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辽宁省沈阳二中2014届高三上学期期中考试 数学文试题 Word版含答案

沈阳二中 2013——2014 学年度上学期期中考试 高三(14 届)数学(文科)试题
命题人: 高三数学组 审校人: 高三数学组
说明:1.测试时间:120 分钟 总分:150 分 2.客观题涂在答题纸上,主观题答在答题纸的相应位置上

第Ⅰ卷 (60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.
? ? 1 ?x ? ? ? 1.已知全集为 R ,集合 A ? ? x ? ? ? 1? , B ? ?x | x 2 ? 6 x ? 8 ? 0? ,则 A ? CR B ? ( ? ?2? ? ? ?
A. ? x | x ? 0? C. B. ? x | 2 ? x ? 4? D. )

?x | 0 ? x ? 2或x ? 4?

?x | 0 ? x ? 2或x ? 4?


2. 如果等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ? ... ? a7 ? ( A. 14 B. 21 C. 28 ) C. a ? c ? b D. 35

3.设 a ? log 3 6, b ? log 5 10, c ? log 7 14 ,则( A. c ? b ? a B. b ? c ? a

D. a ? b ? c

4. ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , a sin B cos C ? c sin B cos A ?

1 b, 2

且a ? b, 则?B ? (



A.

? 6

B.

? 3
x

C.

2? 3
) D. 4

D.

5? 6

?1? 5.关于 x 的方程 | log 0.5 x |? ? ? 的解的个数为( ?2?
A. 1 B. 2 C. 3 6. 将函数 y ? sin(2 x ? ? ) 的图象沿 x 轴向左平移 一个可能取值为( A. ) C. 0

? 个单位后,得到一个偶函数的图象,则 ? 的 8

3? 4

B.

? 4

D. ?

?
4


7.过点 (3,1) 作圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 的两条切线,切点分别为 A , B ,则直线 AB 的方程为( A. 2 x ? y ? 3 ? 0 B. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0 D. 4 x ? y ? 3 ? 0

8. 设函数 D ( x ) ? ?

?1,x为有理数 ,则下列结论错误的是( ?0,x为无理数
B. D(x)是偶函数 D. D(x)不是单调函数



A. D(x)的值域为{0,1} C. D(x)不是周期函数
2 2

9.双曲线 x ? y ? 1的左焦点为 F,点 P 为左支下半支上任意一点(异于顶点) ,则直线 PF 的 斜率的变化范围是 ( ) A. (-∞,0) B.(1,+∞) C.(-∞,0)∪(1,+∞)

D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

10.已知两点 M (?3,0) , N (3, 0) ,点 P 为坐标平面内一动点,且 MN ? MP ? MN ? NP ? 0 , 则动点 P( x, y ) 到点 M (?3,0) 的距离的最小值为( A.2 B.3
2 2

???? ???? ?

???? ??? ? ?

) D. 6 )

C. 4

11.若实数 x, y 满足 x ? 4 y ? 4 ,则

xy 的最大值为( x ? 2y ? 2
1? 2 2
D. 1 ? 2

A.

1? 2 2

B. 1 ? 2

C.

12. ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,给出下列三个叙述: ① a : b : c ? sin A : sin B : sin C ② a : b : c ? cos A : cos B : cos C ③ a : b : c ? A: B : C 以上三个叙述中能作为“ ?ABC 是等边三角形”的充分必要条件的个数为( A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个



第Ⅱ卷 (90 分) 二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.已知 e1 , e 2 是夹角为 ? 的两个单位向量, a ? e1 ? 2 e2 , b ? k e1 ? e2 , 若 a ? b ? 0 ,则 k 的值为
2
? ?

2 3

?

?

? ?

?

?

? ?

.

14. 抛物线 y ? x 在 x ? 1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D (包含三角形内部与边界). 若点 P( x, y ) 是区域 D 内的任意一点,则 x ? 2 y 的取值范围是__________.
x 15. 已知 e 是自然对数的底数,若函数 f ? x ? ? e ? x ? a 的图象始终在 x 轴的上方,则实数 a

的取值范围 16.在正项等比数列 {an } 中, a5 ? 大正整数 n 的值为

1 , a6 ? a7 ? 3 ,则满足 a1 ? a2 ? ? ? an ? a1a2 ?an 的最 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
17. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c , a ? 2 , c ? 2 , cos A ? ? 求 sinC 和 b 的值.

2 . 4

18. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? 0 , a6 ? a8 ? ?10 . (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)求数列 ?

? an ? 的前 n 项和. n ?1 ? ?2 ?

19. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 与抛物线 y ? 4 x 相交于不同的两点 A,B.
2

(I)如果直线 l 过抛物线的焦点,求 OA ? OB 的值; (II)如果 OA ? OB ? ?4 ,证明直线 l 必过一定点,并求出该定点坐标.

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

20. (本小题满分 12 分) 在对人们的休闲方式的一次调查中,共调查了 124 人,其中女性 70 人,男性 54 人。女性中 有 43 人主要的休闲方式是看电视,另外 27 人主要的休闲方式是运动;男性中有 21 人主要的 休闲方式是看电视,另外 33 人主要的休闲方式是运动。 (Ⅰ )根据以上数据建立一个 2× 列联表; 2 (Ⅱ)试判断是否有 97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”? 下面临界值表仅供参考:

P( K 2 ? k )

0.15 2.072
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k
(参考公式: K ?

n(ad ? bc)2 , 其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

21. (本小题满分 12 分) 如图,在 x 轴上方有一段曲线弧 C ,其端点 A 、 B 在 x 轴上(但不属于 C ) ,对 C 上任一 点 P 及点 F1 (?1, 0) , F2 (1, 0) ,满足: | PF1 | ? | PF2 |? 2 2 .直线 AP , BP 分别交直 线 l : x ? a (a ?

2 ) 于 R , T 两点.

(Ⅰ)求曲线弧 C 的方程; (Ⅱ)求 | RT | 的最小值(用 a 表示) ;

y

l

R P

A

.F

1

O

.
F2

B T

x

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? a( x ? 1) , a ? R . (I) 讨论函数 f (x) 的单调性; (Ⅱ)当 x ? 1 时, f (x) ≤

ln x 恒成立,求 a 的取值范围. x ?1

沈阳二中 2013——2014 学年度上学期期中考试 高三(14 届)数学(文科)试题参考答案
一、选择题 1—5 DCDAB 二、填空题 13. 6—10 BBCCB 11—12 CC

5 4

14. ? ? 2, ? 2

? ?

1? ?

15. (?1, ??)

16. 12

三、解答题 17.解: sin A ?

14 c sin A 7 c sin A 7 ,由正弦定理可得 sin C ? ? sin C ? ? 4 a 4 a 4
……5 分
2 2 2

由 a ? b ? c ? 2bc cos A ,得 b ? b ? 2 ? 0 ,由 b ? 0 ,故 b ? 1. ……10 分
2

18. 解: (I)设等差数列 {an } 的公差为 d,由已知条件可得 ?

? a1 ? d ? 0, ? 2a1 ? 12d ? ?10,
……6 分

解得 ?

? a1 ? 1, 故数列 {an } 的通项公式为 an ? 2 ? n. ? d ? ?1.

(II)设数列 {

an a a }的前n项和为Sn ,即 Sn ? a1 ? 2 ? ? ? nn 1 , 故S1 ? 1 , n ?1 2 2 2?

Sn a1 a2 a ? ? ??? n . 2 2 4 2n
所以,当 n ? 1时,

Sn a ?a a a ?a 1 1 1 2?n ? a1 ? 2 1 ? ? ? n n ?1n ?1 ? n ? 1 ? ( ? ? ? ? n ?1 ? n ) n 2 2 2 2 2 4 2 2 1 2?n n ? 1 ? (1 ? n ?1 ) ? n ? n . 2 2 2
所以 Sn ?

n . 2n?1

综上,数列 {

an n }的前n项和Sn ? n ?1 . ……12 分 n ?1 2 2

19 解: (I)由题意知,抛物线的焦点为(1,0), 设 l:x=ty+1,代入抛物线 y2=4x 中消去 x 得, y2-4ty-4=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4t,y1y2=-4,

??? ??? ? ? OA ? OB =x1x2+y1y2=t2y1y2+t(y1+y2)+1+y1y2=-4t2+4t2+1-4=-3.……6 分

(II)设 l:x=ty+b,代入方程 y2=4x 消去 x 得, y2-4ty-4b=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4t,y1y2=-4b. ∵ OA ? OB =x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y =t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2=-4bt2+4bt2+b2-4b =b2-4b. 令 b2-4b=-4,∴b2-4b+4=0,∴b=2.

??? ??? ? ?

∴直线 l 过定点(2,0).……12 分 20. 解: (I)解: (1)2× 列联表 2
性别

休闲方式 女 男 总计

看电视 43 21 64

运动 27 33 60

总计 70 54 124 ……6 分

(II)假设“休闲方式与性别无关” 计算 ? ?
2
2

124 ? (43 ? 33 ? 27 ? 21) 2 ? 6.201 70 ? 54 ? 64 ? 60

因为 ? ? 5.024 ,所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的, 即有 97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关” ……12 分 21. 解: (I)由椭圆的定义,曲线 C 是以 F1 (?1, 0) , F2 (1, 0) 为焦点的半椭圆,

c ? 1, a ? 2 , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1 .
∴ C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ( y ? 0) . ……4 分 2

(注:不写区间“ y ? 0 ”扣 1 分) (II)由(I)知,曲线 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ( y ? 0) ,设 P ( x0 , y 0 ) , 2 y2 1 2 2 则有 x0 ? 2 y 0 ? 2 , 即 2 0 ? ? ① 2 x0 ? 2
又 A(? 2 , 0) , B( 2 , 0) ,从而直线 AP, BP 的方程为 AP: y ?

y0 x0 ? 2

(x ? 2) ;

BP: y ?

y0 x0 ? 2

( x ? 2 ) ……6 分

令 x ? a 得 R , T 的纵坐标分别为

yR ?

y0 x0 ? 2

(a ? 2 ) ;

yT ?

y0 x0 ? 2

(a ? 2 ) .

2 y0 (a 2 ? 2) ② ∴ y R ? yT ? 2 x0 ? 2

将①代入②, 得 y R yT ?

1 (2 ? a 2 ) .……8 分 2

∴ | RT |?| yR ? yT |?

2 2 yR ? yT ? 2 yR yT ≥ 2 | yR yT | ?2 yR yT ? 2(a 2 ? 2) .

当且仅当 y R ? yT ,即 y R ? ? yT 时,取等号. 即 | RT | 的最小值是 2( a ? 2) .……12 分
2

22.解: (I) a ? 0 , f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 单调递增

? 1? ?1 ? a ? 0 , f ? x ? 在 ? 0, ? 单调递增, ? , ?? ? 单调递减……6 分 ? a? ?a ?
(Ⅱ)等价于 h ? x ? ? ln x ?

a ? x 2 ? 1? x

? 0 在 ?x ? 1 恒成立,

2 2 1 2ax ? a ? x ? 1? ?ax 2 ? x ? a h? ? x ? ? ? ? x x2 x2

(1) 当 a ? 0 时, h? ? x ? ? 0 ,所以 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 单调递增, h ? x ? ? h ?1? ? 0 ,与题意矛 盾 (2) 当 a ?

1 时,h? ? x ? ? 0 恒成立, 所以 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 单调递减, 所以 h ? x ? ? h ?1? ? 0 2
?1 ? 1 ? 4a 2 1 ? 1 ? 4a 2 1 ? ? 1 ,所以 h ? x ? 在 ?1, x? ? 单调递 时, x? ? ?2a 2a 2

(3) 当 0 ? a ?

增, h ? x ? ? h ?1? ? 0 ,与题意矛盾 综上所述: a ?

1 ……12 分 2


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