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课时强化作业50


课时强化作业五十
基础强化 一、选择题 x2 y2 1.椭圆 + =1 的长轴长为( 16 8 A.4 C.16 解析:∵a2=16,a=4,∴长轴长为 2a=8. 答案:B x2 y2 2.2<m<6 是方程 + =1 表示椭圆的( m-2 6-m A.充分不必要条件 C.充要条件 ) ) B .8 D.32

椭圆

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

m-2>0, ? ? x2 y2 解析:若 + =1 表示椭圆,则有?6-m>0, m-2 6-m ? ?m-2≠6-m, 答案:B

所以 2<m<6 且 m≠4.

x2 y2 3.从椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左焦点 F1,A 是椭圆与 x 轴正半轴的交 a b 点,B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 AB∥OP(O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是( A. C. 2 4 2 2 1 B. 2 D. 3 2 )

解析:由于 PF1⊥x 轴,

b2 ∴|PF1|= , a 又 AB∥OP, ∴△AOB∽△OF1P,

1

b2 a b PF1 OB ∴ = ,∴ = ,得 b=c, OF1 OA c a 又 b2=a2-c2,∴a2=2c2,∴e= 答案:C 4.已知 F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点,过 F2 且垂直于 x 轴的直线交于 A、B 两点,且|AB| =3,则 C 的方程为( x A. +y2=1 2 x2 y2 C. + =1 4 3 c=1, ? ? 2b 解析:由题意得? a =3, ? ?a -b =c ,
2 2 2 2 2 ? ?b =3, ? 得 2 ?a =4, ? 2

2 . 2

) x2 y2 B. + =1 3 2 x2 y2 D. + =1 5 4

x2 y2 ∴所求的椭圆方程为 + =1. 4 3 答案:C x2 5.已知椭圆 +y2=1,F1、F2 为其两焦点,P 为椭圆上任一点,则|PF1|· |PF2|的最大值为( 4 A.6 C.2 B .4 D.8 m+n?2 ? 2 ? =4(当且仅当 m=n=2 时, )

解析:设|PF1|=m,|PF2|=n,则 m+n=2a=4,|PF1|· |PF2|=mn≤? 等号成立). 答案:B

x2 y2 1 6.已知 P 是椭圆 + =1 上的一点,F1,F2 是该椭圆的两个焦点,若△PF1F2 的内切圆的半径为 , 4 3 2 则 tan∠F1PF2=( 3 A. 4 4 7 C. 7 ) 4 B. 3 3 7 D. 7

1 解析:设∠F1PF2=θ,由题意得 S△PF1F2= (|PF1|+ 2 |PF2|+|F1F2|)r 内 θ 6 θ =b2tan ,即 =3×tan , 2 4 2

2

θ 1 ∴tan = , 2 2 1 2× 2 4 ∴tanθ= = = . 1 3 2θ 1-tan 1- 2 4 答案:B 二、填空题 7.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1、F2 在 x 轴上,离心率为 直线 l 交 C 于 A、B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为__________. 解析:由题意得 4a=16,得 a=4, 又 e= 2 ,∴c=2 2, 2 2 ,过 F1 的 2 θ 2tan 2

∴b2=a2-c2=16-8=8. x2 y2 ∴椭圆方程为 + =1. 16 8 x2 y2 答案: + =1 16 8 x2 y2 8.椭圆: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若直线 y= 3(x+c)与椭圆的一个 a b 交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于________. 解析:因为直线 y= 3(x+c)过椭圆左焦点,且斜率为 3,∴∠MF1F2=60° ,又∠MF1F2=2∠MF2F1, ∴∠MF2F1=30° ,∠F1MF2=90° ,故|MF1|=c,|MF2|= 3c, 由点 M 在椭圆上知,c+ 3c=2a. c 2 故离心率 e= = = 3-1. a 3+1 答案: 3-1 x2 y2 9.过椭圆 + =1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A、B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 5 4 的面积为________.
2 2 ? ?4x +5y -20=0, 5 4? , 解析:将椭圆与直线方程联立? 得交点 A(0,-2),B? 3 3?,F 为椭圆右焦点, ? ?y=2?x-1?, ?

4 ? 5 1 1 故 S△OAB= · |OF|· |y1-y2|= ×1×? ?3+2?=3. 2 2 5 答案: 3 三、解答题 10.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,∠F1PF2=60° .
3

(1)求椭圆离心率的范围; (2)求证:△F1PF2 的面积只与椭圆的短轴长有关. x2 y2 解:(1)不妨设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b |PF1|=m,|PF2|=n. 在△PF1F2 中,由余弦定理可知, 4c2=m2+n2-2mncos60° . ∵m+n=2a, ∴m2+n2=(m+n)2-2mn=4a2-2mn, ∴4c2=4a2-3mn,即 3mn=4a2-4c2. 又 mn≤? m+n?2 2 ? 2 ? =a (当且仅当 m=n 时取等号),

∴4a2-4c2≤3a2, c2 1 1 ∴ 2≥ ,即 e≥ ,又 0<e<1, a 4 2 1 ? ∴e 的取值范围是? ?2,1?. 4 (2)证明:由(1)知 mn= b2, 3 1 3 ∴S△PF1F2= mnsin60° = b2, 2 3 即△PF1F2 的面积只与短轴长有关. 能力提升 1 ? x2 y2 1.(2015 届福州一中高三月考)设 e 是椭圆 + =1 的离心率,且 e∈? ?2,1?,则实数 k 的取值范围是 4 k ( ) A.(0,3) 16 ? C.(0,3)∪? ? 3 ,+∞? 16 3, ? B.? 3? ? D.(0,2)

1 k-4 16 1 4-k 解析: 当 k>4 时, c= k-4, 由条件知 < <1, 解得 k> ; 当 0<k<4 时, c= 4-k, 由条件知 < 4 k 3 4 4 <1,解得 0<k<3,综上知选 C. 答案:C 2.(2015 届山东省济南市高三月考)已知中心在原点、焦点在 x 轴上的椭圆 C1 与双曲线 C2 有共同的焦 点,设左右焦点分别为 F1、F2,P 是 C1 与 C2 在第一象限的交点,△PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形, 若椭圆与双曲线的离心率分别为 e1,e2,则 e1· e2 的取值范围是( )

4

1 ? A.? ?9,+∞? 1 ? C.? ?3,+∞?

1 ? B.? ?5,+∞? D.(0,+∞)

解析:椭圆的长半轴长为 a1,双曲线的实半轴长为 a2,焦距为 2c, 根据题意:PF2=2c,PF1=2a1-2c=2a2+2c, 因为在等腰三角形 F2PF1 中,|F1F2|+|PF2|>|PF1|,所以,4c>2a1-2c,4c>2a2+2c, 1 c 所以, <e1= <1,e2>1. 3 a1 1 所以,e1· e2> . 3 答案:C x2 y2 3.(2015 届宁波模拟)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 4,且过 P( 2, 3),把曲线 C 绕着坐标原 a b π 点逆时针或顺时针旋转 ,得到的曲线离心率与原曲线 C 的离心率之比为( 2 A. 2 2 B .1 D. 3 2
2 2

)

1 C. 2

a -b =4, ? ? 2 3 2 2 解析:∵2c=4,∴c=2.∴a -b =4,又椭圆过 P( 2, 3),则 2+ 2=1,解方程组? 2 3 得 a b 2+ 2=1, ? ?a b a2-b2 8-4 1 x2 y2 a2=8,b2=4,故原椭圆方程为 + =1.离心率 e1= = = ,把曲线 C 绕着坐标原点逆时针 8 4 a 4 2 a2-b2 8-4 1 π x2 y2 或顺时针旋转 ,得到的曲线方程为 + =1,所以旋转后的椭圆的离心率为 e2= = = ,所 2 4 8 a 4 2 e1 以 =1,选 B. e2 答案:B x2 y2 a2 4.设 F1,F2 分别是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,若在直线 x= 上存在一点 P,使得线段 PF1 a b c 的中垂线过点 F2,则椭圆的离心率 e 的取值范围是________. a2 解析:设直线 x= 与 x 轴的交点为 Q,由题意得|PF2|=|F1F2|=2c, c

5

a2-c2 b2 a2 |F2Q|= -c= = , c c c ∴|PF2|≥|F2Q|, b2 ∴2c≥ ,即 2c2≥a2-c2, c ∴e≥ ∴ 3 又 0<e<1, 3

3 ≤e<1. 3 3 ? 3 ? ,1?

答案:?

x2 y2 3 5.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,过右焦点 F 且斜率为 k(k>0)的直线与 C 相交于 A, a b 2 → → B 两点.若AF=3FB,则 k=________. c 3 4 1 解析:根据已知 = ,可得 a2= c2,则 b2= c2, a 2 3 3 3x2 3y2 故椭圆方程为 2+ 2 =1, 4c c 即 3x2+12y2-4c2=0. 设直线的方程为 x=my+c, 代入椭圆方程得(3m2+12)y2+6mcy-c2=0, → → 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则根据AF=3FB, 得(c-x1,-y1)=3(x2-c,y2),由此得-y1=3y2, 2cm 根据根与系数的关系得 y1+y2=- 2 , m +4 c2 y1y2=- , 3?m2+4? cm c2 2 把-y1=3y2 代入得,y2= 2 ,y2= , m +4 9?m2+4? 1 故 9m2=m2+4,故 m2= , 2 从而 k2=2,k=± 2. 又 k>0,故 k= 2. 答案: 2 6.(2014 年北京卷)已知椭圆 C:x2+2y2=4. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)设 O 为原点,若点 A 在直线 y=2,点 B 在椭圆 C 上,且 OA⊥OB,求线段 AB 长度的最小值.

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x2 y2 解:(1)由题意,椭圆 C 的标准方程为 + =1. 4 2 所以 a2=4,b2=2,从而 c2=a2-b2=2. c 2 因此 a=2,c= 2.故椭圆 C 的离心率 e= = . a 2 (2)设点 A、B 的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中 x0≠0. 2y0 → → 因为 OA⊥OB,所以OA· OB=0,即 tx0+2y0=0,解得 t=- . x0
2 又 x2 0+2y0=4,所以

|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2 2y0 x0+ ?2+(y0-2)2 =? x0 ? ? 4y2 0 2 =x0 +y2 + 2 +4 0 x0
2 4-x2 0 2?4-x0? 2 =x0+ + +4 2 x2 0 2 x0 8 = + 2+4(0<x2 0≤4). 2 x0

x2 8 0 2 2 因为 + 2≥4(0<x2 0≤4),且当 x0=4 时等号成立,所以|AB| ≥8. 2 x0 故线段 AB 长度的最小值为 2 2. x2 7.已知 A,B,C 是椭圆 W: +y2=1 上的三个点,O 是坐标原点. 4 (1)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (2)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由. x2 解:(1)椭圆 W: +y2=1 的右顶点 B 的坐标为(2,0). 4 因为四边形 OABC 为菱形, 所以 AC 与 OB 相互垂直平分. 1 所以可设 A(1,m),代入椭圆方程得 +m2=1, 4 3 即 m=± . 2 1 1 所以菱形 OABC 的面积是 |OB|· |AC|= ×2×2|m|= 3. 2 2 (2)假设四边形 OABC 为菱形. 因为点 B 不是 W 的顶点,且直线 AC 不过原点,所以可设 AC 的方程为 y=kx+m(k≠0,m≠0).
?x2+4y2=4, ? 由? 消 y 并整理得 ?y=kx+m ?

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(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. 设 A(x1,y1),C(x2,y2),则 x1+x2 y1+y2 x1+x2 4km m =- , =k· +m= . 2 2 2 1+4k2 1+4k2 4km m 所以 AC 的中点为 M?-1+4k2,1+4k2?.

?

?

因为 M 为 AC 和 OB 的交点, 1 所以直线 OB 的斜率为- . 4k

?- 1 ?≠-1, 因为 k· ? 4k?
所以 AC 与 OB 不垂直. 所以 OABC 不是菱形,与假设矛盾. 所以当点 B 不是 W 的顶点时,四边形 OABC 不可能是菱形.

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