y≤ 六. 常值代换

a
2 2

( 2 a ? 1 ? a ) sin x a

若为定值, 2 a ? 1 ? a =0, 则 a=
2

2

+1,

2

+1,sinx=

2? 2

2

,cosx=

2? 2

2

时成立。

例 7:已知 x>0,y>0,且 x+2y=3,求 + 的最小值
x

1

1

y

解析: + = (x+2y)(
x

1

1

1

1 x

y

3

+ )=1+ (
y
3

1

1

2y x

+ )≥1+
y
3 2

x

2 3

2

当且仅当

2y x

= ,且 x+2y=3,即 x=3(
y
2 3

x

2

-1),y= (2-

2

)时,取

得最小值为 1+

2

2


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