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【创新设计】2015-2016学年高中数学 2.2.1向量加法运算及其几何意义课时作业 新人教A版必修4


§2.2 2.2.1

平面向量的线性运算

向量加法运算及其几何意义

课时目标 1.理解向量加法的法则及其几何意义.2.能用法则及其几何意义, 正确作出两个 向量的和.

1.向量的加法法则 (1)三角形法则

→ → 如图所示,已知非零向量 a,b,在平面内任取一点 A,作AB=a,BC=b,则向量________ → → 叫做 a 与 b 的和(或和向量),记作__________,即 a+b=AB+BC=________.上述求两个向 量和的作图法则,叫做向量求和的三角形法则. 对于零向量与任一向量 a 的和有 a+0=________+______=______. (2)平行四边形法则

→ → 如图所示,已知两个不共线向量 a,b,作OA=a,OB=b,则 O、A、B 三点不共线,以______, ______为邻边作__________, 则对角线上的向量________=a+b, 这个法则叫做两个向量求 和的平行四边形法则. 2.向量加法的运算律 (1)交换律:a+b=______________. (2)结合律:(a+b)+c=______________________.

一、选择题 1.已知向量 a 表示“向东航行 1 km”,向量 b 表示“向南航行 1 km”,则 a+b 表示( A.向东南航行 2 km B.向东南航行 2 km C.向东北航行 2 km D.向东北航行 2 km 2.如图,在平行四边形 ABCD 中,O 是对角线的交点,下列结论正确的是( )

)

→ → → → A.AB=CD,BC=AD → → → B.AD+OD=DA → → → → C.AO+OD=AC+CD → → → → D.AB+BC+CD=DA → → → 3.在四边形 ABCD 中,AC=AB+AD,则( )
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A.四边形 ABCD 一定是矩形 B.四边形 ABCD 一定是菱形 C.四边形 ABCD 一定是正方形 D.四边形 ABCD 一定是平行四边形 4.a,b 为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则( ) A.a∥b,且 a 与 b 方向相同 B.a,b 是共线向量且方向相反 C.a=b D.a,b 无论什么关系均可 → → → 5. 如图所示,在平行四边形 ABCD 中,BC+DC+BA等于(

)

→ A. BD → C. BC

→ B. DB → D. CB )

→ → → 6. 如图所示,在正六边形 ABCDEF 中,若 AB=1,则|AB+FE+CD|等于(

A.1 B.2 C.3 D.2 3 题 号 1 答 案 二、填空题

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→ → → → 7.在平行四边形 ABCD 中,BC+DC+BA+DA=________. → → → 8.已知在矩形 ABCD 中,AB=2,BC=3,则AB+BC+AC的模等于________. 9.已知|a|=3,|b|=5,则向量 a+b 模长的最大值是____. 10. 设 E 是平行四边形 ABCD 外一点,如图所示,化简下列各式

→ → (1)DE+EA=________; → → → (2)BE+AB+EA=________; → → → (3)DE+CB+EC=________; → → → → (4)BA+DB+EC+AE=________. 三、解答题 11. 一艘船以 5 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶, 船实际航行方向与水流方向成 30°角, 求水流速度和船实际速度.

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12. 如图所示,在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 的延长线和反向延长线上取点 F,E,使 BE =DF.

求证:四边形 AECF 是平行四边形.

能力提升 → → → 13.已知点 G 是△ABC 的重心,则GA+GB+GC=______. 14.在水流速度为 4 3 km/h 的河中,如果要船以 12 km/h 的实际航速与河岸垂直行驶, 求船航行速度的大小和方向.

1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法,两个法则是统一的.当两个向
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量首尾相连时常选用三角形法则,当两个向量共始点时,常选用平行四边形法则. 2.向量的加法满足交换律,因此在进行多个向量的加法运算时,可以按照任意的次序和任 意的组合去进行. §2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义 答案 知识梳理 → → → 1.(1)AC a+b AC 0 a a (2)OA OB 平行四边形 OC 2.(1)b+a (2)a+(b+c) 作业设计 1.A 2.C 3.D 4.A → → → → → → → → 5.C [BC+DC+BA=BC+(DC+BA)=BC+0=BC.] → → → → → → → 6.B [|AB+FE+CD|=|AB+BC+CD|=|AD|=2.] 7.0 → → → → 解析 注意DC+BA=0,BC+DA=0. 8.2 13 → → → → → 解析 |AB+BC+AC|=|2AC|=2|AC|=2 13. 9.8 解析 ∵|a+b|≤|a|+|b|=3+5=8. ∴|a+b|的最大值为 8. → → → 10.(1)DA (2)0 (3)DB (4)DC 11.解

→ → → 如图所示,OA表示水流速度,OB表示船垂直于对岸的方向行驶的速度,OC表示船实际航行的 → 速度,∠AOC=30°,|OB|=5 (km/h). ∵四边形 OACB 为矩形, → → |AC| |OB| → → ∴|OA|= =5 3 (km/h),|OC|= =10 (km/h), tan 30° sin 30° ∴水流速度大小为 5 3 km/h,船实际速度为 10 km/h. → → → → → → → → 12.证明 AE=AB+BE,FC=FD+DC,因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以AB=DC,因为 → → → → FD=BE,且FD与BE的方向相同,所以FD=BE, → → 所以AE=FC,即 AE 与 FC 平行且相等, 所以四边形 AECF 是平行四边形. 13.0

解析 如图所示,连接 AG 并延长交 BC 于 E 点,点 E 为 BC 的中点,延长 AE 到 D 点,使 GE
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=ED, → → → → → 则GB+GC=GD,GD+GA=0, → → → ∴GA+GB+GC=0. 14.解

→ → → 如图,设AB表示水流速度,则AC表示船航行的实际速度,作 AD 綊 BC,则AD即表示船航行的 4 3 3 → → 速度.因为|AB|=4 3,|AC|=12,∠CAB=90°,所以 tan∠ACB= = , 12 3 即∠ACB=30°,∠CAD=30°. → 所以|AD|=8 3,∠BAD=120°. 即船航行的速度大小为 8 3 km/h,方向与水流方向所成角为 120°.

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