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4无穷级数和微分方程_图文

1.4 无穷级数
1.4.1 数项级数 讨论敛散性
1.4.2 幂级数 求收敛范围,将函数展开为幂级数,求和。
1.4.3 傅立叶级数
求函数的傅立叶级数展开,讨论和函数的性质。
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1.4.1数项级数
1.数项级数定义
给定一个数列 ?u1 , u2 , u3 , ? , un , ? 将各项依
次相加, 简记为 ?un , 即
n?1
称上式为无穷级数,其中第 n 项 un 叫做级数的一般项,
级数的前 n 项和

称为级数的部分和.
收敛 , 并称 S 为级数的和。
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则称无穷级数

2.基本性质

性质1. 若级数

?
? 收敛于 S , 即 S ? un , 则各项
n?1

乘以常数 c 所得级数

也收敛 , 其和为 c S .

性质2. 设有两个收敛级数

?
S ? ?un,
n?1

?
? ? ?vn
n?1

?
则级数 ? (un ? vn )
n?1

也收敛, 其和为 S ? ? .
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说明:

(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .

?

? (2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( un ? vn )

必发散 . (用反证法可证)

n?1

但若二级数都发散 ,

不一定发散.

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性质3. 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数 的敛散性. 性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级
的和. 推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.
注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.

性质5:设收敛级数

则必有

可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
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3. 几个重要级数的收敛性 等比级数 (又称几何级数)

( q 称为公比 ).

当 q ?1时

级数收敛 ,

其和为

a 1?q

;

级数发散 .

调和级数发散

p -级数

1?

1 2p

?

1 3p

???

1 np

??

(常数

p

>

0)

当p ? 1收敛,p ? 1发散。 中华工程资格考试网
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*例1.判断级数的敛散性:

解:该级数是下列两级数之差

?? 1 是q ? 1 的 等 比 级 数,收 敛.

2n
n?1

2

??
n?1

1 3n

是q

?

1 3









数,收

敛.

故原级数收敛.

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4.审敛法 正项级数:

(比较审敛法) 设

是两个正项级数,

且存在

对一切



(常数 k > 0 ),

则有

(1) 若强级数

收敛 , 则弱级数

也收敛 ;

(2) 若弱级数

发散 , 则强级数

也发散 .

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?
例2 判别级数?

1 的敛散性。

n?1 n(n ?1)

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(比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
满足 lim un ? l, 则有 n?? vn
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0
(3) 当 l =∞
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例3. 判别级数

?
? ln
n?1

?1

?

1 n2

?

的敛散性.

1

n

解:

?

lim

ln(1 ?

1 n2

)

n?? 1

?

lim
n??

n2ln ?1?

1 n2

?

n2

?

lim
n??

n2

?

1 n2

ln(1 ?

1 n2

)~

1 n2

?1

根据比较审敛法的极限形式知

?
? ln ?1 ?
n?1

1 n2

?收敛 .

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比值审敛法 ( D’alembert 判别法)



为正项级数, 且lim un?1 ? ? , 则

n??
(1) 当 ? ? 1 时, 级数收敛 ;

un

(2) 当? ? 1 或 ? ? ? 时, 级数发散 .

. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)



为正项

级数, 且

lim
n??

n

un

? ?,



注:? ?1时上述定理失效。
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? 例4.

?
判别级数
n?1

n2 en

的敛散性.

解:

(n ?1)2

?

lim un?1 n?? un

? lim
n??

e n ?1 n2

en

?

lim
n??

1 e

?? ?

n

? n

1?? ?

2

? 1 ?1 e

因此级数

?? n2
n?1 en

收敛.
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交错级数
设 un ? 0 , n ? 1, 2,?, 则各项符号正负相间的级数

称为交错级数 .

( Leibnitz 判别法 )

若交错级数满足条件:

1) un ? un?1 ( n ? 1, 2, ?);

2) lim un ? 0,
n??
?
? 则级数 (?1)n?1un收敛 。
n?1

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绝对收敛与条件收敛

定义: 对任意项级数



数 绝对收敛 ;

收敛 , 则称原级

若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 数 条件收敛 .

绝对收敛的级数一定收敛 .

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例5. 证明下列级数绝对收敛 :

证:

? ?

sin n?
n4

?

1 n4

,



?1 n?1 n4

收敛

,

? ?

? n?1

sin n?
n4

收敛

? 因此 ? sin n? 绝对收敛 . n?1 n4

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判断数项级数敛散的方法
1、利用已知结论:等比级数、P-级数及级数性质
2、利用必要条件:主要判别发散 3、求部分和数列的极限 4、正项级数的审敛法
1)比值审敛法(根值审敛法) 2)比较审敛法(或极限形式)
5、交错级数审敛法:莱布尼兹定理
6、一般级数审敛法:先判断是否绝对收敛,如果绝 对收敛则一定收敛;否则判断是否条件收敛
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1.4.2 幂级数

1.Abel定理
?
若幂级数 ? an xn
n?0
则对满足不等式

的一切 x 幂级数都绝对收敛.

反之, 若当

时该幂级数发散 ,则对满足不等式

的一切 x , 该幂级数也发散 .

发散

收敛 发散

收o 敛
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发散x

?
*例6.已知幂级数 ? an xn在 x ? ?3 处收敛,则该级数
n?0
在 x ?1 处是收敛还是发散?若收敛,是条件收敛
还是绝对收敛?
解:由Abel定理 ,该幂级数在 x ? 3 处绝对收敛, 故在 x ?1 绝对收敛。
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例7. 已知

处条件收敛 , 问该级数收敛

半径是多少 ? 答: 根据Abel 定理可知, 级数在
时发散 . 故收敛半径为

收敛 ,

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2.求收敛半径



的系数满足



1) 当? ≠0 时,

R?

1
?

;

2) 当? =0 时, R ? ? ;

3) 当? =∞时, R ? 0 .

的收敛半径为 R ? lim an n?? an?1

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例8..求幂级数

的收敛半径及收敛域.

1

解: R ? lim an ? lim n?? an?1 n??

n 1

n ?1

对端点 x = 1, 级数为交错级数

对端点 x =-1, 级数为

发散 .

故收敛域为 (?1, 1] .
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收敛;

3.求函数的幂级数展开式

1、对函数作恒等变形(如果需要的话)

2、利用已知结论,用变量代换或求导积分得所求 函数的幂级数

3、写出收敛范围(P34例1-37)

1 ? 1? x2 ? x3 ??? xn ?? (?1,1)

1? x
ex ?

1? x ? x2 ??? xn ??

2!

n!

(??,??)

sin x ?

x ? x3 ? x5 ?? ? (?1)2n?1 x2n?1 ? ?

3! 5!

(2n ?1)!

(??,??)

ln(1? x) ? x ? x2 ? x3 ??? (?1)n xn?1 ??
2 3 n ?1 中华工程资格考试网 www.100gczg.com

(?1,1]

1.4.3 傅立叶级数的有关问题 1.求傅立叶级数展开式 2.求某个傅立叶系数 3.求和函数在某些点的值
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例9. 设 f (x) 是周期为 2? 的周期函数 , 它在 上的表达式为

f

(

x)

?

??1

? ?

1

, ,

?? ? x ? 0 0? x??

y

1

(1)求S(0),S(? ),S(3? ),S(?? )的值。

22

?? o?

x

(2)求b3.

?1

(3)将 f (x) 展成傅里叶级数.

解: (1)当x ? k? , S(x) ? f (x),S(? ) ? 1, S(3? ) ? ?1

2

2

当x ? k? , S(x) ? 1? (?1) ? 0, S(0) ? S(?? ) ? 0
2
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? ? ? 1

0 (?1) sin 3x d x ? 1

?
1?sin 3xdx

? ??

?0

?4
3?

(3) 先求傅里叶系数

?

1
?

0
???

(?1)

cos

nx

d

x

?

1
?

?
?0

1?

cos

nx

d

x

? 0 ( n ? 0 ,1, 2 ,?) 中华工程资格考试网 www.100gczg.com

?

1
?

0
???

(?1)

sin

nx

d

x

?

1
?

?
?0

1?

sin

nxdx

?

1
?

? ??

cos nx n

?0 ?? ??

?

1
?

? ??

? cos nx n

? ??

?
0

?

2
n?

?1

?

cos

n?

?

?

2
n?

?

1?

(?1)n

?

?

? ? ?

4,
n?
0,

当n ?1, 3, 5,? 当n ? 2 , 4 , 6 ,?

? f (x) ? 4 ? sin x ? 1 sin 3x ?? ? 1 sin(2k ?1)x ? ??

?

3

2k ?1

(?? ? x ? ?? , x ? 0 , ? ? , ? 2? , ? )

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1.5 微分方程
1.5.1 微分方程的基本概念 1.5.2 解微分方程 1.5.3 微分方程应用
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1.5.1 微分方程的基本概念
1. 判定微分方程的阶 一阶微分方程
(1? x2 )y?? ? 2xy? 二阶微分方程
2. 判定函数是否微分方程的解,通解或特解

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100
80 60
40 20
0 第一季度

第三季度

东部 西部 北部

例1. 验证函数 是微分方程

的解.

(C1 , C2为常数 )

解:
? ?k 2 (C1 sin kt ? C2 cos kt ) x ? C1 cos kt ? C2 sin kt 是方程的解 .

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1.5.2 解微分方程
1. 一阶微分方程 可分离变量,一阶线性
2. 高阶微分方程 二阶线性常系数齐次,二阶线性常系数非齐次只 要求写出特解形式。
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*例2. 求微分方程

的通解.

解: 分离变量得 dy ? 3x2 dx y
两边积分
得 ln y ? x3 ? ln C

因此可能增、 减解.



( C 为任意常数 )

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*例3. 求方程 y? ? 1 y ? sin x 的通解. xx

解 P(x) ? 1 , Q(x) ? sin x ,

x

x

利用一阶线性方程的通解公式得:

y

?

?
e

?

1 x

dx

?? ??

?

sin x

x

?

e

?

1 x

dx
dx

?

C

?? ??

?

e?

ln

x

?? ?

?

si

n x

x

?

eln

xdx

?

C

?? ?

?

1 x

??

si

n

xdx

?

C

?

? 1 ?? cos x ? C ?.
x

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例4. 曲线族 y2 ? 2cx 所满足的一阶微分方程是____. 解: 对 y2 ? 2cx 两边求导,得
2yy? ? 2c
将 c ? y2 代入上式,得 2x
2 yy? ? y2 x
?2xyy? ? y2 即为所求一阶微分方程
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二阶线性常系数齐次微分方程求解
y?? ? p y? ? q y ? 0 ( p, q为常数) 特征方程: r 2 ? pr ? q ? 0,

特征根 实根





y ? C1er1 x ? C2er2 x y ? ( C1 ? C2 x ) er1 x
y ? e? x (C1 cos ? x ? C2 sin ? x )

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例5. 求方程 y?? ? 2 y? ? 3 y ? 0 的通解. 解: 特征方程 r 2 ? 2 r ? 3? 0, 特征根: r1 ? ?1 , r2 ? 3 ,
因此原方程的通解为

例6. 求解初值问题

d2s dt2

?

2

d d

s t

?

s

?

0

s t?0 ? 4 ,

ds dt

t

? 0 ? ?2

解: 特征方程 r 2 ? 2 r ?1 ? 0 有重根 r1 ? r2 ? ?1 ,

因此原方程的通解为 s ? (C1 ? C2 t ) e? t

利用初始条件得

C1 ? 4, C2 ? 2

于是所求初值问题的解为

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*例7.

的通解.

解: 特征方程 r2 ? 2 r ? 5 ? 0, 特征根:

r1, 2 ? 1? 2 i
因此原方程通解为

y ? ex ( C3 cos 2 x ? C4 sin 2 x )

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例8. 写出以y ? 3xe2x为一个特解的二阶常系数齐次 线性方程.
解:因 y ? 3xe2x 是一个特解,所以 ? ? 2 是特征
方程的重根,故特征方程为:
(r ? 2)2 ? 0 ? r 2 ? 4r ? 4 ? 0
所对应微分方程为
y?? ? 4y? ? 4y ? 0
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f (x) ? e? xPm (x) 时,非齐次方程特解形式
(1) 若 ? 不是特征方程的根
特解形式为 y* ? e? xQm (x) .
(2) 若? 是特征方程的单根 特解形式为
(3) 若 ? 是特征方程的重根
特解形式为 y* ? x2Qm (x) e? x
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例9.
解: 本题 ? ? 0 , 而特征方程为 ? ? 0 不是特征方程的根 .
特解形式为

的特解形式.

例10.

的特解形式.

解: 本题 ? ? 2, 而特征方程为 r 2 ? 5 r ? 6 ? 0 ,
其根为

特解形式为 y* ? x (b0 x ? b1) e2 x
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1.5.3 微分方程应用
1. 利用导数几何意义列方程 2. 利用导数物理意义列方程 3. 利用牛顿第二定律
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*例11. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q
且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 . 解: 如图所示, 点 P(x, y) 处的法线方程为

令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标

y P

即 yy? ? 2x ? 0

Qo xx

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例12. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度

成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求

降落伞下落速度与时间的函数关系.

解: 根据牛顿第二定律列方程 m dv ? mg ? kv

初始条件为 v t?0 ? 0

dt

? 对方程分离变量, 然后积分 :

?



(此处 mg ? kv ? 0)

利用初始条件, 得 代入上式后化简,

C ??1 k
得特解

ln ( v?

mg ) m g (1

?

?
e

k m

t

)

t

足够大时

v

?

mg k

k 中华工程资格考试网

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