浙江省IB自选综合数学不等式选讲习题精选

不等式选讲 1.已知 a, b, c 为正实数,且 a, b, c? (1, 7) . (Ⅰ)证明: (Ⅱ)求

1 1 2 ? ? ; 2 a ?1 7 ? a 3
2

1 (a 2 ? 1)(7 ? b2 )

?

1 (b2 ? 1)(7 ? c2 )

?

1 (c2 ? 1)(7 ? a 2 )

的最小值.

1.解: (1)

1 1 6 6 2 ? ? 2 ? 2 ? 2 2 2 a ?1? 7 ? a 2 3 a ?1 7 ? a (a ? 1)(7 ? a ) ( ) 2
2

等号当且仅当 a ? 2 时成立; (2)由柯西不等式知:

1 (a 2 ? 1)(7 ? b2 )

?

1 (b2 ? 1)(7 ? c 2 )
32

?

1 (c 2 ? 1)(7 ? a 2 )

?

(a 2 ? 1)(7 ? b 2 ) ? (b 2 ? 1)(7 ? c 2 ) ? (c 2 ? 1)(7 ? a 2 )

?

9 ?1 a ?1 ? 7 ? b b ?1 ? 7 ? c2 c2 ?1 ? 7 ? a2 ? ? 2 2 2
2 2 2

等号当且仅当 a ? b ? c ? 2 时成立. 2.已知正实数 a, b, c 满足: a ? b ? c ? 1 .
2 2 2

(1)求 ab ? ac ?

3 2 bc 的最大值. 2

(2)求

a6 b6 c6 ? ? 的最小值. 1? a 1? b 1? c
1 2
2

2 2 2 2.解: (1)? a ? b ? c ? ( a ?

1 2 1 3 1 3 a ) ? ( b2 ? b2 ) ? ( c2 ? c2 ) 2 4 4 4 4 1 1 1 1 3 3 ? ( a2 ? b2 ) ? ( a2 ? c2 ) ? ( b2 ? c2 ) 2 4 2 4 4 4

?

1 2

ab ?

1

3 ac ? bc ……4 分 2 2

b2 c2 3 2 5 2 5 2 ? bc ? 2 , 当且仅当 a ? ,即 a ? ,b ? c ? 时等号成立. ? ab ? ac ? 2 2 2 5 5

综上: ab ? ac ?

3 2 bc 的最大值为: 2 ……5 分 2
a6 b6 c6 ? ? ) ? (a 3 ? b 3 ? c 3 ) 2 1? a 1? b 1? c

(2)由柯西不等式得: (3 ? a ? b ? c)(

即:

a6 b6 c6 (a 3 ? b 3 ? c 3 ) 2 ? ? ? ,……7 分 1? a 1? b 1? c 3? a ?b ?c
3 3

1 (a 2 ? b 2 ? c 2 ) 2 ? 又a ?b ?c ? ,令 t ? a ? b ? c a?b?c a?b?c
3



a6 b6 c6 (a 3 ? b 3 ? c 3 ) 2 1 ? ? ? . ? 2 1? a 1? b 1? c 3? a ?b ?c t (3 ? t )

? t ? a ? b ? c ? 3 a 2 ? b2 ? c 2 ? 3 , ?
a6 b6 c6 1 1 3? 3 ? ? ,……9 分 ? ? 2 ? 1 ? a 1 ? b 1 ? c t (3 ? t ) 3(3 ? 3 ) 18

当且仅当 a ? b ? c ?

3 时等号成立. 3

综上:

a6 b6 c6 3? 3 ? ? 的最小值为 .……10 分 1? a 1? b 1? c 18

3.已知 x, y, z ? (2,4) ,

(1)求证:

1 ? 1; ( x ? 2)(4 ? x)

(2)求证:

1 1 1 ? ? ? 3. ( x ? 2)(4 ? y) ( y ? 2)(4 ? z) ( z ? 2)(4 ? x)

3.证明: (1)

1 1 ? ?1 (x ? 2)(4 ? x) ( x ? 2 ? 4 ? x ) 2 2 1 1 2 (2)? ? ? ( x ? 2)(4 ? y) x ? 2 ? 4 ? y 2 ? x ? y 2 1 1 2 ? ? y?2?4? z 2? y? z ( y ? 2)(4 ? z) 2

1 1 2 ? ? z ?2?4? x 2? z? x ( z ? 2)(4 ? x) 2

?

1 1 1 ? ? ( x ? 2)(4 ? y) ( y ? 2)(4 ? z ) ( z ? 2)(4 ? x)
1 1 1 ? ? ) 2? x? y 2? y? z 2? z? x

? 2(

1 1 1 1 ? ( ? ? )(2 ? x ? y ? 2 ? y ? z ? 2 ? z ? x) 3 2? x? y 2? y? z 2? z? x
?3
4.已知大于 1 的正数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 3 3.

(1)求证:

x2 y2 z2 3 ? ? ? . x ? 2 y ? 3z y ? 2 z ? 3x z ? 2 x ? 3 y 2

(2)求

1 1 1 的最小值。 ? ? log 3 x ? log 3 y log 3 y ? log 3 z log 3 z ?log 3 x


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