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三角函数图象变换例题和练习


例 1. 为了得到函数 y ? sin(2 x ?

?
3

) 的图像,只需把函数 y ? sin(2 x ?
(B)向右平移

?
6

) 的图像( )

? 个长度单位 4 ? (C)向左平移 个长度单位 2
(A)向左平移

? 个长度单位 4 ? (D)向右平移 个长度单位 2 ? ? ? ? 【 答 案 】 B 【 解 析 】 y ? sin(2 x ? ) = sin 2( x ? ) , y ? sin(2 x ? ) = ? sin 2( x ? ) , 所 以 将 6 12 3 6 ? ? ? 个长度单位得到 y ? sin(2 x ? ) 的图像,故选 B. y ? s i n (x 2? 的图像向右平移 ) 4 6 3
例 2. 函数 f (x)=2sinxcosx 是( (A)最小正周期为 2π 的奇函数 (C)最小正周期为π 的奇函数 【答案】C ) (B)最小正周期为 2π 的偶函数 (D)最小正周期为π 的偶函数

解析: f (x)=2sinxcosx=sin2x,周期为π 的奇函数

例 3. 设 ? ? 0 ,函数 y ? sin(? x ? (A)

?
3

) ? 2 的图像向右平移
(C)

4? 个单位后与原图像重合, 则 ? 的最小值是 ( ) 3

3 (D) 3 2 2? 4? 3 【答案】 C 解析:选 C.由已知,周期 T ? ? ,?? ? . ? 3 2 ? 4? 例 4. 设 ? >0,函数 y=sin( ? x+ )+2 的图像向右平移 个单位后与原图像重合,则 ? 的最小值是( ) 3 3 2 4 3 (A) (B) (C) (D)3 3 3 2 ? 4? 【 答 案 】 C 【 解 析 】 将 y=sin( ? x+ )+2 的 图 像 向 右 平 移 个 单 位 后 为 3 3 4?? 3k 4? ? ? 4?? y?s i ? n [x ? ( ? )? ? ] s i? 2 nx (? ? ? ),所以有 2 =2k ? ,即 ? ? ,又因为 ? ? 0 , 2 3 3 3 3 3 3k 3 所以 k≥1,故 ? ? ≥ ,所以选 C 2 2
(B) 例 5.下列函数中,周期为 ? ,且在 [ (A) y ? sin(2 x ? (C) y ? sin( x ? 【答案】 A 当 x ?[

2 3

4 3

? ?

?
2 )

, ] 上为减函数的是( ) 4 2
(B) y ? cos(2 x ? (D) y ? cos( x ?

)

?
2 )

)

?

?
2

2

解析:C、D 中函数周期为 2 ? ,所以错误

? ?

? ? ? ? 3? ? , ] 时, 2 x ? ? ?? , ? ,函数 y ? sin(2 x ? ) 为减函数而函数 y ? cos(2 x ? ) 为增函数 4 2 2 2 2 ? 2 ?

例 6. 已知函数 y ? sin ?? x ? ? ? (? ? 0, ? ?

?
2

) 的部分图象如题(6)图所示,则( )

1

A. C.

? ? =1 ? =

? ? =2 ? =

6

6

? =- ? 6 ? D. ? =2 ? = 6
B.

? =1

解析:? T ? ? ?? ? 2 由五点作图法知 2 ? 跟踪练习:

?
3

?? ?

?
2

,? = -

? 6

1. 将函数 y ? sin x 的图像上所有的点向右平行移动

? 个单位长度,再把所 10

得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图像的函数解析式是( ) (A) y ? sin(2 x ?

?
10

) )

(B) y ? sin(2 x ?

?
5

)

(C) y ? sin( x ?

) 20 ? 解析:将函数 y ? sin x 的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度,所得函数图象的解析式为 y= 10 ? sin(x - ) ,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图像的函数解析式是 10 1 ? y ? sin( x ? ) . 【答案】C 2 10 10
2. 右图是函数y ? Asin (? x +?)(x ? R)在区间 ?只要将 y ? sin x(x ? R) 的图象上所有的点( ) (A)向左平移

1 2

?

(D) y ? sin( x ?

1 2

?

? ? 5? ? 为了得到这个函数的图象, , 上的图象, ? 6 6 ? ?

? 1 个单位长度, 再把所得各点的横坐标缩短到原来的 2 3 ? 个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 3 ? 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 6 ? 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 6

倍,纵坐标不变 (B) 向左平移

倍,纵坐标不变 (C) 向左平移

1 倍,纵坐标不变 2
(D) 向左平移 【答案】 A

由图像可知函数的周期为 ? , 振幅为 1, 所以函数的表达式可以是 y=sin(2x+? ).代入 (-

? ? ? ,故图像中函数的一个表达式是 y=sin(2x+ ),即 y=sin2(x+ ),所以只需将 3 3 6 ? 1 y=sinx(x∈R)的图像上所有的点向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵 2 6
0)可得 ? 的一个值为 坐标不变。
2

? , 6

【温馨提示】根据图像求函数的表达式时,一般先求周期、振幅,最后求 ? 。三角函数图像进行平移变换 时注意提取 x 的系数,进行周期变换时,需要将 x 的系数变为原来的 3.

1

?

4. 将函数 y ? sin x 的图像上所有的点向右平行移动 2 倍(纵坐标不变) ,所得图像的函数解析式是( (A) y ? sin(2 x ?

? 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 10


?
10

) )

(B) y ? sin(2 x ?

?
5

)

(C) y ? sin( x ? 【答案】C

1 2

?

10

(D) y ? sin( x ?

1 2

?
20

)

解析:将函数 y ? sin x 的图像上所有的点向右平行移动 析式为 y=sin(x-

? ) 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图像的函数解 10 1 ? 析式是 y ? sin( x ? ) . 2 10 x ? 5. 函数 f(x)= 3 sin( ? ), x ? R 的最小正周期为( ) 2 4 ? A. B.x C.2 ? D.4 ? 2
【答案】D【解析】由 T=|
2? |=4π ,故 D 正确. 1 2

? 个单位长度,所得函数图象的解 10

6. 计算sin43 cos13 -sin13 cos 43 的值等于(



A.

1 2

B.

3 3

C.

2 2

D.

3 2

【答案】A

解析】原式= sin (43 -13 )= sin 30 =

1 ,故选 A。 2

3


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