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中山一中2011-2012学年高二上学期期中考试(理数)

中山一中 2011-2012 学年高二上学期期中考试 数学(理科)试题
一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请将正确答案的代号填入答题卡中相应的题号下。 ) 1.若 a ? b ? 0 .则下列不等式中成立的是( A. a ? ?b B. )

a ?1 b


C. ? a ?

?b

D.

1 1 ? a b

2. x ? y ”是“x = y”的( “ A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

3. 已知数列 {an } 是等比数列, an ? 0 ,a2 a4 ? 2a3a5 ? a4 a6 ? 25 , 且 那么 a3 ? a5 ?( A.5 B.10
a b

C.15

D.20

4.设 a ? 0, b ? 0 ,若 3 是 3 与 3 的等比中项,则 A.8 B.4 C.1

1 1 ? 的最小值是( a b 1 D. 4



5.在 200 m 高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底俯角分别为 30?,60? ,则塔高为(



A.

400 m 3

B.

400 3 m 3

C.

200 3 m 3

D.

200 m 3

6.若 ?ABC 中 a cos A ? b cos B ,则 ?ABC 的形状为( A.等边三角形 C.直角三角形 B.等腰三角形



D.等腰或直角三角形

7.已知一个等差数列的前四项之和为 21,末四项之和为 67,前 n 项和为 286,则项数 n 为 ( ) B.26 C.27 D.28

A.24

8.在等差数列 ?an ? 中 7a5 ? 5a9 ? 0 ,且 a9 ? a5 ,则使前 n 项和 S n 取最小值
1

的 n 等于( A.5

) B.6 C.7 D.8

二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,请将正确答案的直接填入答题卡 中相应的题号下。 ) 9.若 x ? 1 , ? 1 ? y ? 0 ,则 x 、 y 、 ? y 、 ? xy 由小到大的顺序是_________(用“ ? ” 连接) . 10. ?ABC 中已知 c ? 1, A ? 60? , C ? 45? ,则 ?ABC 的面积为______________. 11. {an } 是等差数列, a4 ? ?20 , a16 ? 16 ,则 | a1 | ? | a2 | ??? | a20 |? .

12.已知点(3,1)和(-4,6)在直线 3x ? 2 y ? a ? 0 的两侧,则的取值范围





13.已知锐角三角形的边长分别为 2、4、 x ,则 x 的取值范围是______________. 14.等比数列 ?an ? 中,公比 q ?

1 ,且 log2 a1 ? log2 a2 ? ? ? log2 a10 ? 55 , 2

则 a1 ? a2 ? ? ? a10 ? _____________.

三、解答题: (共 80 分) 15. (本题 12 分)设 f ( x) ? (m ? 1) x ? mx ? m ? 1.
2

(1)当 m ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 0 的解集; (2)若不等式 f ( x) ? 1 ? 0 的解集为 ( , 3) ,求 m 的值.

3 2

16. (本题 12 分)在 ?ABC 中, ?A ? 60? , b ? 1 , S ? ? (1)求边长 a 、 c 的值; (2)求

3 . 2

a?b?c 的值. sin A ? sin B ? sin C

2

17. (本题 14 分)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? 1 , S11 ? 33 . (1)求 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? ( ) n ,求证:数列 {bn } 是等比数列,并求其前 n 项和 Tn .
a

1 4

18. (本题 14 分)一农民有基本农田 2 亩,根据往年经验,若种水稻,则每季每亩产量为 400 公斤;若种花生,则每季每亩产量为 100 公斤.但水稻成本较高,每季每亩 240 元,而 花生只需 80 元,且花生每公斤 5 元,稻米每公斤卖 3 元.现该农民手头有 400 元,两种作 物各种多少,才能获得最大收益?

19. (本题 14 分)如图所示,巡逻艇在 A 处测得某走私船在东偏南 45 方向距 A 处 9 海里 的 B 处,正向南偏西 15 方向行驶,速度为 20 海里/小时,如果巡逻艇以航速 28 海里/小时, 则应在什么方向用多少时间才能追上这艘走私艇?( sin 38 ?
0

?

?

5 3 ) 14

20.(本题 14 分)数列 ?an ? 的前 n 项和记为 An , a1 ? 1 , an?1 ? 2 An ? 1 ( n ? 1 ) (Ⅰ )求 {an } 的通项公式; (Ⅱ )等差数列 {bn } 的各项为正,其前 n 项和为 Bn ,且 B3 ? 15 ,又 a1 ? b1 ,

a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列,求 Bn 的表达式;
(III)若数列 {cn } 中 cn ?1 ? (

Bn ? 3)an ( n ? 2 ) ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn 的表达式. n
3

参考答案
一、选择题: (每小题 5 分,共 40 分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

B

A

B

A

D

B

B

二、填空题: (每小题 5 分,共 30 分)

9. y ? ? y ? ? xy ? x ;

10.

3? 3 ; 8

11.300;

12. ?7 ? a ? 24 ;

13. (2 3, 2 5)

14. 2 ? 2 .
11

三、解答题: (共 80 分) 15. (本题 12 分)设 f ( x) ? (m ? 1) x2 ? mx ? m ? 1. (1)当 m ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 0 的解集; (2)若不等式 f ( x) ? 1 ? 0 的解集为 ( , 3) ,求 m 的值. 解: (1)当 m ? 1 时,不等式 f ( x) ? 0 为: 2 x ? x ? 0
2

3 2

因此所求解集为 ( ??, 0) ? ( , ??) ; …………………………6 分 (2)不等式 f ( x) ? 1 ? 0 即 (m ? 1) x2 ? mx ? m ? 0

1 2

由题意知

3 , 3 是方程 (m ? 1) x2 ? mx ? m ? 0 的两根 2

因此

m ?3 ? 2 ? 3 ? m ?1 ? ? ?3 ?3 ? m ?2 m ?1 ?

?

m??

9 . 7

………………12 分

4

16. (本题 14 分)在 ?ABC 中, ?A ? 60? , b ? 1 , S ? ?

3 . 2

(1)求边长 a 、 c 的值; (2)求

a?b?c 的值. sin A ? sin B ? sin C

解: (1)由 S? ?

1 1 3 3 ,解得: c ? 2 , bc sin A ? ?1? c ? ? 2 2 2 2
1 ? 3 ,得 a ? 3 ;…………6 分 2

由 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 1 ? 4 ? 2 ?1? 2 ?
2 2 2

(2)由正弦定理有:

a b c ? ? ? sin A sin B sin C

3 ? 2, 3 2
………………………………12 分

?

a?b?c a ? ?2 sin A ? sin B ? sin C sin A

17. (本题 14 分)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? 1 , S11 ? 33 . (1)求 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? ( ) n ,求证:数列 {bn } 是等比数列,并求其前 n 项和 Tn .
a

1 4

?a1 ? d ? 1 ?a2 ? 1 1 1 ? 解: (1)? ? ,? ? ,解得 a1 ? , d ? , 11?10 2 2 ?S11 ? 33 ?11a1 ? 2 d ? 33 ?
? an ? 1 1 1 ? (n ? 1) ? n ; 2 2 2
………………………………7 分

(2) ? bn ? ( )

1 4

an

b 1 n 1 1 ? ( ) 2 ? ( ) n , ? n ?1 ? , 4 2 bn 2
1 1 为首项, q ? 为公比的等比数列; 2 2
…………………………14 分

于是数列 {bn } 是以 b1 ?

1 1 [1 ? ( ) n ] 2 ? 1? 1 . 其前 n 项的和 Tn ? 2 1 2n 1? 2

18. (本题 14 分)一农民有基本农田 2 亩,根据往年经验,若种水稻,则每季每亩产量为

5

400 公斤;若种花生,则每季每亩产量为 100 公斤.但水稻成本较高,每季每亩 240 元,而

花生只需 80 元,且花生每公斤 5 元,稻米每公斤卖 3 元.现该农民手头有 400 元,两种作

物各种多少,才能获得最大收益?

解:设该农民种 x 亩水稻, y 亩花生时,能获得利润 z 元.则

z ? (3 ? 400 ? 240) x ? (5 ?100 ? 80) y ? 960 x ? 420 y
即y??

16 z x? 7 420

………………2 分

?x ? y ? 2 ?240 x ? 80 y ? 400 ? 即 ? ?x ? 0 ?y ? 0 ?

?x ? y ? 2 ?3x ? y ? 5 ? ………………4 分 ? ?x ? 0 ?y ? 0 ?
………………8 分

作出可行域如图阴影部分所示, 作出基准直线 y ? ?

16 16 z x ,在可行域内平移直线 y ? ? x ? ,可知当直线过点 B 时, 7 7 420

纵截距

z 有最大值,…………………………10 分 420

由?

?x ? y ? 2 3 1 解得 B ( , ) ,…………………………12 分 2 2 ?3x ? y ? 5

5 故当 x ? 1. , y ? 0.5 时, zmax ? 1650 元,…………………………13 分
5 答 : 该 农 民 种 1. 亩 水 稻 , 0.5 亩 花 生 时 , 能 获 得 最 大 利 润 , 最 大 利 润 为 1650
元.…………………14 分

19. (本题 14 分)如图所示,巡逻艇在 A 处测得某走私船在东偏南 45 方向距 A 处 9 海里

?

6

的 B 处,正向南偏西 15 方向行驶,速度为 20 海里/小时,如果巡逻艇以航速 28 海里/小时,

?

则应在什么方向用多少时间才能追上这艘走私艇?( sin 38 ?
0

5 3 ) 14

解:设巡逻艇用 t 小时在 C 处追上走私船. 依题意,在 ?ABC 中, ?ABC ? 120 , AB ? 9 ,
0

AC ? 28t , BC ? 20t
28t 20t ? 0 sin120 sin A
0

由正弦定理得:

? sin A ?

5 3 14

又 sin 38 ?

5 3 0 , 所以 A ? 38 14

……………6 分

sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?


3 3 14

28 t ? 0 sin120

9 ? Ci n s
0

t?

3 4

答:巡逻艇应向东偏南 83 ,用 45 分钟就能追上走私船.…………………14 分 20. (本题 14 分)数列 ?an ? 的前 n 项和记为 An , a1 ? 1 , an?1 ? 2 An ? 1 ( n ? 1 ) . (Ⅰ )求 {an } 的通项公式; (Ⅱ 等差数列 {bn } 的各项为正, ) 其前 n 项和为 Bn , B3 ? 15 , a1 ? b1 ,a2 ? b2 ,a3 ? b3 且 又 成等比数列,求 Bn 的表达式; (III)若数列 {cn } 中 cn ?1 ? ( 解: ) 由 an?1 ? 2 An ? 1 (Ⅰ

Bn ? 3)an ( n ? 2 ) ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn 的表达式. n
可得

an ? 2 An?1 ? 1 ( n ? 2 ) ,

两式相减得 an?1 ? an ? 2an ,于是 an?1 ? 3an ( n ? 2 ) ,

7

又 a2 ? 2 A ? 1 ? 3 1

∴ a2 ? 3a1 , ∴ an ? 3n?1 ………………4 分

故 {an } 是首项为 1 ,公比为 3 得等比数列,

(Ⅱ )设 {bn } 的公差为 d , 由 B3 ? 15 ,可得 b1 ? b2 ? b3 ? 15 ,得 b2 ? 5 , 故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d 又 a1 ? 1 , a2 ? 3 , a3 ? 9 , 由题意可得

? 5 ? d ? 1?? 5 ? d ? 9 ? ? ? 5 ? 3?

2

, 解得 d1 ? 2 , d 2 ? ?10 ,

∵ 等差数列 ?bn ? 的各项为正,∴d ? 0 ,于是 d ? 2 ,

? Bn ? 3n ?
(III)? cn ?1 ? (

n ? n ? 1? ? 2 ? n 2 ? 2n ; 2

……………………………8 分

Bn ? 3)an ( n ? 2 ) ?cn?1 ? (n ? , 3 ) 1 n

n?1

( n ? 2 ) ?cn ? n ? 3n ( n ? 1 ) , ,

Cn ? c1 ? c2 ??? cn ? 1? 3 ? 2 ? 32 ? 3? 33 ? ?? n ? 3n ①
于是, 3Cn ?

1? 32 ? 2 ? 33 ??? (n ?1) ? 3n ? n ? 3n?1 ②
n ?1

两式相减得: ?2Cn ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? n ? 3
2 3 n

?

3(1 ? 3n ) ? n ? 3n ?1 1? 3

n 1 3 ? Cn ? ( ? ) ? 3n ?1 ? . 2 4 4

………………………………14 分

8


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