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函数的定义域和值域的方法


函数的定义域和值域
【例 1】设 y=f(x)的定义域为[0,2],求 例 (1)f(x2+x); (2)f(|2x-1|); (3)f(x+a)-f(x-a) (a>0)的定义域 分析: 分析:根据若 f(x)的定义域为[a,b],则 f[g(x)]的定义域为 a≤g(x)≤b 的解集,来解相应的不等式(或不等式组)

? 2 ?x + x ≥ 0 (1)由 0≤x +x≤2 得 ? 解: 2 ?x + x ≤ 2 ?
2

∴?

? x ≥ 0或x ≤ ?1 ∴定义域为[-2,-1]∪[0,1] ??2 ≤ x ≤ 1
所以定义域为 ? ?

(2)由│2x-1│≤2,得 -2≤2x-1≤2

? 1 3? , ? 2 2? ?

(3)由 ?

?0 ≤ x + a ≤ 2 ?0 ≤ x ? a ≤ 2

得?

??a ≤ x ≤ 2 ? a ?a ≤ x ≤ 2 + a

又因 a>0, 若 2-a≥a,即 0<a≤1 时,定义域为{x|a≤x≤2-a} 若 2-a<a,即 a>1 时,x∈ φ ,此时函数不存在 变式:已知函数 f(x+1)的定义域是[0,1],求函数 f(x)的定义域。 变式 【例 2】求下列函数的值域 例 (1) y = [1,2]

2x +1 x?3

(2) y =

x2 ? x + 3 x2 ? x + 1

(3) y = x ? 1 ? 2 x

(1)可分离常数后再根据定义域求值域 (分析) 分析) (2)常数后再利用配方法求解,也可采用判别式法 (3)可以用换元法或者单调性法 (1)分离常数法 解: ∵y=

2 x + 1 2( x ? 3) + 7 7 = = 2+ x?3 x?3 x?3



7 ≠ 0 ,得 y ≠ 2 x ?3

∴函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞) (2) 方法一:配方法 ∵y= ∴0 <

x2 ? x + 3 2 = 1+ 2 2 x ? x +1 x ? x +1 2 8 ≤ x ? x +1 3
2

而 x2 ? x + 1 = ( x ? )2 +

1 2

3 3 ≥ 4 4 11 } 3

∴1 < y ≤

11 3

∴函数的值域为 { y |1 < y ≤

方法二:判别式法 变形得(y-1)x2-(y-1)x+y-3=0 当 y=1 时,此方程无解 当 y≠1 时,∵x∈R ∴△=(y-1)2—4(y-1)(y-3) ≥0,解得 1≤y≤

又∵y≠1, ∴ 1 < y ≤ (3)换元法

11 , 3

11 3 11 ∴函数的值域为 { y |1 < y ≤ } 3

1

令 1 ? 2x = t ,则 t≥0 且 x = ∴函数的值域为 ( ?∞, ]

1? t2 2

∴y=?

1 1 (t + 1) 2 + 1 ≤ 2 2

1 2

变式 1:已知函数 f(x)的的值域是 [ , ] ,求 y = f ( x) + 1 ? 2 f ( x) 的值域。 :

3 4 8 9 3 4 1 1 1 1 ∴ ≤ 1 ? 2 f ( x) ≤ , ∴ ≤ 1 ? 2 f ( x) ≤ 解:∵ ≤ f ( x ) ≤ , 8 9 9 4 3 2 1 1 1 1 令 t = 1 ? 2 f ( x) , 则 t ∈ [ , ] , y = F (t ) = (1 ? t 2 ) + t = ? (t ? 1) 2 + 1 3 2 2 2 1 1 1 1 7 7 ∵ 1 ? [ , ] ,∴函数 y=F(t)在区间 [ , ] 上递增 ∴函数的值域为 [ , ] 3 2 3 2 9 8 2x ,求 y = f ( x) ? 1 ? f ( x) 的值域 变式 2:已知 f ( x ) = 2 : x +1 1 【例 3】函数 f ( x ) = ( x ? 1) 2 + 1 的定义域和值域都是[1,b] (b>1),求 b 的值 例 2 1 (3)∵ f ( x ) = ( x ? 1) 2 + 1 在[1,b]上是增函数,∴f(x)在[1,b]上的值域是[1,f(b)], 2 1 由题意知 f(x)在[1,b]上的值域是[1,b],∴f(b)=b,即 (b ? 1) 2 + 1 = b 2
解得 b=1(舍去)或 b=3

变式: 变式:设 f ( x) =

ax + b ( x ∈ R) 的值域为[-1,4],求 a,b 的值 x2 + 1
ax ? 1 ax 2 + 4ax + 3

(a=±4,b=3)

【例 4】若函数 y = 例

的定义域为 R,求实数 a 的取值范围。 {a|0 ≤ a< } 、

3 4

1 1 1 【例 5】若 f(x+1)的定义域是 [? 2,3) ,求 f ( + 2) 的定义域。 {x | x > 或 x ≤ ? } 例 2 3 x
【例 6】已知函数 f(x)= 例 (1)当 a=

x2 + 2x + a ,x∈[1,+∞ ) x

1 时,求函数 f(x)的最小值. 2 (2)若对任意 x∈[1,+∞ ) ,f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围.
(1)解:当 a=

1 1 时,f(x)=x+ +2 2 2x 7 . 2

∵f(x)在区间[1,+∞ ) 上为增函数,∴f(x)在区间[1,+∞ ) 上的最小值为 f(1)= (2)解法一:在区间[1,+∞ ) 上,f(x)= 设 y=x2+2x+a,x∈[1,+∞ )

x 2 + 2x + a >0 恒成立 ? x2+2x+a>0 恒成立. x

2

∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1 递增, ∴当 x=1 时,ymin=3+a,当且仅当 ymin=3+a>0 时,函数 f(x)>0 恒成立,故 a>-3.?

a +2,x∈[1,+∞ ) x 当 a≥0 时,函数 f(x)的值恒为正; 当 a<0 时,函数 f(x)递增,故当 x=1 时,f(x)min=3+a, 当且仅当 f(x)min=3+a>0 时,函数 f(x)>0 恒成立,故 a>-3.
解法二:f(x)=x+ 【例 7】设 x1、x2 为方程 4x2-4mx+m+2=0 的两个实根,当 m=_________时,x12+x22 有最小值_________. 例

m+2 m+2 1 17 ,∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=m2- =(m- )2- ,又 x1,x2 4 2 4 16 1 17 为实根,∴Δ≥0.∴m≤-1 或 m≥2,y=(m- )2- 在区间(-∞,1)上是减函数,在[2,+∞ ) 上是增 4 16 1 函数又抛物线 y 开口向上且以 m= 为对称轴.故 m=1 时, 4 1 1 ymin= .答案:-1 2 2
解析:由韦达定理知:x1+x2=m,x1x2= 【例 8】设计一幅宣传画,要求画面面积为 4840 cm2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留 8 cm 例 的空白,左右各留 5 cm 空白,怎样确定画面的高与宽尺寸,才能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求

2 3 λ∈[ , ] ,那么λ为何值时,能使宣传画所用纸张面积最小? 3 4 解:设画面高为 x cm,宽为λx cm,则λx2=4840,设纸张面积为 S cm2,则 S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ
+10)x+160,将 x=

22 10

λ

代入上式得:S=5000+44 10 (8 λ +

5

λ

),当 8 λ =

5

λ

,即λ= ( <1)时 S 取得

5 5 8 8

最小值.此时高:x=

4840

λ

=88 cm,宽:λx=

5 ×88=55 cm. 8

如果λ∈[ ,

2 3 2 3 ]可设 ≤λ1<λ2≤ ,则由 S 的表达式得: 3 4 3 4

S (λ1 ) ? S (λ2 ) = 44 10(8 λ1 +

5

λ1

? 8 λ2 ?

5

λ2

) = 44 10( λ1 ? λ2 )(8 ?

5

λ1λ2

)

又 λ1λ2 ≥

2 5 5 > ,故 8- >0, 3 8 λ1λ2 2 3 ]内单调递增.? 3 4

∴S(λ1)-S(λ2)<0,∴S(λ)在区间[ , 从而对于λ∈[ ,

2 3 2 ],当λ= 时,S(λ)取得最小值. 3 4 3
x2 + 2x + a ,x∈[1,+∞ ) x
3

【例 9】已知函数 f(x)= 例

1 时,求函数 f(x)的最小值. 2 (2)若对任意 x∈[1,+∞ ) ,f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围.
(1)当 a= 【例 10 例 10】某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按 120 个工时计算)生产 空调器、彩电、冰箱共 360 台,且冰箱至少生产 60 台.已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表: 家电名称 工时 空调器 彩电 冰箱

1 1 1 2 3 4 4 3 2 产值(千元) 问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台,才能使产值最高?最高产值是多少?(以千元为单位) 7.解:设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为 x 台、y 台、z 台,由题意得: x+y+z=360 ? ① 1 1 1 x + y + z = 120 ②x>0,y>0,z≥60. 2 3 4 ③? 假定每周总产值为 S 千元,则 S=4x+3y+2z,在限制条件①②③之下,为求目标函数 S 的最大值,由① ②消去 z,得 y=360-3x. ④ 将④代入①得:x+(360-3x)+z=360,∴z=2x ⑤ ∵z≥60,∴x≥30. ⑥ 再将④⑤代入 S 中,得 S=4x+3(360-3x)+2·2x,即 S=-x+1080.由条件⑥及上式知,当 x=30 时,产值 S 最大,最大值为 S=-30+1080=1050(千元).得 x=30 分别代入④和⑤得 y=360-90=270,z=2×30=60. ∴每周应生产空调器 30 台,彩电 270 台,冰箱 60 台,才能使产值最大,最大产值为 1050 千元.

4


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