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陕西省吴起高级中学2019届高三数学上学期期中试题文

吴起高级中学 2018—2019 学年第一学期中期考试 高三文数试卷

说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:(共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分) 1. 已知集合 A ? {1, 2,3} , B ? {x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0, x ? Z} ,则 A ? B ? ( A. )

{1}

B.

{1, 2}

C.

{0, 1, 2, 3}
)

D.

{?1, 0, 1, 2, 3}

2. “(2x-1)x=0”是“x=0”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 1+2i 3. 复数 =( 2-i A.i ) B.1+i

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

C.-i

D.1-i ) D.y=|x|

4.下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是( A.y=e
-x

B.y=x

3

C.y=ln x

5. sin 8400 的值为 A.0 B.1

(

)
C. 2
1

D.

3 2

6.函数 y=xsin x 在[-π ,π ]上的图象是(

)

7.如果 log 1 x< log 1 y< 0,那么(
2 2

) B.x <y < 1 D.1<y <x )

A.y <x < 1 C.1<x <y

8.设 f(x)=ln x+x-2,则函数 f(x)的零点所在的区间为( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

3 ?π ? 9.已知 cos α =- ,α 是第三象限角,则 cos? +α ?为( 5 ?4 ? A. 2 10 B.- 2 10 C. 7 2 10 7 2 D.- 10 )

)

10. 钝角三角形 ABC 的面积是 1 ,AB=1,BC= 2 ,则 AC=(

2

A.

5

B.

5

C. 2 )

D. 1

π 11.最小正周期为π 且图象关于直线 x= 对称的函数是( 3 π? ? A.y=2sin?2x+ ? 3? ?

π? ? B.y=2sin?2x- ? 6? ? π? ? D.y=2sin?2x- ? 3? ?

?x π ? C.y=2sin? + ? ?2 3 ?

12. 设函数 f’ (x)是奇函数 f ( x)( x ? R ) 的导函数, f (-1) =0, 当 x ? 0 时,xf ' ( x) ? f ( x) ? 0 , 则使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是( A. ?? ?,?1? ? ?0,1? C. ?? ?,?1? ? ??1,0? )

B. ??1,0? ? ?1,??? D. ?0,1? ? ?1,??? 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

二、填空题:(共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分)

ln x 13.函数 y= x 的导函数为________________. e 14. 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=2,S3=12,则 a6 等于________.
? ?log2x,x>0, 15.已知函数 f(x)=? x ?3 +1,x≤0, ?

则 f ( f ( )) 的值是________.

1 4

16. 已知向量 a 与 b 的夹角为 60°,且 a =(-2,-6),| b |= 10, 则 a ? b =________. 三、解答题: (共 6 大题,共计 70 分) 9 17.(10 分)已知等差数列{an}满足 a3=2,前 3 项和 S3= . 2 (1)求{an}的通项公式; (2)设等比数列{bn}满足 b1=a1,b4=a15,求{bn}的前 n 项和 Tn.

18. (12 分)已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最大值是 8,试确定 此二次函数的解析式.

19.(12 分)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsin A= 3acosB. (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sin C=2sin A,求 a,c 的值.

20.(12 分)已知 =(sin x,-cos x), =(cos x, 函数 f(x)= .

3cos x),

(1)求 f(x)的最小正周期,并求其图象对称中心的坐标; π (2)当 0≤x≤ 时,求函数 f(x)的值域. 2

21. (12 分)已知函数 f(x)=ln x-bx+c,f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 x+y+4=0. (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)的单调区间及最值.

22.(12 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≤0 时,

f(x)=x2+2x.现已画出函数 f(x)在 y 轴左侧的图象,如图所示,请根据图象:

(1)写出函数 f(x)(x∈R)的增区间; (2)写出函数 f(x)(x∈R)的解析式; (3)若函数 g(x)=f(x)-2ax+2(x∈[1,2]),求函数 g(x)的最小值.

吴起高级中学 2018—2019 学年第一学期中期考试 高三文数答案 1.【答案】C 【解析】 试题分析: 集合 B ? {x | ?1 ? x ? 2, x ? Z} ? {0,1} ,而 A ?{ 1 ,2 ,3 } 故选 C. 1 2. 解析:选 B 若(2x-1)x=0,则 x= 或 x=0,即不一定是 x=0;若 x=0,则一定能推出 2 (2x-1)x=0.故“(2x-1)x=0”是“x=0”的必要不充分条件. 3.答案 选 A. 4. 答案:B 5. 选 D π 6. 解析:选 A 容易判断函数 y=xsin x 为偶函数,排除 D.当 0<x< 时,y= 2 ,所以 A ? B ? {0,1, 2,3} ,

xsin x>0,当 x=π 时,y=0,排除 B、C,故选 A.
7. 解析:选 D log 1 x<log 1 y<log 1 1,∴x>y>1.
2 2 2

8.解析:选 B 函数 f(x)的零点所在的区间转化为函数 g(x)=ln x,h(x)=-x+2 图象交点 的横坐标所在的范围.作图如下:可知 f(x)的零点所在的区间为(1,2).故选 B. 3 9. 解析:选 A ∵cos α =- ,α 是第三象限的角, 5 ∴sin α =- 1-cos α =- ∴cos? =
2

4 ? 3?2 1-?- ? =- , 5 ? 5?

?π +α ?=cos π cos α -sin π sin α ? 4 4 ?4 ?

2 ? 3? 2 ? 4? 2 ×?- ?- ×?- ?= . 2 ? 5? 2 ? 5? 10

10. 【答案】B 【解析】

1 1 1 2 ? S ΔABC = ac sin B = ? 2 ?1? sin B = ∴ sin B = , 2 2 2 2 π 3π π ∴ B = , 或 .当B = 时,经计算ΔABC为等腰直角三角形,不 符合题意,舍去。 4 4 4 3π ∴ B = ,使用余弦定理, b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B, 解得b = 5.故选B. 4

11. 解析:选 B 由函数的最小正周期为 π ,排除 C;由函数图象关于直线 x=

π 对称知,该 3

π ? π π? 直线过函数图象的最高点或最低点,对于 B,因为 sin?2× - ?=sin =1,所以选 B. 3 6 2 ? ? 12. 【答案】A 1-xln x 13. 答案:y′= xex 14. 【答案】12 【解析】因为向量 ? a ? b 与 a ? 2b 平行,所以 ? a ? b ? ( ,则 ? k a ? 2b) 1 ?1? 15. 解析:由题意可得 f? ?=log2 =-2, 4 4 ? ? 10 ? ?1?? -2 ∴f?f? ??=f(-2)=3 +1= . 4 9 ? ? ?? 10 答案: 9 16.10 17.解:(1)设{an}的公差为 d,则由已知条件得

? ?

?

?

? ?

?

?

?? ? k, 1 所以 ? ? . 2 ?1 ? 2k ,

a1+2d=2, ? ? ? 3×2 9 3a1+ d= , ? 2 2 ? a1+2d=2, ? ? 化简得? 3 a1+d= , ? 2 ? a1=1, ? ? 解得? 1 d= , ? ? 2 n-1
2 ,即 an=

故{an}的通项公式 an=1+

n+1
2



(2)由(1)得 b1=1,b4=a15=
3

15+1 =8. 2

设{bn}的公比为 q,则 q = =8,从而 q=2, 故{bn}的前 n 项和 Tn=

b4 b1

b1?1-qn? 1×?1-2n? n = =2 -1. 1-q 1-2

18. 解:法一:(利用二次函数的一般式) 设 f(x)=ax +bx+c(a≠0). 由题意得错误!解得错误! 故所求二次函数为 f(x)=-4x +4x+7.
2 2

法二:(利用二次函数的顶点式) 设 f(x)=a(x-m) +n. 2+?-1? 1 ∵f(2)=f(-1),∴抛物线对称轴为 x= = . 2 2 1 ∴m= ,又根据题意函数有最大值 8,∴n=8, 2
2

? 1?2 ∴y=f(x)=a?x- ? +8. ? 2? ? 1?2 ∵f(2)=-1,∴a?2- ? +8=-1,解得 a=-4, ? 2? ? 1?2 2 ∴f(x)=-4?x- ? +8=-4x +4x+7. ? 2?
法三:(利用两根式) 由已知 f(x)+1=0 的两根为 x1=2,x2=-1, 故可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1), 即 f(x)=ax -ax-2a-1. 又函数有最大值 ymax=8,即 4a?-2a-1?-a =8. 4a
2 2

解得 a=-4 或 a=0(舍去), 故所求函数解析式为 f(x)=-4x +4x+7. 19.解:(1)∵bsin A= 3acos B, 由正弦定理得 sin Bsin A= 3sin Acos B. 在△ABC 中,sin A≠0, π 即得 tan B= 3,∴B= . 3 (2)∵sin C=2sin A,由正弦定理得 c=2a, 由余弦定理 b =a +c -2accos B, π 2 2 即 9=a +4a -2a·2acos , 3 解得 a= 3,∴c=2a=2 3. 20.解:(1)因为 f(x)=sin xcos x- 3cos x+ 1 3 3 = sin 2x- (cos 2x+1)+ 2 2 2 1 3 = sin 2x- cos 2x 2 2
2 2 2 2 2

3 2

π? ? =sin?2x- ?, 3? ? π? ? 所以 f(x)的最小正周期为 π ,令 sin?2x- ?=0, 3? ? π kπ π 得 2x- =kπ ,k∈Z,∴x= + ,k∈Z, 3 2 6 故所求对称中心的坐标为?

?kπ +π ,0?,k∈Z. ? 6 ? 2 ?

π π π 2π (2)∵0≤x≤ ,∴- ≤2x- ≤ , 2 3 3 3 ∴- π? 3 ? ≤sin?2x- ?≤1, 3? 2 ?

故 f(x)的值域为?-

? ?

3 ? ,1?. 2 ?

1 21. 解:(1)f′(x)= -b,∴f′(1)=1-b,

x

又 f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为-1, 故 1-b=-1,b=2. 将(1,f(1))代入方程 x+y+4=0,得 1+f(1)+4=0,f(1)=-5,∴f(1)=-b+c= -5,将 b=2 代入,得 c=-3,故 f(x)=ln x-2x-3. 1 (2)依题意知 x>0,f′(x)= -2.

x

1 1 令 f′(x)>0,得 0<x< ,再令 f′(x)<0,得 x> , 2 2

? 1? ?1 ? 故函数 f(x)的单调递增区间为?0, ?,单调递减区间为? ,+∞?. ? 2? ?2 ?
22. 解:(1)f(x)在区间(-1,0),(1,+∞)上单调递增. (2)设 x>0,则-x<0,函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≤0 时,f(x)=x +2x, ∴f(x)=f(-x)=(-x) +2×(-x)=x -2x(x>0),
?x -2x,x>0, ? ∴f(x)=? 2 ?x +2x,x≤0. ?
2 2 2 2

(3)g(x)=x -2x-2ax+2,对称轴方程为 x=a+1, 当 a+1≤1,即 a≤0 时,g(1)=1-2a 为最小值; 当 1<a+1≤2,即 0<a≤1 时,g(a+1)=-a -2a+1 为最小值; 当 a+1>2,即 a>1 时,g(2)=2-4a 为最小值.
2

2

1-2a,a≤0, ? ? 2 综上,g(x)min=?-a -2a+1,0<a≤1, ? ?2-4a,a>1.